2023年12月2日发(作者：数学试卷什么)

2022-2023学年上海市浦东新区建平中学西校九年级（上）期中数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1符号tanA表示（.）B.∠A的余弦）C.x5,y6）D.D.x6,y5C.∠A的正切D.∠A的余切A.∠A的正弦2.如果5x=6y，那么下列结论正确的是（A.x:6y:5B.x:5y:63.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为（A.154B.14）C.1515417174.已知a5b，下列说法中，不正确的是（A.a5b0B.a与b方向相同C.a∥bD.a5b）5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（A.3：2B.2：3C.3:13D.2:13．6.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判定ED//BC的是（）EAADAB第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.若线段a、b满足a1a+b，则的值为_____．b2b8.已知点P在线段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=_____．119.化简：2(ab)3(ab)=______．2210.已知△ABC∽△DEF，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果∠A=40°，∠E=60°，那么∠C=_______度.11.如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为_____．12.如果a、b、x满足关系式4abx0，那么x______（用向量a、b表示）.13.如图，已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA=______．14.在比例尺为1:1500000的地图上测得甲、乙两地图距为2厘米，那么这两地的实际距离是____千米15.如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB=____．16.如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，如果S△AOB=2S△AOD，AB=10，那么CD的长是_____．17.如图，在△ABC中，点D是边AB的中点．如果CAa，那么CB_____CDb，（结果用含a、b的式子表示）．在ABC中，．将△ACB绕点A顺时针方向旋转得VADE18.如图，C90，AC3，BC4（如图）（点C、，点D恰好落在直线BE上，直线BE和直线AC交于点F，则线段B的对应点分别为点D、E）的长为____________．AF三、解答题（本大题共7小题，共56.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.计算：cot30°﹣sin60°+2．2cos30tan45BE平分ABC交AC于点E，在ABC中，过点E作ED∥BC交AB于点D，已知AD5，20.如图，BD4．（1）求BC的长度；（2）如果ADa，AEb，那么请用a、b表示向量CB．21.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AD＝4，BC＝9，锐角∠DBC的正弦值为2．求：3（1）对角线BD的长；（2）梯形ABCD的面积．22.如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于E，点F是DE延长线上一点，联结AF．（1）如果AD2，DE=6，求边BC的长；AB3（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．23.如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．24.己知：如图，平而直角坐标系中直线y=3x+1经过点A（点A位于第三象限）与x轴、y轴分别交于B、C两点，且AC3BC．（1）求线段BC的长度；（2）求点A的坐标；（3）设点D1,2，联结AD、CD，求证：ADCACO．25.在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当（3）当cosÐD=BG1FG=时，求值；GC2EH5，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求13AF的长．2022-2023学年上海市浦东新区建平中学西校九年级（上）期中数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.符号tanA表示（A.∠A的正弦C【分析】根据锐角三角形的符号所表示的意义可得：tan表示a的正切．【详解】符号tanA表示∠A的正切．故选C．【点睛】考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2.如果5x=6y，那么下列结论正确的是（A.x:6y:5A【详解】解：由5x=6y，可以得出：x：6=y：5，故选A．3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为（A.A【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，∴BC= 4212=15，则cosB=故选：A）D.B.x:5y:6）C.x5,y6D.x6,y5）B.∠A的余弦C.∠A的正切D.∠A的余切154B.14C.151541717BC15=，AB44.已知a5b，下列说法中，不正确的是（A.）C.a5b0B.a与b方向相同a∥bD.a5bA【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】解：A、a5b00，故该选项说法错误，符合题意；B、因为a5b，所以a与b方向相同，故该选项说法正确，不符合题意；C、因为a5b，所以a∥b，故该选项说法正确，不符合题意；D、因为a5b，所以a5b，故该选项说法正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（）A.3：2B.2：3C.3:13D.2:13．B【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得BC：AC=BD：CD=4：6=2：3，由此即可解决问题．【详解】∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠ACB=∠CDB=90°，∴△ACB∽△CDB，∴BC：AC=BD：CD=4：6=2：3，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．6.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判定ED//BC的是（）ADAB【分析】根据平行线分线段成比例定理推理的逆定理，对各选项进行逐一判断即可．BACA时，能判断ED‖BC；BDCEEADAB.当时，能判断ED‖BC；ECDBEDEAC.当时，不能判断ED‖BC；BCACEAACEAADD.当时，，能判断ED‖AB【详解】A.当故选C.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理推理的逆定理，根据定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.能根据定理判断线段是否为对应线段是解决此题的关键.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.若线段a、b满足【分析】由a1可得b=2a，然后代入求值.b2a1【详解】解:由可得b=2a，b2aba2a3所以=，b2a23故答案为.23a1a+b，则的值为_____．b2b2【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握比例的性质是本题的解题关键.8.已知点P在线段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=_____．5:3【详解】试卷解析：由题意AP：BP=2：3，：PB=（2+3）：3=5：：PB=（AP+PB）故答案为5:3.119.化简：2(ab)3(ab)=______．221a4b.2132aba3ba4b.【详解】试卷解析：原式221故答案为a4b.210.已知△ABC∽△DEF，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果∠A=40°，∠E=60°，那么∠C=_______度.80【详解】因为△ABC∽△DEF,所以∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,因为∠A=40°,∠E=60°,所以∠B=60°,所以∠C=180°―40°―60°=80°,故答案为:80.11.如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为_____．1:4【详解】分析：根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据对应角平分线的比等于相似比解答．详解：∵两个相似三角形的周长之比1：4，∴它们的相似比是1：4，∴它们的某一对对应角的角平分线之比为1：4．故答案为1：4．点睛：考查对相似三角形性质的理解：请理解和熟记以下知识点：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．4abx012.如果a、b、x满足关系式，那么x______（用向量a、b表示）.4abx0【分析】把看成关于b4ax的方程即可解决问题.【详解】∵4abx0，∴4abx0，∴xb4a，故填：b4a.【点睛】此题考察平面向量，可以转化为关于x的方程来解决问题.13.如图，已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA=______．【分析】延长AG交BC于D，根据重心的概念得到AD⊥BC，BD=DC=2BC=313，2根据勾股定理求出AD，根据重心的概念计算即可．【详解】解：延长AG交BC于D，∵G是三角形的重心，∴AD⊥BC，BD=DC=2BC=由勾股定理得，AD=2AD=3，313，233，2AB2DB2∴GA=故答案为：3．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．14.在比例尺为1:1500000的地图上测得甲、乙两地图距为2厘米，那么这两地的实际距离是____千米30【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【详解】设这两地的实际距离是x厘米，则：1:1500000=2:x，解得x=3000000.3000000厘米=30千米.故答案为30.【点睛】本题考查比例尺，熟记比例尺的定义是解决此题的关键，在本题中计算时可根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积.15.如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB=____．12【详解】∵在△ABC中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴AB2=AD⋅AC，而AD=9，CD=7，∴AC=16，∴AB=12.故答案为12.16.如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，如果S△AOB=2S△AOD，AB=10，那么CD的长是_____．5【详解】根据三角形的面积关系，由S△AOB=2S△AOD，可知OD：OB=1：2，然后根据平行线的性质，由AB∥CD，可得△AOB∽△COD，然后根据相似三角形的性质，可得故答案为5．CD1CDDO，求得CD=5，，即ABBO10217.如图，在△ABC中，点D是边AB的中点．如果CAa，CDb，那么CB_____（结果用含a、b的式子表示）．详解】∵，【2baCAaCDb，∴ADACCDab，∴BA2AD2a2b，∴CBACABa2a2b2ba，故答案为2ba；在ABC中，．将△ACB绕点A顺时针方向旋转得VADE18.如图，C90，AC3，BC4（如图）（点C、，点D恰好落在直线BE上，直线BE和直线AC交于点F，则线段B的对应点分别为点D、E）的长为____________．AF575##1077【分析】证CBFDAF，得BCCF4，设DF3x，CF4x，AF4x3，由ADDF3AD2DF2AF2即可求解；【详解】解：如图，由旋转的性质可知，CADF，∵F是公共角，∴CBFDAF，∴BCCF4，ADDF322设DF3x，CF4x，则AF4x3，∵AD2DF2AF2，即323x4x3，∴x124753．7775故答案为：．7∴AF424，x20（舍去），7【点睛】本题主要考查相似三角形的证明及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.计算：cot30°﹣sin60°+2．2cos30tan45331【详解】试卷分析：将特殊三角函数值代入计算即可.2试卷解析：解：原式=3322231232231=3312331．2=BE平分ABC交AC于点E，在ABC中，过点E作ED∥BC交AB于点D，已知AD5，20.如图，BD4．（1）求BC的长度；（2）如果ADa，AEb，那么请用a、b表示向量CB．（1）9936；（2）CBab555（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，【详解】试卷分析：求出结论；DEAD，从而可BCAB9DEAD59=.故BCDE又ED与CB同向，所以CBED，由ADa（2）由EDBC，得，BCAB95599AEb得EDab，因此CBab55试卷解析：（1）∵BE平分ABC，∴ABECBE.∵EDBC，∴DEBCBE.∴ABEDEB.∴BDDE4.∵EDBC，∴DEAD.BCAB又∵AD5，BD4，∴AB9，∴4536，∴BC.BC95（2）∵EDBC，DEAD5=.BCAB99∴BCDE5又∵ED与CB同向∴9CBED∴5∵ADa，AEb∴EDab99∴CBab5521.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AD＝4，BC＝9，锐角∠DBC的正弦值为2．求：3（1）对角线BD的长；（2）梯形ABCD的面积．（1）6；（2）26【分析】（1）根据已知条件证明ABDDCB，即可得解；（2）过点D作DEBC，根据正弦值得到DE4，再根据梯形的面积计算即可；【详解】（1）∵AD∥BC，∴ADBDBC，∵ABDC，∴ABDDCB，∴ADBD，BDBC∵AD＝4，BC＝9，∴BD6；（2）过点D作DEBC，则DEB90，∵锐角∠DBC的正弦值为∴sindbc∵BD6，∴DE4，∴梯形ABCD的面积为2，3DE2，BD311ADBCDE49426．22【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，准确计算是解题的关键．22.如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于E，点F是DE延长线上一点，联结AF．（1）如果AD2，DE=6，求边BC的长；AB3（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．（1）9；（2）9．【分析】（1）由DE与BC平行，得到两对同位角相等，进而得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例求出BC的长即可；（2）由两直线平行得到一对同位角相等，再由已知角相等等量代换得到∠FAE=∠ADF，根据公共角相等，得到三角形AEF与三角形ADF相似，由相似得比例求出DF的长即可．【详解】（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴ADDE2，ABBC3∵DE=6，∴BC=9；（2）∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∵∠B=∠FAE，∴∠FAE=∠ADE，∵∠F=∠F，∴△AEF∽△DAF，∴AFFE，DFAF∵FA=6，FE=4，∴DF=9．，作EF⊥AC交边BC于点23.如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合）F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．（1）证明见解析（2）13【分析】（1）利用AA证明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用SAS证明△CAF∽△CBE（2）证出∴∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC=2，AC=3，由勾股定理得出AB=BC=232AC=，22得出BF=BC﹣FC=2，由三角函数即可得出结果．2【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°=∠ABC，又∵∠FCE=∠ACB，∴△CEF∽△CAB，∴CFCB，CECA又∵∠ACF=∠BCE，∴△CAF∽△CBE；（2）∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF=∠CBE，∵∠BAC=∠BCA=45°，∴∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC=2，∵AE：EC=2：1，∴AC=3，∴AB=BC=232AC=，222，2BF1．AB3∴BF=BC﹣FC=∴tanBEFtanBAF24.己知：如图，平而直角坐标系中直线y=3x+1经过点A（点A位于第三象限）与x轴、y轴分别交于B、C两点，且AC3BC．（1）求线段BC的长度；（2）求点A的坐标；（3）设点D1,2，联结AD、CD，求证：ADCACO．（1）1032（2）A1，（3）证明见详解0；进而可求BC；1、B，【分析】（1）分别将x0、y0代入中y=3x+1，得C0，1323m1，则m2（2）由AC3BC，可得AC10，设点Am，13m1AC10，即可22求解；（3）求AD的表达式为：y2x，则AD过原点，证DACCAO，即可求证；1；【小问1详解】解：将x0代入中y=3x+1，得y1，则C0，将y0代入中y=3x+1，得x=-2110；，则B，33101∴BCOB2OC212；33【小问2详解】∵AC3BC，∴AC31010，32223m1，则m2设点Am，13m1AC10，，m21（舍去）解得：m11，2∴A1，【小问3详解】如图，2，D1,2代入得，设AD的表达式为：ykxb，将A1，2kbk2解得：，2kbb0∴AD的表达式为：y2x，∴AD过原点，∵AD22221125，OA215，22∴AD25AC10∵DACCAO，2，2，ACOA105∴DACCAO，∴ADCACO．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，相似三角形的证明，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．25.在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当（3）当cosÐD=BG1FG=时，求值；GC2EH5，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求13AF的长．（1）见解析；（2）382；（3）或31313【分析】（1）连接AC、BD，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得GF//EH，GFEH，从而可知四边形EFGH是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论；（2）连接EG，由菱形的性质及FG//EH可得ÐBGF=ÐDEH，及BD，从而判定DBGF∽DDEH，结合BG1=及菱形的性质可得答案；GC25及菱形的13（3）如图，过点G作GMAB于点M，过点E作ENBA延长线于点N，根据cosÐD=边长可求得BM=AN=512，MG=NE=．设AF1313x，则MF=21-x，当四边形EFGH是矩形时，13，分两种情况列式计算即可：①DGMF∽DFNE，GFE90，则GMF与FNE相似（三垂直模型）②DGMF∽DENF．【详解】解：（1）连接AC、BD，菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F是边AB中点，AF=AE=12AB，EF//BD，QFG^EF，EHEF．GF//EH//AC，GF=HE=12AC，四边形EFGH是平行四边形，QFG^EF，EFG90，四边形EFGH是矩形；（2）连接EG，菱形ABCD中，ÐBGE=ÐDEG，QFG//EH，ÐFGE=ÐHEG，ÐBGF=ÐDEH，又菱形ABCD中，BD，DBGF∽DDEH，FGBGEH=DEBGGC=12，BG=13BC，DE12AD12BC，AD//BC，FGBG2==；EHDE3（3）如图，过点G作GMAB于点M，过点E作ENBA延长线于点N，四边形EFGH是矩形，GF=EH，由（2）可知，DBGF∽DDEH，此时BGFDEH，又菱形ABCD边长为2，BG=DE=1，BGCG1，cosÐB=cosÐEAN=cosÐD=BM=AN=MG=NE=5，1312．13521-x=-x，13135，13设AFx，则MF=2-当四边形EFGH是矩形时，GFE90，则GMF与FNE相似（三垂直模型）．①若DGMF∽DFNE，则MGMF=，NFEN121321-x13=，512x+1313解得x1=3，x2131（点F不与AB中点重合，舍去）；MFGM=，NFEN②若DGMF∽DENF，则21-x13=1，5x+13解得x=综上，8．13AF的长为38或．1313【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定、菱形的性质、三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质等知识点，利用数形结合的思想，并明确相关性质及定理是解题的关键．


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三角形,相似,性质,考查