2023年12月2日发(作者：凉山中考数学试卷及答案)
2019-2020学年四川省成都市武侯区西川中学
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若＝，则A．1
的值为（ ）
B． C． D．
2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
4．（3分）如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，则河宽AB为（ ）
A．120m B．100m C．75m D．25m
5．（3分）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取1本恰好是小说的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
第34页（共34页）
A．m＞ B．m＜ C．m＞ D．m＜
7．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣3，1）在它的图象上
B．它的图象在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（ ）
A．75°
B．65° C．55° D．50°
9．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（ ）
A．200（﹣1） B．100（﹣1） C．100（3﹣） D．50（﹣1）
10．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3，BC＝4．点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ．
12．（4分）已知x＝2是关于x一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一根是 ．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，E在AD上，＝ ．
＝，CE交BD于F，则S△BCF：S△DCF第34页（共34页）
14．（4分）如图，函数y＝kx（k≠0）与y＝的图象交于A，B两点，过点A作AM垂直于x轴，垂足为点M，则△BOM的面积为 ．
三、解答题（共54分）
15．（10分）（1）解方程：x2+2x﹣8＝0．
（2）解方程：（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0．
16．（8分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
17．（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
第34页（共34页）
18．（8分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，该市旅游部门统计绘出“五一“长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题．
（1）“五一”期间，该市周边景点共接待游客 万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图．
（2）甲、乙两个旅行团在A，B，D三个景点中进行选择，求同时选择去同一景点的概率为多少？（请用画树状图或列表法加以说明）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于第二象限内的A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，OA＝5，OC＝4，点B的纵坐标为6．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）写出kx+b﹣＜0的解集．
第34页（共34页）
20．（10分）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5长．
四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
21．（4分）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2019的值为 ．
22．（4分）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数y＝（5﹣m2）x的图象经过第一、第三象限，且使关于x的方程（m+1）x2+mx+1＝0有实数根的概率是 ．
23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6，则FG的长为 ．
，求AG的第34页（共34页）
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点A的坐标是 ．
25．（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
五、解答题（共3小题，满分30分）
26．（8分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
27．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上第34页（共34页）
的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
28．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形OBCD为矩形，B点的坐标为（5，0），D的坐标为（0，4），A为x负半轴上一点，AD＝CD．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向点A运动，点P沿线段AB向点B运动，Q点的速度为每秒个单位长度，P点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过P点作PQ的垂线交直线CD于点M，在P、Q运动的过程中，是否在平面内有一点N，使四边形QPMN为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
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2019-2020学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若＝，则A．1
的值为（ ）
B． C． D．
【分析】根据合分比性质求解．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝．
故选：D．
【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从前面看所得到的图形即可．
【解答】解：从前面看可得到左边有2个正方形，右边有1个正方形，所以选A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是指从前面看所得到的图形．
3．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
第34页（共34页）
【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据三角形中位线性质和平行四边形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行边形是菱形，所以B选项错误；
C、顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形，所以C选项正确；
D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
4．（3分）如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，则河宽AB为（ ）
A．120m B．100m C．75m D．25m
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
【解答】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝，
＝＝100（米）． ∴AB＝则两岸间的大致距离为100米．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
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5．（3分）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取1本恰好是小说的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用小说的本书除以总本书即可得出答案．
【解答】解：∵书架上有3本小说、2本散文，共有5本书，
∴从中随机抽取1本恰好是小说的概率是；
故选：D．
【点评】本题考查了概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m＞ D．m＜
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3m，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3m）＝1+12m＞0，
解得m＞故选：C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
．
A．点（﹣3，1）在它的图象上
B．它的图象在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵﹣＝1，∴点（﹣3，1）在它的图象上，故本选项正确；
B、k＝﹣3＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
第34页（共34页）
C、k＝﹣3＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D、k＝﹣3＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（ ）
A．75°
B．65° C．55° D．50°
【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
9．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（ ）
A．200（﹣1） B．100（﹣1） C．100（3﹣） D．50（﹣1）
【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB，把AB＝200代入计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝而AB＝200，
第34页（共34页）
AB， ∴AC＝故选：B．
×200＝100（﹣1）．
【点评】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中．
10．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3，BC＝4．点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
倍，则这
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由于∠PAD＝∠PBC＝90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°．
∵AD∥BC
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴∠PAD＝∠PBC＝90°．
设AP的长为x，则BP长为7﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，
即x：（7﹣x）＝3：4，
解得：x＝3
②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，
即x：4＝3：（7﹣x），
解得：x＝4或3．
∴满足条件的点P的个数是2个，
第34页（共34页）
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 4：9 ．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
12．（4分）已知x＝2是关于x一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一根是 ﹣3 ．
【分析】设方程的另一个根为x2，根据两根之积列出关于x2的方程，解之可得答案．
【解答】解：设方程的另一个根为x2，
则2x2＝﹣6，
解得x2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，E在AD上，＝ 3：1 ．
＝，CE交BD于F，则S△BCF：S△DCF
【分析】首先根据可得，然后根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝，则可得出答CB，可以证明△DEF∽△BCF，再根据相似三角形的性质可得案．
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【解答】解：∵∴，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝CB，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
∴．
故答案为：3：1．
故答案为：3：1．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（4分）如图，函数y＝kx（k≠0）与y＝的图象交于A，B两点，过点A作AM垂直于x轴，垂足为点M，则△BOM的面积为 ．
【分析】由函数y＝kx（k≠0）与y＝的图象交于A，B两点，利用中心对称的性质得到OA＝OB，即MO为三角形ABM的中线，根据等底同高可得出三角形AOM与三角形BOM的面积相等，要求三角形BOM的面积即要求三角形AOM的面积，设A坐标为（a，b），可表示出OM与AM，利用三角形的面积公式表示出三角形AOM的面积，再将A的坐标代入反比例函数解析式中，得到ab的值，将ab的值代入表示出的面积中求出三角形AOM的面积，即为三角形BOM的面积．
【解答】解：由题意得：OA＝OB，则S△AOM＝S△BOM，
设A（a，b）（a＞0，b＞0），故OM＝a，AM＝b，
将x＝a，y＝b代入反比例函数y＝得：b＝，即ab＝3，
第34页（共34页）
又∵AM⊥OM，即△AOM为直角三角形，
∴S△BOM＝S△AOM＝OM•AM＝ab＝．
故答案是：．
【点评】此题考查了反比例函数解析式中k的几何意义，其k的几何意义为：过反比例函数y＝（k≠0）图象上的点作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成矩形的面积等于|k|，熟练掌握此性质是解本题的关键．
三、解答题（共54分）
15．（10分）（1）解方程：x2+2x﹣8＝0．
（2）解方程：（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用换元法求解可得．
【解答】解：（1）∵x2+2x﹣8＝0，
∴（x+4）（x﹣2）＝0，
则x+4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2；
（2）令2x﹣1＝a，
则a2﹣2a＝0，
∴a（a﹣2）＝0，
∴a＝0或a﹣2＝0，
解得a＝0或a＝2，
当a＝0时，2x﹣1＝0，解得x＝0.5；
当a＝2时，2a﹣1＝2，解得x＝1.5；
综上，x1＝0.5，x2＝1.5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．（8分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
第34页（共34页）
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O；
（2）由OB＝2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1；
（3），连接B′O并延长，使OB″＝OB′，延长A′O并延长，使OA″＝OA′，C′O并延长，使OC″＝OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．
【解答】解：（1）图中点O为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，﹣2）； C″（4，﹣4）．
【点评】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
第34页（共34页）
17．（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
【解答】解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC＝CD＝x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得：x＝6.125≈6.1．
经检验，x＝6.125是原方程的解，
∴路灯高CD约为6.1米
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
18．（8分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，该市旅游部门统计绘出“五一“长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题．
（1）“五一”期间，该市周边景点共接待游客 50 万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是 108° ，并补全条形统计图．
第34页（共34页）
（2）甲、乙两个旅行团在A，B，D三个景点中进行选择，求同时选择去同一景点的概率为多少？（请用画树状图或列表法加以说明）
【分析】（1）根据A景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；先求得A景点所对应的圆心角的度数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；根据B景点接待游客数补全条形统计图；
（2）画出树状图，共有9种等可能的结果，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，根据概率公式进行求解即可．
【解答】解：（1）该市周边景点共接待游客数为：15÷30%＝50（万人），
A景点所对应的圆心角的度数是：30%×360°＝108°，
B景点接待游客数为：50×24%＝12（万人），
故答案为：50，108°；
补全条形统计图如下：
（2）画树状图可得：
共有9种等可能的结果，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，
∴同时选择去同一个景点的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复第34页（共34页）
不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于第二象限内的A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，OA＝5，OC＝4，点B的纵坐标为6．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）写出kx+b﹣＜0的解集．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）求出R的坐标，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）根据图象和A、B的坐标即可求出答案．
【解答】解：（1）在Rt△AOC中，AC＝故点A的坐标为（﹣4，3），
将A（﹣4，3）代入y＝得m＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣∵当y＝6时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，6），
将A（﹣4，3），B（﹣2，6）代入y＝kx+b得，解得，
；
＝＝3，
∴一次函数的解析式为y＝x+9；
第34页（共34页）
（2）设一次函数交x轴于点R，
把y＝0代入y＝x+9得：x＝﹣6，
即R的坐标是（﹣6，0），OR＝6，
S△AOB＝S△BOR﹣S△AOR＝
（3）由图象知kx+b﹣＜0的解集为：x＜﹣4或﹣2＜x＜0．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．
20．（10分）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．
6×6﹣×6×3＝9；
（1）求证：DE⊥DF；
（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5长．
【分析】（1）证明△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到∠ADF＝∠CDE，根据第34页（共34页）
，求AG的 垂直的定义证明；
（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理得到GE＝GF，根据三角形的周长公式求出BA，根据正方形的面积公式计算；
（3）作HP⊥HC交CB的延长线于点P，证明△HDC≌△HEP，得到DC＝PE＝8，CH＝HP＝5，根据勾股定理列方程求出EG，计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE＝90°，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS）
∴∠ADF＝∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠FDE＝90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵∠BGE＝2∠BFE，∠BGE＝∠BFE+∠GEF，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∵△BGE的周长为16
∴BE+GB+GE＝16
∴BE+GB+GF＝16
∴BE+BA+AF＝16
∵CE＝AF，
∴BA+CB＝16，
∴BC＝BA＝8，
∴S四边形DEBF＝S四边形DEBA
＝S四边形DEBA+S△DCE
＝S正方形ABCD
＝AB2
＝64；
第34页（共34页）
（3）过点H作HP⊥HC交CB的延长线于点P，
∵GF＝GE，DF＝DE，
∴DG垂直平分EF，
∵∠FDE＝90°，
∴DH＝EH，∠DHE＝∠PHC＝90°，
∴∠DHE﹣∠EHC＝∠PHC﹣∠EHC，即∠DHC＝∠EHP，
∵在四边形DHEC中，∠HDC+∠HEC＝180°，∠HEC+∠HEP＝180°，
∴∠HEP＝∠HDC，
在△HDC和△HEP中，
，
∴△HDC≌△HEP（ASA）
∴DC＝PE＝8，CH＝HP＝5∴在Rt△PHC中，PC＝10，
∴EC＝PC﹣PE＝2，
∴AF＝2，BE＝6，
在Rt△BGE中，设EG＝x，则BG＝10﹣x，
由勾股定理得，（10﹣x）2+62＝x2
解得：x＝，
．
，
∴AG＝GF﹣AF＝
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
21．（4分）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2019的值为 2022 ．
第34页（共34页）
【分析】已知等式配方变形后，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，
∴x2﹣2x+1＝3，即（x﹣1）2＝3，
则原式＝3+2019＝2022．
故答案为：2022．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．本题采用了整体代换的思想．
22．（4分）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数y＝（5﹣m2）x的图象经过第一、第三象限，且使关于x的方程（m+1）x2+mx+1＝0有实数根的概率是 ．
【分析】根据函数的图象经过第一、三象限，舍去不符合题意的数值，再将符合题意的数值代入验证即可．
【解答】解：∵所得函数的图象经过第一、三象限，
∴5﹣m2＞0，
∴m2＜5，
∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，
将m＝0代入（m+1）x2+mx+1＝0中得，x2+1＝0，△＝﹣4＜0，无实数根；
将m＝﹣1代入（m+1）x2+mx+1＝0中得，﹣x+1＝0，x＝1，有实数根；
将m＝﹣2代入（m+1）x2+mx+1＝0中得，x2+2x﹣1＝0，△＝4+4＝8＞0，有实数根．
故方程有实数根的概率为；
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6，则FG的长为 3 ．
第34页（共34页）
【分析】首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，再证明FG是菱形的高，根据2•S△ABC＝BC•FG即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAB＝∠CAD＝60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG＝∠AGE＝30°，
∵∠B＝∠EGF＝60°，
∴∠AGF＝90°，
∴FG⊥BC，
∴2•S△ABC＝BC•FG，
∴2×∴FG＝3故答案为3×（6．
．
）2＝6•FG，
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，记住菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半，属于中考常考题型．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点A的坐标是 （8，4） ．
第34页（共34页）
【分析】由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标．
【解答】解：∵点D的坐标为（6，8），
∴OD＝＝10，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB＝OD＝10，
∴点B的坐标为：（10，0），
∵AB＝AD，即A是BD的中点，
∴点A的坐标为：（8，4），
故答案是：（8，4）．
【点评】此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质．此题利用了菱形的四条边都相等的性质求得边OB的长度是解题的难点．
25．（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．
其中正确的是 ①③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE＝∠DCF，∠A＝∠ADC，AB＝CD，证得△ABE≌△DCF，故①正确；由于∠FDP＝∠PBD，∠DFP＝∠BPC＝60°，推出△DFP∽△BPH，得到＝＝＝故②错误；由于∠PDH＝∠PCD＝30°，第34页（共34页）
∠DPH＝∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到＝，PB＝CD，等量代换得到PD2＝PH•PB，故③正确；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积＝△BCP的面积+△CDP面积﹣△BCD的面积，得到【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF，故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴＝＝＝，故②错误；
＝故④正确．
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，
∵∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴＝，
∴PD2＝PH•CD，
∵PB＝CD，
∴PD2＝PH•PB，故③正确；
第34页（共34页）
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，
∴∠PCD＝30°
∴PN＝PB•sin60°＝4×S△BPD＝S＝4∴四边形＝2，PM＝PC•sin30°＝2，
×4×2+×2×4﹣×4×4PBCD﹣S△BCD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD＝+4﹣8＝4＝﹣4，
．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论．
五、解答题（共3小题，满分30分）
26．（8分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润＝一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把y＝2520时代入y＝﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y＝﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x第34页（共34页）
≤10且x为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，
解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）
当x＝2时，30+x＝32（元）
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意得：
y＝﹣10x2+130x+2300
＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），
当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
27．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
第34页（共34页）
【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；
（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；
（3）分三种情况进行讨论：
①当AD＝DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD≌△DCE，则AB＝CD，即2＝2﹣x；
②当AE＝ED时，如图3，则ED＝EC，即y＝（2﹣y）；
③当AD＝AE时，∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，
∴∠ABD＝∠ACB＝30°，
∴∠ABD＝∠ADE＝30°，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC＝∠DAB，
∴△ABD∽△DCE；
（2）如图1，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
过A作AF⊥BC于F，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝2，∠ABF＝30°，
∴AF＝AB＝1，
∴BF＝，
，
第34页（共34页）
∴BC＝2BF＝2 则DC＝2﹣x，EC＝2﹣y．
∵△ABD∽△DCE，
∴∴化简得：y＝，
，
x+2（0＜x＜2）；
（3）当AD＝DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD≌△DCE，
则AB＝CD，即2＝2将x＝2﹣x，
x+2．
，
﹣2，代入y＝，即AE＝4﹣2解得：y＝4﹣2当AE＝ED时，如图3，
∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，
∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，
则ED＝EC，即y＝（2﹣y），
解得：y＝，即AE＝，
当AD＝AE时，
∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，
第34页（共34页）
∴当△ADE是等腰三角形时，AE＝4﹣2或．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．
28．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形OBCD为矩形，B点的坐标为（5，0），D的坐标为（0，4），A为x负半轴上一点，AD＝CD．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向点A运动，点P沿线段AB向点B运动，Q点的速度为每秒个单位长度，P点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过P点作PQ的垂线交直线CD于点M，在P、Q运动的过程中，是否在平面内有一点N，使四边形QPMN为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件得出CD、DO、AD，由勾股定理求出AO，求出点A、点C的坐标，由待定系数法就可以求出直线AC的解析式；
（2）先求出∠BAC的正弦值，然后根据三角形的面积公式分段进行计算就可以表示出S与t的函数关系式，而求出结论；
（3）分两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形OBCD为矩形，B点的坐标为（5，0），D的坐标为（0，4），
∴CD＝5，DO＝4，
∴AD＝CD＝5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝∴A（﹣3，0），C（5，4）．
第34页（共34页）
＝＝3． 设直线AC的解析式为，y＝kx+b，由题意得
，
解得：．
故直线AC的解析式为：y＝x+．
（2）∵当x＝0时，y＝，
∴E（0，），
∴OE＝，
∴DE＝．
在Rt△CDE和Rt△AOE中，由勾股定理得：
CE＝∴AC＝4，AE＝．
，
∵OA＝3，OB＝5，
∴AB＝8，
∵BC＝4，
∴tan∠BAC＝，sin∠BAC＝，
∴当0＜t＜时，S＝﹣＝﹣t2+t；
当＜t≤4时，S＝﹣＝t2﹣t．
综上所述，S＝；
（3）①如图1，作NH⊥CD与H，MG⊥AB与G，QR⊥AB与R，
∴∠MHN＝∠MGP＝∠PRQ＝90°，
∵四边形QPMN为正方形，
∴MP＝MN＝PQ，∠NMP＝∠MPQ＝90°，
第34页（共34页）
∴∠NMH＝∠GMP＝∠QPR，
在△MHN和△PRQ中，
，
∴△MHN≌△PRQ（AAS）．
∴NH＝QR．
在△GMP和△RPQ中，
，
∴△GMP≌△RPQ（AAS），
∴GM＝RP．GP＝QR．
∵GM＝OD＝4cm，
∴RP＝4cm．
∵＝，
∴AR＝8﹣2t，
∴PR＝8﹣2t﹣2t＝4，
∴t＝1，
∴AR＝6，AP＝2，
∴PO＝1，
∵＝，
∴QR＝3，
∴GO＝4，
∴HN＝3，MH＝4，
∴H、O在同一直线上，
∴N（0，7）；
②如图2，作NS⊥CD于S，QH⊥AB于H，MR⊥AB于R，
∴∠NSM＝∠QHP＝∠PRM＝90°，
∵四边形PQNM是正方形，
∴∠QPM＝∠PMN＝90°，PQ＝PM＝MN，
第34页（共34页）
∴∠HPQ＝∠PMR＝∠NMS，
∴同①可以得出△NSM≌△QHP≌△PRM，
∴NS＝QH＝PR，HP＝MR＝SM＝4，
∵∴＝，
＝，
∴AH＝8﹣2t，
∴2t﹣（8﹣2t）＝4，
∴t＝3，
∴AH＝2，HO＝1，
∴QH＝SN＝1，OR＝4，
∴SM＝OR，
∴S在y轴上，
∴N（0，5）
综上所述，N点的坐标为：（0，7）或（0，5）．
【点评】本题考查了一次函数综合题，涉及特殊角的三角函数值的运用，矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用．
第34页（共34页）
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