中考数学压轴题

2024年3月5日发(作者：数学试卷录入用什么软件)

2023中考数学 压轴题汇编 二次函数综合（含答案）1.已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C.(1)求A、B两点的坐标；(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；(3)当PC＝CO时，求P点坐标．

第1题图

解：(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0，

解得x1＝0，x2＝4.

∴点B坐标为(4，0)，

设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，

x＝－x2＋4x，

解得x1＝3，x2＝0(舍去)，

∴点A的坐标为(3，3);

(2) 如解图①，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，

第11题解图①

∵点A坐标为(3，3)；

∴∠AOB＝45°，

∴OD＝CD＝x，

∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，

∵PE∥x轴，

∴△PCE是等腰直角三角形，

∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．

∵PE与线段OA相交，

∴0≤x≤1，

92由PC＝－x2＋3x＝－(x－3)＋可知，抛物线的对称轴为直线24x＝3，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，

2∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，

∴PE＝2，CE＝22，

∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋22，

∴△PCE周长的最大值为4＋22，

把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，

∴点P的坐标为(1，3)；

(3)设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，

第1题解图②

①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，＝2x，

∵P1C1＝OC1，

∴－x2＋3x＝2x，

解得x1＝3－2，x2＝0(舍去)．

把x＝3－2代入y＝－x2＋4x得，

y＝－(3－2)2＋4(3－2)＝1＋22，

∴P1(3－2，1＋22)，

②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，12OCOC

＝2x，

∵P2C2＝OC2，

∴x2－3x＝2x，

解得x1＝3＋2，x2＝0(舍去)，

把x＝3＋2代入y＝－x2＋4x，

得y＝－(3＋2)2＋4(3＋2)＝1－22，

∴P2(3＋2，1－22)．

综上所述，P点坐标为(3－2，1＋22)或(3＋2，1－22)．

2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于

A(－1，0)，B(－3，0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标；

(3)点Q是直线BC上方抛物线上的动点，求点Q到直线BC的距离最大时点Q的坐标.

第2题图

解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(－3，0)，

01bcb4∴093bc，解得c3，

∴抛物线的解析式为y＝－x2－4x－3；

(2)由y＝－x2－4x－3可得D(－2，1)，C(0，－3)，

∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2，可得△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC＝45°，CB＝32，

如解图①，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，

∴AF＝1AB＝1，

2

第2题解图①

设直线BC与对称轴的交点为E，连接AE，AC，

∵EF＝1＝AF，则有∠BAE＝∠OBC＝45°，

∴∠AEB＝90°，∴BE＝AE＝2，CE＝22.

在△AEC与△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90°，∠ACE＝∠APF，

∴△AEC∽△AFP，

∴AECEAFPF，即2221PF，解得PF＝2.

∵点P在抛物线的对称轴上，

∴点P的坐标为(－2，2)或(－2，－2)；

(3)设直线BC的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，直线BC经过B(－3，0)，C(0，－3)，

∴03kd3d

k1，解得d3，

∴直线BC的解析式为y＝－x－3.

如解图②，设点Q(m，n)，过点Q作QH⊥BC于点H，并过点Q作QS∥y轴交直线BC于点S，则S点坐标为(m，－m－3)，

第2题解图②

∴QS＝n－(－m－3)＝n＋m＋3.

∵点Q(m，n)在抛物线y＝－x2－4x－3上，

∴n＝－m2－4m－3，

92∴QS＝－m2－4m－3＋m＋3＝－m2－3m＝－(m＋3)＋，

249当m＝3时，QS有最大值.

24∵BO＝OC，∠BOC＝90°，

∴∠OCB＝45°，

∵QS∥y轴，

∴∠QSH＝∠OCB＝45°，

∴△QHS是等腰直角三角形，

∴当斜边QS最大时，QH最大．

∵当m＝－3时，QS最大，

23此时n＝－m2－4m－3＝－9＋6－3＝，

443即Q(－3，)，

243∴当点Q的坐标为(－3，)时，点Q到直线BC的距离最大.

243.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y＝－3x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D.4点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若PE＝5EF，求m的值；

(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不．．．．存在，请说明理由．

第3题图

解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点．

∴20(1)bc2055bcb4，解得，

c5∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；

(2)∵点P的横坐标为m，

∴P(m，－m2＋4m＋5)，E(m，－3m＋3)，F(m，0)．

4又∵点P在x轴上方，要使PE＝5EF，点P应在y轴右侧，

∴0

192∴PE＝－m2＋4m＋5－(－3m＋3)＝－m＋m＋2.

44分两种情况讨论：

①当点E在点F上方时，EF＝－3m＋3.

4

∵PE＝5EF，

3∴－m2＋19m＋2＝5(－m＋3)，

44即2m2－17m＋26＝0，解得m1＝2，m2＝13(舍去)；

2②当点E在点F下方时，EF＝3m－3.

4∵PE＝5EF，

∴－m2＋194m＋2＝5(34m－3)，

即m2－m－17＝0，

解得m3＝1691692，m4＝2(舍去)；

综上，m为2或1692；

(3) 存在．点P的坐标为P1(－1112，4)，211－3)．

【解法提示】假设存在点P满足题意，作出示意图如解图，

第3题解图

∵点E和点E′关于直线PC对称，

∴∠E′CP＝∠ECP.

P2(4，5)，P3(3－11，

又∵PE∥y轴，

∴∠EPC＝∠E′CP＝∠PCE，

∴PE＝EC.

又∵CE＝CE′，

∴四边形PECE′为菱形．

过点E作EM⊥y轴于点M，

∴△CME ∽△COD，

∴ODCDMECE，

由直线CD的解析式为y=-3x+3可得OD=4，OC=3，由勾股定4理得CD=5，

45∴m,

CE∴CE＝|5m|.

4∵PE＝CE，

51952∴－m2＋19m＋2＝m或－m＋m＋2＝－m(－1

44441解得m1＝－，m2＝4，m3＝3－211，m4＝3＋11 (舍去)，

1111∴点P的坐标为P1(－1，)，P2(4，5)，P3(3－24，211－3)．

124.如图，过抛物线y＝4x－2x上一点A作x轴的平行线，交抛

物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为－2.

(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；

(2)在AB上任取一点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D，

①连接BD，求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．

第4题图

121解：(1)由抛物线y＝4x－2x得y＝4(x－4)2－4，

∴抛物线的对称轴为x＝4.

1∵点A在抛物线上且横坐标为－2，∴点A的纵坐标为y＝4×(－2)2－2×(－2)＝5，即点A的坐标为(－2，5)，

∵AB∥x轴，∴点B与点A关于抛物线对称轴x＝4对称，

∴点B坐标为(10，5)；

(2) ①如解图①，

第4题解图①

∵点C是AB与y轴的交点，

∴点C的坐标为(0，5)，

∵点C与点D关于OP对称，

∴OD＝OC＝5，

连接BO，当点D不在OB上时，根据三角形三边关系可知BD>OB－OD，

当点D落在OB上时，BD＝OB－OD，此时BD最小，

∵BO＝102＋52＝55，OD＝OC＝5，

∴BD的最小值为55－5；

②如解图②，设对称轴与AB交于点M，与x轴交于点N，

第4题解图②

当点P在对称轴左侧时，连接OD，在Rt△ODN中，ON＝4，

OD＝5，由勾股定理得DN＝OD2－ON2＝3，所以点D的坐标为(4，3)，DM＝2，

设CP＝x，在Rt△PMD中，由勾股定理得PM2＋MD2＝PD2，由点C与点D关于OP对称得PC＝PD，即(4－x)2＋22＝x2，55解得x＝，所以点P的坐标为(，5)，

22设直线PD的解析式为y＝mx＋n，将点P，D的坐标代入得

45 m＝－ m＋n＝532，解得，

25 n＝ 4m＋n＝33425∴PD的解析式为y＝－x＋；

33当点P在对称轴左侧时，点D落在x轴上方，符合题意；当点P在对称轴的右侧时，点D落在x轴的下方，不符合题意．

5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第5题图

解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，

 9＋3b＋c＝0 b＝－4∴，解得，

 1＋b＋c＝0 c＝3∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；

(2)令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)，

设直线AC的解析式为y＝kx＋b，将A(3，0)，C(0，3)代入直线AC解析式得：

 3k＋b＝0 k＝－1，解得，

 b＝3 b＝3∴直线AC的解析式为y＝－x＋3，

设点P(x，x2－4x＋3)，

∵PD∥y轴，

∴点D(x，－x＋3)，

329∴PD＝(－x＋3)－(x－4x＋3)＝－x＋3x＝－(x－)＋，

2422∵a＝－1<0，

39∴当x＝时，线段PD的长度有最大值，最大值为；

24(3)存在．

由抛物线的对称性得，对称轴垂直平分线段AB，

∴MA＝MB，

当M、B、C不在同一条直线上时，由三角形的三边关系得，

|MA－MC|＝|MB－MC|

当M、B、C三点共线时，

|MA－MC|＝|MB－MC|＝BC，

∴|MA－MC|≤BC，即当点M在BC的延长线上时，

|MA－MC|最大，最大值即为BC的长度，

设直线BC的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，

∵B(1，0)，C(0，3)，在直线BC上，

 k1＋b1＝0 k1＝－3∴，解得，

 b1＝3 b1＝3∴直线BC的解析式为y＝－3x＋3，

∵抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2，

∴当x＝2时，y＝－3×2＋3＝－3，

∴点M(2，－3)，

即抛物线对称轴上存在点M(2，－3)，使|MA－MC|最大．

6.如图①，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C.直线y＝x＋2经过点A，交抛物线于点D，AD交y轴于点E，连接CD，且CD∥x轴．

第6题图

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图②，过点A的直线交抛物线第四象限于点F，若tan∠1BAF＝，求点F的坐标；

2(3)在(2)的条件下，P为直线AF上方抛物线上一点，过点P作PH⊥AF，垂足为H，若HE＝PE，求点P的坐标．

解：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋5与y轴交于点C，

当x＝0时，y＝5，即C(0，5)，

∵CD∥x轴，

∴D点的纵坐标为5，

∴当y＝5时，x＋2＝5，解得x＝3，

∴D(3，5)，

当y＝0时，x＝－2，

∴A(－2，0)，

将A(－2，0)，D(3，5)代入y＝ax2＋bx＋5中，得4a－2b＋5＝0a＝－129a＋3b＋5＝5，解得3，

b＝2∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋32x＋5；

(2)设F(t，－12t2＋32t＋5)，

如解图①，过点F作FG⊥x轴于点G，则G(t，

第6题解图①

0)，

FG1由tan∠BAF＝＝，得AG＝2FG，

AG2123即t－(－2)＝2×[0－(－2t＋2t＋5)]，

化简，得t2－4t－12＝0，

解得t1＝－2，t2＝6，

∵点F在第四象限，

∴t>0，

∴t＝6，即F点坐标为(6，－4)；

(3)∵A(－2，0)，F(6，－4)，

设直线AF的解析式为y＝kx＋b，

1k＝－0＝－2k＋b2，

∴，解得－4＝6k＋bb＝－11∴直线AF的解析式为y＝－2x－1.

∵直线AD的解析式y＝x＋2交y轴于E点，

∴当x＝0时，y＝2，即E点坐标为(0，2)；

如解图②，设直线PE交AF于点Q，

第6题解图②

∵HE＝PE，

∴∠EHP＝∠EPH，

∵PH⊥AF于点H，

∴∠PHA＝90°，

∴∠EPH＋∠PQH＝90°，

∠EHP＋∠EHQ＝90°，

∴∠PQH＝∠EHQ，

∴EQ＝EH，

∴EQ＝EP，即E为PQ的中点，

123设P(m，－m＋m＋5)，

22∵E(0，2)，

123∴Q(－m，m－m－1)，

22∵点Q在直线AF上，

1231∴m－m－1＝－(－m)－1，

222整理，得m2＝4m，

解得m1＝0，m2＝4，

当m1＝0时，P1(0，5)，

当m2＝4时，P2(4，3)，

综上所述，点P的坐标为(0，5)或(4，3)．

7.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；

(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，

∴C点坐标为(0，3)，E点坐标为(2，3)．

将C、E点坐标代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c得：

c＝3b＝2，解得.

－4＋2b＋c＝3c＝3∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；

(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，

令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，

∴A(－1，0)，B(3，0)，

∵AO＝1，CO＝3，

∴在Rt△AOC中，

AC＝OA2＋OC2＝10，

∵CO＝BO＝3，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴FM＝BF＝1，

∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF，

∴△ARO∽△AMF，

ROAORO1∴＝，即＝，

MFAF131解得RO＝3，

18∴CR＝OC－OR＝3－3＝3，

AR＝OA＋OR＝2212101＋（）＝，

3328108＋410∴△ACR的周长为：AC＋CR＋AR＝10＋＋＝；333（3）如解图①，取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y轴于点P′，连接AP′，

第7题解图①

则当P在P′处时，使AP＋PH＋HG最小，

∵A′为OF中点，

∴A′坐标为(1，0)，

设直线A′G的解析式为y＝kx＋a，

将点G(4，－5)，A′(1，0)分别代入得

k＝－53－5＝4k＋a，解得：，

50＝k＋aa＝355∴直线A′G的解析式为：y＝－3x＋3.

1055令x＝2，得y＝－3＋3＝－3，

5∴点H的坐标为(2，－)，

35∴符合题意的点P的坐标为(0，－)．

38.如图，△MCB的顶点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点M，C，B，且点M为抛物线的顶点，点A(－1, 0)是抛物线与x轴负半轴的交点，若线段AB＝6，∠ABC＝45°.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D为线段BM上任意一点(点D不与点B重合)，过点D作垂直于x轴的直线x＝t，交抛物线于点E，交线段BC于点F.

①求当t为何值时，线段DE有最大值？最大值是多少？

ED1②是否存在这样的点D，使得FD＝2？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

第8题图

解：(1)∵A(－1，0)，AB＝6，

∴OB＝5，

∴点B的坐标为(5，0)，

∵∠ABC＝45°，

∴CO＝BO＝5，

∴点C的坐标是(0，5)，

把A、B、C三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，

a－b＋c＝0a＝－1得25a＋5b＋c＝0，解得b＝4，

c＝5c＝5∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；

(2)①由抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9得顶点M(2，9)，

设BM的解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，将点B、点M的坐标代入可得

5k＋b1＝0k＝－32k＋b1＝9，解得b1＝15，

∴直线BM的解析式为y＝－3x＋15，

∵EF⊥AB，

∴xE＝xD＝t，

∴E(t，－t2＋4t＋5)，D(t，－3t＋15)，

∴ED＝－t2＋4t＋5－(－3t＋15)＝－t2＋7t－10＝－94，

∵－1<0，

∴当t＝72时，ED＝9最大4；

②存在．

理由如下：

设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，

将点B、点C的坐标代入可得5m＋n＝0n＝5，

(t－72)2＋

m＝－1解得，

n＝5∴直线BC的解析式为y＝－x＋5，

∴F(t，－t＋5)，

∴ED＝－t2＋7t－10，FD＝－2t＋10，

ED1当FD＝2时，2(－t2＋7t－10)＝－2t＋10，

解得t1＝3，t2＝5(与B点重合，舍去)，

∴D点的坐标为(3，6)．

19.如图，抛物线y＝(x－3)2－1与x轴交于A、B两点(点A在2点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.

(1)试求点A，B，D的坐标；

(2)连接CD，过原点O作OE⊥CD与抛物线的对称轴交于点E，求OE的长；

(3)以(2)中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标．

第9题图

1解：(1)由y＝0得(x－3)2－1＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2，

2又∵点A在点B的左侧，

∴A点坐标为(3－2，0)，B点坐标为(3＋2，0)，

1由抛物线解析式y＝(x－3)2－1可得顶点D的坐标为(3，－1)；

2（2）如解图①，过点D作DG⊥y轴于点G，设CD与x轴交于点F，对称轴与x轴的交点为M，

第9题解图①

由题意可得，∠DCG＋∠COF＝90°，∠EOM＋∠COF＝90°，

∴∠DCG＝∠EOM，

又∵∠CGD＝∠OME＝90°，

∴△CDG∽△OEM,

CGDG∴＝，

OMEM1抛物线y＝2(x－3)2－1与y轴交于点C，

∴C（0，7），

2∴CG=92

，33即2＝EM，

∴EM＝2,

∴E点坐标为(3，2)，

∴OE＝32＋22＝13；

(3)如解图②，由⊙E的半径为1，由勾股定理得PQ2＝EP2－1，

要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小，

第9题解图②

设P点坐标为(x，y)，则PQ＝x－3，EQ＝2－y,

∴由勾股定理得EP2＝(x－3)2＋(2－y)2,

1∵y＝(x－3)2－1，

2

∴(x－3)2＝2y＋2,

∴EP2＝2y＋2＋y2－4y＋4＝(y－1)2＋5，

当y＝1时，EP2为最小值，

1将y＝1代入y＝2(x－3)2－1，得x1＝5，x2＝1，

∴P点坐标为(1，1)或(5，1)．

∵点P在对称轴右侧的抛物线上，

∴x2＝1舍去，

∴P(5，1)．

10.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；

(3)已知D是OA的中点，点P在第一象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点F，连接OF，DF.当OF＝DF时，求点P的坐标．

第10题图

解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点A(4，0)，C(0，4)，

∴16a8ac0c4，解得1a2c4，

12∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4；

212192(2)y＝－x＋x＋4＝－(x－1)＋，

2229∴N(1，)，

2如解图①，作点C关于x轴的对称点C′，则C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则K

点即为使CK＋KN最小的K点位置．

第10题解图①

设直线C′N的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C′(0，－4)，N(1，

9)代入，得

2b49kb2，解得17k2b4，

17∴直线C′N的解析式为y＝2x－4，

178令y＝0，即2x－4＝0，解得x＝17，

8∴点K的坐标为(17，0)；

(3)如解图②，过F作FM⊥x轴于M，∵D是OA的中点，

第10题解图②

∴D(2，0)，

∵OF＝DF，

∴OM＝MD，

∴M(1，0)，

∴点F的横坐标是1.

设直线AC的解析式为y＝mx＋n，

将点A(4，0)，C(0，4)代入，

∴直线AC的解析式为y＝－x＋4，

∴点F的坐标为(1，3)，

12设P(t，－2t＋t＋4)，则

12－2t＋t＋4＝3，解得t＝1＋3或t＝1－3(舍去)，

∴点P的坐标为(1＋3，3)．