2020-2021学年广东省汕尾市高一上期末考试数学试卷及答案解析

2023年12月2日发(作者：高中数学试卷兼答案)

2020-2021学年广东省汕尾市高一上期末考试数学试卷

一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．下列关系中正确的是（ ）

A．0∈∅

C．{0，1}⊆{（0，1）}

B．∅⫋{0}

D．{（a，b）}＝{（b，a）}

2．“函数f（x）＝sin（ωx）（x，ω∈R，且ω≠0）的最小正周期为2”是“ω＝π”的（ ）

A．充分非必要条件

C．充要条件

B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

3．已知函数y＝2x2+4ax+7在区间[﹣3，﹣1]上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，1]

C．（﹣∞，2]∪[6，+∞）

4．设函数A．3 B．6

B．[6，+∞）

D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）

，则f（﹣2）+f（log26）＝（ ）

C．9 D．12

5．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣m，则f（2021）＝（ ）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

6．已知f（x）＝sin（﹣2x+A．[B．[C．[﹣D．[﹣+kπ，+2kπ，+kπ，+2kπ，），则f（x）的单调递增区间为（ ）

+kπ]，k∈Z

+2kπ]，k∈Z

+kπ]，k∈Z

+2kπ]，k∈Z

7．已知函数f（x）＝（ ）

A．4 B．7

，则函数g（x）＝f[f（x）]﹣1的零点个数为C．8 D．9

8．射线测厚技术原理公式为，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，第 1 页

共 16 页

e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）

（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）

A．0.110 B．0.112 C．0.114 D．0.116

二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（ ）

A．ab有最大值

C．+有最小值2

10．下列说法中正确的是（ ）

A．若x＞2，则函数的最小值为3

B．+有最大值

D．a2+b2有最大值

B．若m+n＝2（m，n∈R），则2m+2n的最小值为4

C．若x＞0，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最小值为1

D．若x＞1，y＞0满足x+y＝2，则11．已知函数A．函数f（x）的最小正周期为π

B．函数f（x）在[0，π]上有2个零点

C．当时，函数f（x）取得最大值

图象上所有点的横的最小值为

，则下列结论正确的是（ ）

D．为了得到函数f（x）的图象，只要把函数坐标变为原来的倍（纵坐标不变）

12．定义：若函数f（x）的图象经过变换Γ后所得图象对应的函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换Γ是f（x）的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换Γ，其中Γ属于f（x）的“同值变换”的是（ ）

A．f（x）＝x2﹣2x，Γ：将函数 f（x）的图象关于y 轴对称

B．f（x）＝2x﹣1，Γ：将函数 f（x）的图象关于x 轴对称

C．f（x）＝log2x，Γ：将函数 f（x）的图象关于y＝x 直线对称

第 2 页

共 16 页

D．f（x）＝cos（x+），Γ：将函数 f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称

三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知二次函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间[1，3]上是单调函数，那么实数a的取值范围是 ．

14．已知f（x﹣1）＝2x﹣5，则f（x）＝ ，若f（a）＝6，则a的值为 ．

15．已知函数f（x）＝﹣cos2x，x∈[，]，则f（x）的最大值为 ．

16．在log30.6，log25，30.4这3个数中，最大的是 ．

四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）

17．设命题p：实数m满足m2﹣3am+2a2＜0（a＞0）；命题q：曲线线．

（1）若a＝2，若p为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围；

（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2+ax+3﹣2a．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）是R上的单调函数，求实数a的取值范围．

19．某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某产品促销费用为x（万元）时，销售量t（万件）满足（其中0≤x≤k，k≥1）．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品元/表示双曲t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为件．

（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

20．已知函数f（x）＝sin（2x﹣（Ⅰ）求f（）的值；

）+4cos2x（x∈R）．

（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

21．已知函数g（x）＝lg（（1）求a的值；

第 3 页

共 16 页

﹣x）若g（x）是定义在R上的奇函数． （2）判断函数的单调性，并给出证明，若g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，求实数b的取值范围；

（3）若函数f（x）＝1﹣2|x﹣|，判断函数y＝f[f（x）]﹣g（﹣x）在区间[0，1]上的零点个数，并说明理由．

22．已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若对任意，都有，求m的最大值．

．

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共 16 页

2020-2021学年广东省汕尾市高一上期末考试数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．下列关系中正确的是（ ）

A．0∈∅

C．{0，1}⊆{（0，1）}

【解答】解：对于A，0∈∅，错误，

对于B，∅⫋{0}，正确，

对于C，{0，1}⊆{（0，1）}，错误，

对于D，{（a，b）}＝{（b，a）}，错误．

故选：B．

2．“函数f（x）＝sin（ωx）（x，ω∈R，且ω≠0）的最小正周期为2”是“ω＝π”的（ ）

A．充分非必要条件

C．充要条件

B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

B．∅⫋{0}

D．{（a，b）}＝{（b，a）}

【解答】解：由于函数f（x）＝sin（ωx），当ω＝π时，f（x）＝sinπx，所以函数的最小正周期为，

，所以ω＝±2， 当函数的最小正周期为2时，故|ω|＝所以“函数f（x）＝sin（ωx）（x，ω∈R，且ω≠0）的最小正周期为2”是“ω＝π”的必要不充分条件．

故选：B．

3．已知函数y＝2x2+4ax+7在区间[﹣3，﹣1]上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，1]

C．（﹣∞，2]∪[6，+∞）

【解答】解：函数的对称轴是x＝﹣a，

若函数在区间[﹣3，﹣1]上是单调函数，

则﹣a≤﹣3或﹣a≥﹣1，解得：a≥3或a≤1，

故选：D．

4．设函数

B．[6，+∞）

D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）

，则f（﹣2）+f（log26）＝（ ）

第 5 页

共 16 页 A．3

【解答】解：∵函数B．6 C．9

，

D．12

∴f（﹣2）＝1+log24＝3，

f（log26）＝＝6÷2＝3，

∴f（﹣2）+f（log26）＝3+3＝6．

故选：B．

5．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣m，则f（2021）＝（ ）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）＝f（1﹣x）；

∴f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x）；

∴f（x+4）＝f（x）；

∴f（x）的周期为4；

∵x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣m；

∴f（0）＝1﹣m＝0；

∴m＝1；

∴x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1；

∴f（2021）＝f（1+505×4）＝f（1）＝1．

故选：A．

6．已知f（x）＝sin（﹣2x+A．[B．[C．[﹣D．[﹣+kπ，+2kπ，+kπ，+2kπ，），则f（x）的单调递增区间为（ ）

+kπ]，k∈Z

+2kπ]，k∈Z

+kπ]，k∈Z

+2kπ]，k∈Z

），要求函数f（x）的递增区间，即求函数y＝sin

【解答】解：f（x）＝﹣sin（2x﹣（2x﹣）的递减区间，

第 6 页

共 16 页

由2kπ+得≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z

+kπ≤x≤+kπ]，k∈Z，

+kπ，+kπ]，k∈Z， 即函数f（x）的递增区间为[故选：A．

7．已知函数f（x）＝（ ）

A．4 B．7

，则函数g（x）＝f[f（x）]﹣1的零点个数为C．8

或x＝﹣1，

或f（x）＝﹣1，

D．9

【解答】解：令f（x）＝1，解得则令g（x）＝0，可得作出函数f（x）的图象如下图所示，

由图象可知，点，

故函数g（x）有7个零点．

故选：B．

8．射线测厚技术原理公式为，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，有3个零点，有3个零点，f（x）＝﹣1有1个零e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）

（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果第 7 页

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精确到0.001）

A．0.110 B．0.112

﹣7.6×0.8μC．0.114

，

D．0.116

【解答】解：由题意可得，＝1×e∴﹣ln2＝﹣7.6×0.8μ，

即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．

∴这种射线的吸收系数为0.114．

故选：C．

二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（ ）

A．ab有最大值

C．+有最小值2

B．+有最大值

D．a2+b2有最大值

【解答】解：因为正实数a，b满足a+b＝1，

由基本不等式可得ab因为所以＝＝a+b+2的最大值为＝＝，当且仅当a＝b时取等号，故A正确；

＝1+2≤1+a+b＝2，当且仅当a＝b时取等号，

，故B正确；

≥4，即有最小值4，故C错误；

a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab，结合A可知有最小值，当且仅当a＝b时取等号，故D错误；

故选：AB．

10．下列说法中正确的是（ ）

A．若x＞2，则函数的最小值为3

B．若m+n＝2（m，n∈R），则2m+2n的最小值为4

C．若x＞0，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最小值为1

D．若x＞1，y＞0满足x+y＝2，则【解答】解：若x＞2，则函数的最小值为＝x﹣1+，

令x﹣1＝t（t＞1），则g（t）＝t++1在（1，+∞）上为增函数，则g（t）＞g（1）＝3，

第 8 页

共 16 页

即＞3，故A错误；

， 若m+n＝2（m，n∈R），则2m+2n≥当且仅当2m＝2n，即m＝n＝1时上式等号成立，故B正确；

若x，y＞0，则﹣（x+y）≤﹣2即xy+2误；

若x＞1，y＞0满足x+y＝2，则x﹣1+y＝1，

∴当且仅当故选：BD．

11．已知函数A．函数f（x）的最小正周期为π

B．函数f（x）在[0，π]上有2个零点

C．当时，函数f（x）取得最大值

＝（）（x﹣1+y）＝3+时上式等号成立，则的最小值为，由x+y+xy＝3，得xy＝3﹣（x+y）≤3﹣2，

﹣3≤0，解得0＜xy≤1，当且仅当x＝y时等号成立，没有最小值，故C错．

，故D正确．

，则下列结论正确的是（ ）

D．为了得到函数f（x）的图象，只要把函数坐标变为原来的倍（纵坐标不变）

【解答】解：对于A，函数确；

对于B，令f（x）＝0，得2x+x＝kπ+对于C，x＝对于D，把函数不变），

即可得出函数故选：ABCD．

第 9 页

共 16 页

图象上所有点的横的最小正周期为T＝＝π，A正＝kπ+，k∈Z；

或x＝，f（x）有两个零点，B正确；

+）＝，取得最大值，C正确；

，k∈Z；x∈[0，π]时，x＝时，函数f（x）＝cos（2×图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标的图象，D正确． 12．定义：若函数f（x）的图象经过变换Γ后所得图象对应的函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换Γ是f（x）的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换Γ，其中Γ属于f（x）的“同值变换”的是（ ）

A．f（x）＝x2﹣2x，Γ：将函数 f（x）的图象关于y 轴对称

B．f（x）＝2x﹣1，Γ：将函数 f（x）的图象关于x 轴对称

C．f（x）＝log2x，Γ：将函数 f（x）的图象关于y＝x 直线对称

D．f（x）＝cos（x+），Γ：将函数 f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称

【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1变换Γ：将函数 f（x）的图象关于y 轴对称可得y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1≥﹣1，满足题意，A正确；

f（x）＝2x﹣1＞﹣1，Γ：将函数 f（x）的图象关于x 轴对称可得y＝1﹣2x＜1，值域不同，B错误；

由于f（x）＝log2x的值域R，Γ：将函数 f（x）的图象关于y＝x 对称可得y＝2x＞0，值域不同，C错误；

由于f（x）＝cos（x+），Γ：将函数 f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称后还是三角函数，值域为[﹣1，1]，符合题意，D正确．

故选：AD．

三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知二次函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间[1，3]上是单调函数，那么实数a的取值范围是 {a|a＜0或0＜a≤或a≥1} ．

【解答】解：f（x）的对称轴是x＝，

a＜0时，f（x）开口向下，x＝＜0，

f（x）在[1，3]递减，符合题意，

a＞0时，若f（x）在[1，3]单调，

只需≥3或0＜≤1，

解得：a≥1或0＜a≤，

综上，a∈{a|a＜0或0＜a≤或a≥1}，

第 10 页

共 16 页

故答案为：{a|a＜0或0＜a≤或a≥1}．

14．已知f（x﹣1）＝2x﹣5，则f（x）＝ 4x﹣1 ，若f（a）＝6，则a的值为

【解答】解：由f（a）＝6得，4a﹣1＝6，解得故答案为：4x﹣1；．

15．已知函数f（x）＝【解答】解：∵函数f（x）＝﹣，

∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，故 f（x）∈[0，]，

﹣cos2x，x∈[，]，则f（x）的最大值为

sin2x﹣＝sin（2x﹣ ．

），则f（x）＝4x﹣1，

．

．

﹣cos2x＝故函数f（x）的最大值为，

故答案为：．

16．在log30.6，log25，30.4这3个数中，最大的是 log25 ．

【解答】解：∵log30.6＜log31＝0，∴log30.6＜0，

∵log25＞log24＝2，∴log25＞2，

∵，∴，

∴在log30.6，log25，30.4这3个数中，最大的是log25，

故答案为：log25．

四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）

17．设命题p：实数m满足m2﹣3am+2a2＜0（a＞0）；命题q：曲线线．

（1）若a＝2，若p为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围；

（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）由m2﹣3am+2a2＜0（a＞0）；

得（m﹣a）（m﹣2a）＜0，（a＞0）；

即a＜m＜2a，即p：a＜m＜2a，

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表示双曲 若曲线表示双曲线，

则（m﹣1）（m﹣5）＜0，

得1＜m＜5，即q：1＜m＜5，

若a＝2，则p：2＜m＜4，

若p为假命题，p∨q为真命题，

则q为真命题，

即，

得4≤m＜5或1＜m≤2，

即实数m的取值范围是{m|4≤m＜5或1＜m≤2}

（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，

则q是p的必要不充分条件，

即，得，得1≤a≤，

即实数a的取值范围是1≤a≤．

18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2+ax+3﹣2a．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）是R上的单调函数，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，

当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2+a（﹣x）+3﹣2a＝x2﹣ax+3﹣2a＝﹣f（x），

所以f（x）＝﹣x2+ax﹣3+2a（x＜0），

所以f（x）＝，

（2）若f（x）是R上的单调函数，且f（0）＝0，

则实数a满足解得，

解得，

第 12 页

共 16 页

故实数a的取值范围是．

19．某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某产品促销费用为x（万元）时，销售量t（万件）满足（其中0≤x≤k，k≥1）．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品元/t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为件．

（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

【解答】解：（1）由题意，得将代入化简，得）

，

，

；

（2）由（1）得，y＝20﹣（＝21﹣（当且仅当），即x＝1（满足0≤x≤k，k≥1）时，上式取等号．

故促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．

20．已知函数f（x）＝sin（2x﹣（Ⅰ）求f（）的值；

）+4cos2x（x∈R）．

（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

【解答】解：（Ⅰ）＝＝∴（Ⅱ）∵∴．

．

，

+2

．

．

第 13 页

共 16 页

∴f（x）的单调增区间为：21．已知函数g（x）＝lg（（1）求a的值；

．

﹣x）若g（x）是定义在R上的奇函数．

（2）判断函数的单调性，并给出证明，若g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，求实数b的取值范围；

（3）若函数f（x）＝1﹣2|x﹣|，判断函数y＝f[f（x）]﹣g（﹣x）在区间[0，1]上的零点个数，并说明理由．

【解答】解：（1）∵g（x）＝lg（∴g（0）＝lg（）＝0，即a＝1，

﹣x）是定义在R上的奇函数，

﹣x）是定义在R上的奇函数，

当a＝1时，验证可知g（x）＝lg（故a＝1；

（2）函数g（x）＝lg（证明如下：令u（x）＝则﹣x）在R上单调递减．

﹣x，设x2＞x1，

＝＝

＝．

∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0，又＞|x2|，＞|x1|，

∴≤＜1，则﹣1＜0，

∴u（x2）＜u（x1），即u（x）为R上的减函数，

又y＝lgu为定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，函数g（x）＝lg（x）在R上单调递减．

由g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，得bx2+2＜2x+1，即bx2＜2x﹣1，

也就是b＜在[2，3]上有解，

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﹣ 令，则t∈[，]，求得，

则b＜；

（3）g（﹣x）＝lg（+x），

f（x）＝1﹣2|x﹣|＝，

当x∈[0，1]时，f（f（x））＝，

∵f（f（0））＝g（0）＝0，f（f（））＝1，而g（）＝lg2＜1，

如图，函数y＝f[f（x）]﹣g（﹣x）在区间[0，1]上有4个零点．

22．已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若对任意【解答】解：（Ⅰ）因为＝＝＝，

．

第 15 页

共 16 页

．

，都有，求m的最大值．

所以f（x）的最小正周期为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知令当若对任意即对任意所以即，

．

；

，

时，，都有，都有；

；

，

，

所以m的最大值为

第 16 页

共 16 页