2024年1月10日发(作者：泸州高三模拟数学试卷分析)

上海交大版高等数学课后习题解答

第一章 函数

1．设f(x)x21，求f(x2)、f(x)。

解答：f(x2)(x2)21x41,f(x)[x21]2x42x21。

所属章节：第一章第一节

难度：一级

aexbex2．设f(x)，求f(x)f(x)。

abaexbexaexbe(x)aexbex解答：f(x)，f(x)，

ababab22aexbexaexbe(x)f(x)f(x)exex。

abab所属章节：第一章第一节

难度：一级

2x 1x0,13．设(x)2 0x1,求(3),(2),(0),()。

2x1 1x3,11解答：(3)2,(2)1,(0)1,()。

22所属章节：第一章第一节

难度：一级

4．求下列函数的定义域：

（1）y2x11xylog； （2），(a0,a1)；

a2x3x221x132x； （4）y3xarcsin.

lg(1x)5（3）y2x解答：（1）由x23x20解得定义域为,11,22,；

83

（2）由1x0,1x0解得定义域为1,1；

1x（3）由2x0,1x0,1x1解得定义域为2,0（4）由3x0,32x1解得定义域为[1,3]。

50,1；

所属章节：第一章第一节

难度：一级

5．下列各题中，函数f (x)与g (x)是否相同？

（1）f(x)lgx2，

g(x)2lg；

x（2）f(x)x，

g(x)x2；

（3）f(x)elnx，

g(x)x.

解答：（1）f(x)中的x可为一切实数，g(x)中的x要求大于零，即定义域不同，故函数不同；

（2）f(x)将负数对应负数，而g(x)把负数对应正数，对应法则不同，故函数不同；

（3）f(x)中的x要求大于零，g(x)中的x可为一切实数，即定义域不同，故函数不同。

所属章节：第一章第一节

难度：一级

6．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇非偶函数？

（1）yx2(1x2)； （2）y3x2x3；

exex1x（3）yloga；

(a0,a1)； （4）y21x（5）yx2cosx1； （6）yln(x1x2).

解答：（1）偶； （2）非奇非偶； （3）奇； （4）偶； （5）偶； （6）奇

所属章节：第一章第一节

难度：一级

7．下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期T：

（1）y1tanx； （2）ycos(3x1)；

（3）yxsinx； （4）ysin2x.

84

2解答：（1）周期，且Tπ； （2）周期，Tπ； （3）非周期； （4）利用等式311ysin2xcos2x知为周期函数，周期Tπ

22所属章节：第一章第一节

难度：一级

8．求下列函数的反函数：

（1）yx22x； （2）y3x21；

2x（3）yln(x1x)； （4）yx.

212解答：（1）由yx22x，得y(x1)21，解得x1y1。

所以当y1时，反函数y1x1，当y1时，反函数y1x1；

（2）当y1时，yx31，当y1时，yx31；

（3）由yln(x1x2)，得eyx1x2，故(eyx)21x2，

e2y1eyeyexex解得x，所以反函数为y；

2ey22yyx2x（4）由yx解得2x，即xlog2，所以反函数为ylog2。

1y1y1x21所属章节：第一章第一节

难度：二级

9．下列初等函数由哪些简单函数复合而成？

2（1）y2x2； （2）ycosx；

3（3）yex； （4）ylnsin2x；

（5）ysin(3x1)； （6）yarctane解答：（1）yu,u2x2； （2）ycosu,u221x2.

2x； （3）yeu,ux2；

3（4）ylnu,usinv,v2x； （5）yu2,usinv,v3x1； （6）yarctanu,uev,v所属章节：第一章第二节

1

x2 85

难度：一级

10．设F(x)ex，证明：

（1）F(x)F(y)F(xy)； （2）F(x)F(xy).

F(y)解答：（1）F(x)F(y)exeyexyF(xy)；

F(x)ex（2）yexyF(xy)

F(y)e所属章节：第一章第二节

难度：一级

11．设F(x)ln(x1)，证明：F(x22)F(x2)F(x).

解答：F(x22)F(x2)ln((x22)1)ln((x2)1)ln(x21)ln(x1)

x21lnln(x1)F(x)

x1所属章节：第一章第二节

难度：一级

12．设f(x)具有性质：f(xy)f(x)f(y)，证明：必有f(0)0，pf(x)f(px)（p为任意正整数）

解答：在f(xy)f(x)f(y)中，令x0，即得f(0)0。

在f(xy)f(x)f(y)中，令yx，即得f(2x)2f(x)；

在f(xy)f(x)f(y)中，令y2x，结合上式，即得f(3x)3f(x)；

设对正整数k，有f(kx)kf(x)，则在f(xy)f(x)f(y)中，令ykx，结合假设有

f((k1)x)(k1)f(x)，由数学归纳法得证。

所属章节：第一章第二节

难度：二级

13．设fn(x)f(f(f(x)))，若f(x)abx，证明：

n次 86

a(bn1)nfn(x)bx (b1).

b1a(b21)2解答：当n2时，f2(x)f(f(x))ab(abx)aabbxbx，即等式成立；

b12设nk时等式成立，即a(bk1)kfk(x)bx，则当nk1时，b1fn(x)ff(fx(n次a(bk1)kabk1(1)即等式也成立，得证。

f(fk)x))ab(()bx)[bk1x，]b1b1所属章节：第一章第二节

难度：二级

14．验证下列恒等式：

（1）sinh(xy)sinhxcoshycoshxsinhy；

（2）cosh(xy)coshxcoshysinhxsinhy；

xyxy；

cosh22xyxy（4）coshxcoshy2sinh.

sinh22（3）sinhxsinhy2sinhexexexex解答：由定义sinhx，从右往左证明 ,coshx22exexeyeyexexeyeyexye(xy)sinhxcoshycoshxsinhysinh(xy)，即证22222得（1）式；类似可证其他三式。

所属章节：第一章第二节

难度：二级

第二章 极限与连续

1．用“N”定义验证下列极限：

87

（1）limn23n230； （2）lim；

n2n12nn2n1； （3）lim(n1n)0； （4）limnnn（5）limna1(a0)； （6）limnn1.

nn解答：（1）对任意0（无论它多么小，下同），要使44420，只要n2，故可取nN[21]。则对任意0，存在N[21]，当nN时，20，故由极限定义nlimn20。

n（2）对任意0，要使3n237171，只要n，故可取Nmax(,1)。则对任2n124242意0，存在Nmax(3n23771,1)，当nN时，，故由极限定义422n124n2lim3n23。

n2n12111，只要n2，n1nn（3）对任意0，要使n1n，由于n1n故可取N[121。]则对任意0，存在N[121，]当nN时，n1n11，故由极限定义lim(n1n)0。

nn1nnn2n1，由于n1n2n111，只要n，故nn2nnn（4）对任意0，要使11]则对任意0，存在N[1，]当nN时，可取N[1。n2nn2n1111。

1，故由极限定义lim2nnnnNnnn1r)（5）a1时显然；a1时，记rnna1，则a(nnnrn，对任意0，要使na1， 88

只要rnnna1aaa，即n，故可取N[1]，当nN时，nna1，由极限定义；0a1时，类似证明。

limna1,(a1)n（6）记rnnn1，则n(1rn)n(n1)2rn，对任意0，要使2nn1，只要rnnn1222，即n21，故可取N[211]，当nN时，nn1，由极限n1定义limnn1。

n所属章节：第二章第一节

难度：（1）—（4）二级，（5）-（6）三级

2．若limana.证明limana.并举例说明反过来未必成立。

nnilana，解答：对任意0，由m存在N，当nN时，ana，从而anaana，n于是由极限定义limana。反过来未必成立，例如对于an(1)n，极限liman1存在，但nnliman不存在。

n所属章节：第二章第一节

难度：二级

3．

解答： 没有题目

所属章节：

难度：

4．设数列un，若limu2n1a,limu2na，证明limuna.

nnn解答：因为limu2n1a,limu2na, 所以对任意0，存在N1 ，当2n2N1时，u2na；nn存在N2 ，当2n12N21时，u2n1a；取Nmax(2N1,2N21)，则当nN时，una，因此limuna。

n所属章节：第二章第一节

难度：二级

89

5．根据定义验证下列数列为无穷小：

2nn1（1）2； （2）.

n1n!解答：（1）对任意0，由于n12n22N[1]，则当nN时，，取n2n2nn12n22n1n1lim0，因此，即数列2为无穷小。

222nnnnnNn142n22224（2）对任意0，由于，取N[1]，则当nN时，n!n(n1)21n2n2n442n，因此lim0，即数列为无穷小。

nn!n!nNn!所属章节：第二章第二节

难度：二级

6．根据定义证明下列数列为无穷大：

n21（1）2； （2）.

2n1n解答：（1）对任意的正数M0（无论它多么大，下同），取N[log2M1]，则当nN时，2n2n2NM，因此lim2n，即数列2n为无穷大；

nn21n2nM，因此（2）对任意的正数M0，取N[3M1]，则当nN时，2n13n3n21n21lim，即数列为无穷大。

n2n12n1所属章节：第二章第二节

难度：二级

7．试举出满足下列要求的数列例子：

（1）有界但无极限的数列； （2）无界但非无穷大的数列。

1 n偶

解答： （1）

an(1)n （2）an

n n奇

所属章节：第二章第二节

难度：二级

8．求下列极限：

90

2n33n24n112n（1）lim； （2）；

limnn3n35n22n21111)； （3）lim(n132435n(n2)n21). （4）lim(sinn!)(3n3n23412232n3n4n1nnn2； 解答：（1）分子分母同除以n3，limlimnn523n35n22333nnn(n1)12nn(n1)111 （2）利用12n，lim；

limlim()nnn22n22n22n232（3）利用1111111111[1132435n(n2)23243511]

nn231)lim[1]；

[1]，lim(n13422n1n22435n(n2)n22n1n2n210，极限0 （4）利用sinn!有界，lim3n3n2所属章节：第二章第二节

难度：一级

9．利用数列单调有界必有极限的法则，证明下列数列极限存在：

12n（1）an222,(n1,2,)；

nnn111（2）an2n,(n1,2,)；

313131111（3）an1222,(n1,2,).

23n12n12nn1解答：（1）数列an222,(n1,2,)单调增加，an222

1 ，nnnnnn2n故极限存在；

111（2）数列an2n,(n1,2,)单调增加，且

31313111n11111111an2n2n3，即数列又有界，故极限存在；

31313133331123111（3）数列an1222,(n1,2,)单调增加，且

23n 91

an11111111

122，即数列又有界，故极限存在。22223n1223(n1)nn所属章节：第二章第三节

难度：二级

10．利用夹逼准则证明：

（1）lim(n111)0；

n2(n1)2(2n)2（2）lim(n1n121n221nn2)1.

解答：（1）由于n1111n1n1n1limlim0，故由夹逼，而n(2n)2nn2(2n)2n2(n1)2(2n)2n2准则有lim(n111)0；

222n(n1)(2n) （2）由于nnn21n11n1221n21n2221nn1nn22nn12，而limnnnn2limnnn121，故由夹逼准则有lim(n)1。

所属章节：第二章第三节

难度：一级

11．设有数列x12,x222,,xn222,，求limxn。

nn次解答：易知数列xn单调增加，且xn2xn1，x12，x2222，设xk2，则xk12xk222，即xn有上界2，所以xn收敛；设limxna，则limxn1a，在nn等式xn2xn1两边取极限，有a2a，即可解得a2（负值舍去），即limxn2。

n所属章节：第二章第三节

难度：二级

1312．设x10,xn1(xn),n1,2,，求limxn。

n2xn参考答案：先证明xn收敛，且limxn3

n 92

13解答：由条件x10,xn1(xn),n1,2,及平均不等式得xn0,xnxn33，又2xnxn133xn2xn1xn(xn)xn0，即数列xn单调减少，于是该数列收敛，设limxna，n2xn2xn13则limxn1a，在等式xn1(xn)两边取极限，即可解得a3（负值舍去），即n2xnlimxn3。

n所属章节：第二章第三节

难度：二级

13．利用函数极限的“X”定义验证下列极限：

1sinx0； （1）lim20； （2）limxxxx2x1； （4）lim(x1x)0. （3）limxxx解答：（1）对任意0（无论它多么小，下同），要使11110x，只要，故可取2x110，故由极限定x2X2X0。则对任意0，存在X0，当xX时，义lim10；

xx2（2）对任意0，要使sinx1sinx110，由于0，只要x，故可取X0。xxx10，当xX时，则对任意0，存在Xlimsinx0；

xxsinx110，故由极限定义xxX（3）对任意0，要使2x22x22(1)，(1)，由于只要x，故可取X0。xxx20，当xX时，则对任意0，存在Xlim2x22(1)，故由极限定义xxX2x1；

xx 93

（4）对任意0，要使故可取Xx1x，由于x1x111，只要x2，x1xx120。则对任意0，存在X120，当xX时，x1x1x1x1xX1，故由极限定义lim(x1x)0。

x所属章节：第二章第四节

难度：二级

13．利用函数极限的“”定义验证下列极限：

x244； （1）lim(5x2)3； （2）limx2x2x1（3）limx2； （4）limx24.

x4x2解答：（1）对任意0（无论它多么小，下同），要使5x2(3)5x(1)，只要x(1)5，故可取50。则对任意0，存在x150，当x(1)时，5x2(3)5x(1)5，故由极限定义lim(5x2)3；

x244x2，只要x2，故可取0。则对任意（2）对任意0，要使x2x24x244；0，存在0，当x2时，故由极限定义lim

4x2，x2x2x2（3）对任意0，要使x2x4，只要x4，故可取0。则对任意0，x2x2存在0，当x4时，x4x4，故由极限定义limx2；

x41x2（4）对任意0，要使x24x2x2，可先限定1，则相应有1x3，只要x243x2，故可取0。则对任意0，存在min(,1)0，当x2时，33x2x24x2x23x23，故由极限定义limx24

所属章节：第二章第四节

难度：二级

94

x2,x2,15．设f(x)问当x2时，f(x)是否有极限？

x2,x2解答：当x2时，f(x)的左极限等于4，右极限等于0，故f(x)的极限不存在。

所属章节：第二章第四节

难度：一级

16．根据定义证明：

x29（1）f(x)当x3时为无穷小；

x3（2）f(x)12x当x0时为无穷大。

xx290x3，只要x3，故可取0。则对解答：（1）对任意0，要使x3x29任意0，存在0，当x3时，0x3，故由极限定义x3x29x29lim0，故f(x)当x3时为无穷小。

x3x3x3（2）对任意的正数M0，要使故可取12x12x111M，由于22，只要x，xM2xxx110。则对任意0，存在0，当x时，M2M212x1112x12x，f(x)22M，因此lim当x0时为无穷大。

x0xxxxx所属章节：第二章第四节

难度：二级

17．求下列极限，并说明理由：

11x2（1）limxsin； （2）lim.

x0x0x1x211解答：（1）当x0时，x20为无穷小，而sin是有界函数，limx2sin0；

x0xx1x2（2）limlim(1x)1limx1，或分子分母极限分别为1，或无穷小定义。

x01xx0x0 95

所属章节：第二章第四节

难度：一级

18．计算下列极限：

x21x27x10（1）lim； （2）lim；

x2x1x5x225(xh)2x21x1（3）lim； （4）lim；

x0h0xh（5）lim(x13x1x122)；（原题目有误） （6）lim；

x1x21x1x12x13(1mx)n(1nx)m（7）lim； （8）lim（n，m为正整数）.

2x4x0xx22参考答案：（1）5； （2）2311； （3）2x； （4）； （5）； （6）；

41022 （7）221； （8）mn(nm)

32x21)5x21lim(解答：（1）limx25；

x2x1lim(x1)1x2x2)3x27x10x2lim(x5lim； （2）先约分，limx5x5x5x225lim(x5)10x5(xh)2x22xhh2lim2x； （3）先化简，limh0h0hh（4）分子有理化，limx01x111lim；

x01x1x2（5）先通分，lim(x112x1112)lim2lim；

x1x1x1x1x1x12x1（6）分子有理化，再约分，lim3x1x22lim；

x1(x1)(3x1x)x2142x132x13(2x13)(x22lim

x4x22x22(x22)(2x13) （7）分子分母有理化，再约分，limx4 96

lim2(x22)22；

x432x131（8）分子两项分别按二项式展开，则分子的最低次幂为二次，系数为mn(nm)，余为高2(1mx)n(1nx)m1阶无穷小，故lim=mn(nm)。

2x02x所属章节：第二章第四节

难度：一级

19．计算下列极限：

(2x3)20(3x2)303x22（1）lim； （2）lim；

50xx14x2(5x1)x3x21x2n1)； （4）lim（3）lim(2.

2nx2x1n2x12x223x232xlim解答：（1）分子分母同除以x，lim；

x14x2x144x232(2)20(3)3020302030(2x3)(3x2)2350xxlim（2）分子分母同除以x，lim；

5050xx1(5x1)5(5)50x231x3x2x3x21x1（3）通分，lim(2；

)limlim221x2x1xx42x1(2x1)(2x1)(2x)(2x)1x2n1101； （4）当x1时，limx0，故limn2x2nn2022n1x2n1x2nx0xlim2nx； 当x1时，limx，故limn2x2nn2xn1012n当x1时，x1，x2n2n11x2n10；

1，故limn2x2n1x2n12。

1，故limn2x2n3当x1时，x1，x所属章节：第二章第四节

难度：一级

2n2n197

20．计算下列极限：

tan2xsin3x（1）lim； （2）lim；

x0x0xsin2xsinxsinxsina（3）lim； （4）lim；

xππxxaxax4cosx（5）lim； （6）lim；

2ππx0(1cosx)xx22（7）limx01xsinxcosxarcsinx； （8）lim.

x01cosx1x1tan2xsin2xsin2x2sin2x2limlimlimlim122；

x0x0xcos2xx0x2xcos2xx02xx0cos2xsin3xsin3x2x33（2）limlim()；

x0sin2xx03xsin2x22解答：（1）lim（3）limsinxsin(x)lim1；

xxx0(x)sinxsinasin(ta)sinasintcosacostsinasina

limlimxat0t0xatt2t2sinsint2)cosa；

lim(cosasinat0ttcosxsintlim1； （5）令xt，则limππt02txx22x44()244xx（6）limlimlim24；

2x0(1cosx)x0x0xx(2sin2)24(sin)422（4）令xat，则lim（7）分母有理化，limx0arcsinxarcsinx(1x1)lim2；

x0x1x1（8）分子有理化，limx01xsinxcosxlim2

x0x1cosx2sin2(1xsinxcosx)2xsinx(sinx1)x所属章节：第二章第五节

难度：一级

21．计算下列极限：

98

（1）lim(1n1n1)； （2）lim(1)x；

xn1x12x3（3）lim(1)； （4）lim(13x)x；

x0xx2x1x).

x2x1x01n11n1(1)lim(1)1nenn1n1解答：（1）lim(1)lime；

nn11n111lim(1)nn1n11111（2）lim(1)xlim；

xx11x(1)xlim(1)xexxx（5）lim(1tanx)cotx； （6）lim(x2x32x2312（3）lim(1)lim(1)lim(1)[lim(1)]21e2；

xxxxxxxx2（4）lim(13x)limx0x01x1[(13x)x013x3]1；

3e（5）lim(1tanx)x0cotxlim(1tanx)1tanxe；

x12x2x1x2222x1（6）lim()lim(1)e1 。

x2x1x2x1所属章节：第二章第五节

难度：一级

22．当x0时，2xx2与x2x3相比，哪一个是高阶无穷小？

x2x3xx2lim0，所以当x0时，x2x3比2xx2高阶无穷小 解答：因为lim2x02xxx02x所属章节：第二章第二节

难度：一级

123．当x1时，1x与（1）13x；（2）(1x2)是同阶无穷小还是等价无穷小？

213x13x1lim，故13x与1x为同阶非等解答：（1）当x1时，limx11xx1(13x)(13x3x2)2价无穷小；

99

11(1x2)(1x)(1x)1（2）当x1时，lim2lim21，故(1x2)与1x为等价无穷小

x1x121x1x所属章节：第二章第六节

难度：一级

24．当x0时，试决定下列无穷小对于x的阶数：

（1）x210x3； （2）3x23x；

（3）x(x1)44； （4）.

1x1x31x1解答：（1）2阶； （2）阶； （3）1阶； （4）4阶

3所属章节：第二章第六节

难度：一级

25．利用等价无穷小代换计算下列极限：

tan3xsin(x2)（1）lim； （2）lim；

x0x0xsinx2x1x21sin2xx2（3）lim； （4）lim；

x01cosxx0tan3x（5）limtanxsinxxln(13x)； （6）lim.

2x0x0x(1cosx)tan(x)解答：（1）当x0时，tan3x~3x，故lim22tan3x3x3lim；

x0x02x2x2sin(x2)x2（2）当x0时，sinx~x,sinx~x，故limlim1；

x0xsinxx0xxsin2xx2sin2xx2sin2xx22（3）当x0时，tan3x~3x，故limlimlimlim；

x0x0x0x03xtan3x3x3x312x12121x122（4）当x0时，1x1~x,1cosx~x，故limlim1；

x01cosxx01222x22（5）当x0时，tanx~x，故limtanxsinxtanx(1cosx)lim1；

x0x(1cosx)x0x(1cosx) 100

（6）当x0时，tan(x2)~x2,ln(13x)~3x，故limx0xln(13x)x3xlim3。

22x0tan(x)x所属章节：第二章第六节

难度：一级

26．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：

x2,0x1,（1）f(x)

2x,1x2;x,1x1,（2）f(x)

1,x1.解答：（1）已知多项式函数是连续函数，所以函数f(x)在[0, 1)和(1, 2]内是连续的。而在分段2f(x)lim(2x)1f(x)limx1，lim点x1处，因为f(1)1，limx1x1x1x1，所以limf(x)1，从而函x1数f(x)在x1处是连续的。

综上所述，函数f(x)在0,2上连续；图形略。

（2）由于多项式函数是连续函数，故只需考察函数在分段点x1和x1处的连续性，在x1处，因为f(1)1，limf(x)lim11f(1)，limf(x)limx1f(1)，所以函数x1x1x1x1f(x)limx1f(1)，limf(x)lim11f(1)，在x1处间断，但右连续；在x1处，因为f(1)1，limx1x1x1x1所以函数在x1处连续。

内连续，在x1处间断，为跳跃间断点。 综合上述讨论, 函数f(x)在(,1)与(1,)图形略。

所属章节：第二章第七节

难度：一级

27．下列函数在所指点处间断，试确定其所属类型。若是可去间断点，则补充定义使它连续：

1cosxx23x2y,x0； （1）y； （2）,x1,x1x2x21πcosx2,x0,1； （4）yarctan1,x0； （3）yx(1x)x 101

3x2,x0,1y（5）y； （6）

,x0sin3x1,x0.1exxx23x2x21解答：（1）因为limylim, 所以x1是函数的第一类间断点，并lim2x1x1x1x1x121且是可去间断点，补充定义f(1)。

2x23x2x2因为limylimlim, 所以x1是函数的第二类间断点。

x1x1x1x1x21（2）因为lim1cosx11f(0)，所以为函数的可去间断点，可补充定义。

x0x0x222πcosx2，所以x0是函数的第二类间断点； （3）因为limx0x(1x)πππcosxcosxsint2lim2lim2，所以x1为函数的可去间断点，可补充又因为limx1x(1x)x11xt0t2定义f(1)π。

21在x0处的左右极限分别为和，所以x0为函数的跳跃间断点。

x2211e1x（4）因为arctan（5）因为y在x0处的左右极限分别为1和0，所以x0为函数的跳跃间断点。

3x2,x0（6）因为ysin3x在x0处的左右极限都为3，所以x0为函数的可去间断点，,x0x可补充定义f(0)3。

所属章节：第二章第七节

难度：一级

28．求下列函数的连续区间：

（1）y13x3x22 （2）yx46x；

102

（3）yln(2x)； （4）y13x2.

x1解答：（1）对函数yx23x21，定义域为x1,x2，易知x1与x2是3(x1)(x2)函数的间断点，故连续区间为,1,(1,2),(2,)；

（2）对函数yx46x，定义域为[4,6]，且在其内部无间断点，故连续区间为4,6；

（3）对函数yln(2x)，定义域为(,2)，且在其内部无间断点，故连续区间为(,2)；

（4）对函数yx2，定义域为(,1)[2,)，且在其内部除x2外无间断点，故连续x1区间为,1,2,。

所属章节：第二章第七节

难度：一级

sinx, x0,x29．讨论函数f(x)1, x0,的连续性。

2(1x1), x0x参考答案：连续

sinx, x0,x解答：对函数f(x)1, x0, 可能间断点为x0，但在x0处，左右极限均等2(1x1), x0x于该点函数值1，故函数无间断点，即函数为处处连续函数。

所属章节：第二章第七节

难度：一级

ex,x0,30．设f(x)应怎样选取a，使函数f(x)连续。

ax,x0,解答：要使函数f(x)连续，左极限应等于右极限，即知a1。

所属章节：第二章第七节

103

难度：一级

31．求下列极限：

（1）limx22x4； （2）lim(sin2x)3；

πx0x4sin2xex1（3）lim； （4）limln;

x02xx0x（5）limx15x4x； （6）lim(x2xx2x).

xlnxx0解答：（1）由于函数f(x)x22x4在x0处连续，故limx22x4f(0)2；

（2）由于函数f(x)(sin2x)3在x3处连续，故lim(sin2x)f()1；

π44x4ex1t1（3）可令e1t，则xln(1t)，limlim；

x02xt02ln(1t)2x（4）由于limsin2xsin2xsin2x2，而函数ylnu在x2处连续，故limlnlnlimln2；

x0x0x0xxx5x4x15t1t(15t)2(1t)2limlim2； （5）可令x1t，则limx1t0t0lnxln(1t)t(15t1t)（6）lim(x2xx2x)limx2xxxxx22x1。

所属章节：第二章第七节

难度：一级

32．设f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，且f(x)在x0连续，证明f(x)在任意点x处连续。

)令xy0，得f(0)0解答：由f(xy)f(x)f(y，，由f(x)在x0连续，有f(0x)f(0)f(x)的极限等于零，从而，在任意点x处yf(xx)f(x)f(x)的极限等于零，故f(x)在任意点x处连续。

所属章节：第二章第七节

难度：三级

33．试证方程x53x10在(1,2)内至少有一个实根。

104

解答：设f(x)x53x1，则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数，因为f(1)3， f(2)25，

f(1)f(2)<0，所以由零点定理，在(1, 2)内至少有一点(1<<2)，使f()0，即x 是方程x53x1的介于1和2之间的根。

因此方程x53x1至少有一个根介于1和2之间。

所属章节：第二章第八节

难度：二级

34．试证方程xasinxb(a0,b0)至少有一个不超过ab的正根。

解答：设f(x)asinxbx，则f(x)是[0, ab]上的连续函数，f(0)b，f(ab)asin(ab)a0，若f(ab)0，则说明xab就是方程xasinxb的一个不超过ab的根；若f(ab)0， 则f(0)f(ab)0，由零点定理，至少存在一点(0,ab)，使f()0，这说明x也是方程xasinxb的一个不超过ab的根；

总之，方程xasinxb至少有一个正根，并且它不超过ab。

所属章节：第二章第八节

难度：二级

35．已知f(x)在0,1上非负连续，且f(0)f(1)0，证明对于任意实数l(0l1)，必存在实数(01)，使f()f(1)。

解答：题目有误

题中f()f(1)应为f()f(l)，

令F(x)f(x)f(xl)，则函数F(x)在0,1l上连续，

当f(l)0时，可取0；

当f(1l)0时，可取1l；

当f(l),f(1l)都不为零时，F(0f)(f0l)，flF(1l)f(1l)f(1)f(1l)0，由零点定理，存在(0,1l)(0,1)，使F()0，即f()f(l)。

所属章节：第二章第八节

105

难度：三级

36．设f(x)在(,)内连续，且limf(x)A（常数）。证明f(x)在,内有界。

x解答：令limf(x)A，则对于给定的0，存在X0，只要|x|X，就有

x |f(x)A| ，即Af(x)A ，

又由于f(x)在闭区间[X, X]上连续，根据有界性定理，存在M0，使|f(x)|M, x[X, X]，

取Nmax{M, |A|, |A|}，则|f(x)|N, x(, )，即f(x)在(, )内有界。

所属章节：第二章第八节

难度：三级

第三章 导数与微分

1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,t内转过角度是，从而转角是t的函数：(t)。如果旋转是匀速的，那么称wt为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？

解答：ddttt0

所属章节：第三章第一节

难度：一级

2．一个圆锥体因受热而膨胀，在膨胀过程中，其高与地面的直径相等，问：

（1）体积关于半径的变化率如何？

（2）半径为5cm时，体积关于半径的变化率是多少？

12dVdV2πr2； （2）解答：（1）Vr22rr3，33drdr所属章节：第三章第一节

难度：一级

106

rs50π

3．设NN(x)表示x个劳动力所生产的某产品的数量，若每个劳动力生产的产品数量相同，则N是常数，称为劳动生产率。实际上，产品的产量N并不是随劳动力x的增加而均匀增长x的。试求劳动力数量为x0时的劳动生产率（边际劳动生产率）。

解答：N(x0)

所属章节：第三章第一节

难度：一级

4．假定f(x)可导，观察下列极限，指出A表示什么？

（1）limxx0xx0A；

f(x)f(x0)f(x02x)f(x0)A；

x0xf(3)f(3h)（3）limA；

h0hf(x)A，且f(0)0. （4）limx0x（2）lim解答：（1）Alimxx0xx011；

f(x)f(x)f(x)f(x0)limf\'(x0)0xx0xx0f(x02x)f(x0)2f(x0)；

x0xf(3)f(3h)（3）3(3h)h，Alimf(3)；

h0hf(x)f(x)f(0)（4）f(0)0，Alimlimf\'(0)

x0x0xx（2）(x02x)x02x，Alim所属章节：第三章第一节

难度：一级

5．指出下列极限是什么函数在哪一点的导数？

ax1(1x)m1（1）lim； （2）lim；

x0x0xxarctanxarctan（3）limπx4xπ4π4.

107

解答：（1）ax在x0处的导数；

（2）(1x)m在x0处的导数；

（3）arctanx在xπ处的导数

4所属章节：第三章第一节

难度：一级

6．按定义证明：(cosx)sinx。

解答：因为limcos(xx)cosxlimx0x0x2sin2xxxsin22sinx，

x所以由导数定义，(cosx)sinx。

所属章节：第三章第一节

难度：一级

7．按定义求下列函数的导数：

（1）yx23x1； （2）yeax；

（3）ycos(axb)； （4）yxsinx.

f(xx)f(x)[(xx)23(xx)1](x23x1)解答：（1）由于lim

limx0x0xx2xx3x(x)2lim2x3，

x0x故y2x3；

f(xx)f(x)ea(xx)eaxeax(eax1)（2）由于limlimlimaeax，

x0x0x0xxx故yaeax；

（3）由于limx0f(xx)f(x)cos(a(xx)b)cos(axb)limasin(axb)，

x0xx故yasin(axb)；

（4）由于limx0f(xx)f(x)(xx)sin(xx)xsinxlim

x0xx108

limxsin(xx)x[sin(xx)sinx]sinxxcosx，

x0x故ysinxxcosx

所属章节：第三章第二节

难度：二级

8．若函数F(x)在点xa处连续，且F(x)0，问函数

（1）f(x)xaF(x)，

（2）f(x)(xa)F(x)

在点xa处是否可导？为什么？

解答：（1）对函数f(x)xaF(x)，由于limx0f(ax)f(a)xF(ax)limF(a)，x0xxf(ax)f(a)xF(ax)limF(a)，故函数在点xa处不可导，因为左、右x0x0xx导数不相等；

f(ax)f(a)xF(ax)（2）对函数f(x)(xa)F(x)，limlimF(a)，x0x0xxf(ax)f(a)xF(ax)limlimF(a)，故函数在点xa处可导，因为左、右导数x0x0xxlim相等。

所属章节：第三章第二节

难度：二级

9．按定义证明：

（1）可导的偶函数的导数是奇函数；

（2）可导的奇函数的导数是偶函数；

（3）可导的周期函数的导数仍是周期导数，且周期不变。

解答：（1）设f(x)为可导的偶函数，则

f(xx)f(x)f(xx)f(x)limf\'(x)

x0x0xx即它的导数是奇函数；

f\'(x)lim（2）设f(x)为可导的奇函数，则

f(xx)f(x)f(xx)f(x)limf\'(x)

x0x0xx即它的导数是偶函数；

f\'(x)lim（3）设f(x)为可导的周期函数，且周期为T，则

109

f(xTx)f(xT)f(xx)f(x)limf\'(x)

x0x0xx即它的导数是周期函数，且周期不变；

f\'(xT)lim所属章节：第三章第二节

难度：二级

10．设函数f(x)和(x)在x0处可导，(0)0，且f(0)(0)0，则

limf(x)f(0).

x0(x)(0)f(x)f(0)f(x)f(0)limf(x)f(0)x0xx解答：lim 。

limx0(x)x0(x)(0)(x)(0)(0)limx0xx所属章节：第三章第二节

难度：二级

11．设f(x)存在，试证：对常数、，有

f(xh)f(xh)()f(x).

h0hf(xh)f(xh)[f(xh)f(x)][f(xh)f(x)]解答：limlim()f(x)

h0h0hhlim所属章节：第三章第二节

难度：一级

12．（1）设函数f(x)对任意实数x，y均有f(xy)f(x)f(y)，且f(0)1，试求f(x)；

（2）设函数f(x)对任意实数x，y均有f(xy)f(x)f(y)2xy，且f(0)存在，试求f(x)。

y均有f(xy)f(x)f(y)，)(1或f(0)0，解答：（1）由于对任意实数x，令xy0，得f0令y0，得f(x)f(x)f(0)，

如果f(0)0，则f(x)0，从而f(x)0；如果f(0)1，则由f(0)1，

x0limf(xx)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)[f(x)1]limlimf(x)f\'(0)f(x)，

x0x0xxx故f(x)f(x)；

110

综合知，f(x)f(x)

（2）由于对任意实数x，y均有f(xy)f(x)f(y)2xy，令y0，得f(0)0，

x0limf(xx)f(x)f(x)f(x)2xxf(x)[f(x)f(0)]2xxlimlimf\'(0)2x

x0x0xxx故f(x)2xf(0)

所属章节：第三章第二节

难度：三级

13．设函数f(x)对任意x有f(1x)af(x)，且f(0)b，试求f(1)。

解答：由于对任意x有f(1x)af(x)，故f(1)af(0),f(1x)af(x)，

x0limf(1x)f(1)af(x)af(0)limaf\'(0)ab

x0xx所以由导数定义f(1)ab

所属章节：第三章第二节

难度：三级

14．在抛物线yx2上哪一点的切线

（1）平行于直线y4x5；

（2）垂直于直线2x6y50；

（3）与直线3xy10构成45°角。

解答：y\'2x

（1）要使切线平行于直线y4x5，则y\'4，故切点为2,4；

39（2）要使切线垂直于直线2x6y50，则y\'3，故切点为,；

24111（3）要使切线与直线3xy10构成45°角，则y\'2,，故切点为1,1及，

2416所属章节：第三章第二节

难度：一级

111

π115．求曲线ycosx上点(,)处的切线方程和法线方程。

32323解答：y\'sinx，故切线斜率为y\'()sin，法线斜率为，从而由点斜式方3332程得到切线方程为31323123xy(1π)0；法线方程为xyπ=0

223329所属章节：第三章第二节

难度：一级

16．求下列曲线在指定点处的切线方程和法线方程：

1（1）f(x)在对应于x1的点处；

x（2）f(x)1在对应于x9的点处。

x解答：（1）f(x)11，f\'(x)2，令x1得到切线斜率1，切点(1,1)，从而切线方程为xxxy20，法线方程为xy0；

1113112x，f\'(x)x2，令x9得到切线斜率，切点(9,)，从而 （2）f(x)5432x切线方程为x54y270，法线方程为162x3y14570

所属章节：第三章第二节

难度：一级

17．证明：双曲线xya2上任一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数。

解答：由xya2得yakya222xx 设(x0,y0)为曲线上任一点，则过该点的切线方程为a2

yy02(xx0)x02y0x0 令y0，并注意x0 y0a解得x2x02x0为切线在x轴上的截距

aa22 令x0，并注意x0 y0a，解得yy02y0为切线在y轴上的截距x0 此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为

2， 112

S1|2xy0||20|222x0|y0|

a2所属章节：第三章第二节

难度：二级

18．求下列函数在点x0处的左右导数，并指出在该点的可导性：

sinx,x0, x00； （1）f(x)x,x0,x2,x1,（2）f(x) x01；

2x,x1,x,x01 x00. （3）f(x)1ex0,f(0x)f(0)sin(x)0lim1，故右导数f(0)1，

x0x0xxf(0x)f(0)x0因为limlim1，故左导数f(0)1，

x0x0xx解答：（1）因为lim从而f(x)在x0处可导；

（2）因为limx0f(1x)f(1)(21x)1lim1，故右导数f(0)1，

x0xxf(1x)f(1)(1x)21lim2，故左导数f(0)2，

因为limx0x0xx从而f(x)在x1处不可导；

x （3）因为limx0f(0x)f(0)lim1ex0xxx1x1x00，故右导数f(0)0，

01，故左导数f(0)1，

因为limx0f(0x)f(0)lim1ex0xx从而f(x)在x0处不可导

所属章节：第三章第二节

难度：二级

113

19．分别讨论下列函数在x0处的连续性和可导性：

（1）ysinx；

1xsin,x0,（2）y

x0,x0;12xsin,x0,（3）y

x0,x0.解答：（1）由于limylimsinx0y(0)，

x0x0x0limsinxsinxy(0x)y(0)y(0x)y(0)lim1，limlim1，

x0x0x0xxxx所以函数ysinx在x0处连续、不可导；

（2）由于limylimxsinx0x010y(0)，

xxsin1xlimsin1不存在，

x0xxy(0x)y(0)limx0x0xlim1xsin,x0,所以函数y在x0处连续、不可导；

x0,x0;（3）由于limylimx2sinx0x010y(0)，

x(x)2sin1xlimxsin10，

x0xxy(0x)y(0)limx0x0xlim12xsin,x0,所以函数y在x0处连续、可导

x0,x0.所属章节：第三章第二节

难度：二级

114

2x,xx0,20．设函数f(x)在x0处连续且可导，试求a,b。

axb,xx02参考答案：a2x0,bx0

2x,xx0,解答：由于函数f(x)在x0处连续且可导，故

axb,xx0xx0limf(x)limf(x)，limxx0x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)，

limx0xx即ax0bx02，a2x0，

2解得a2x0,bx0。

所属章节：第三章第二节

难度：二级

在下列2130题中，求函数的导数（其中x、y、t均为变量，a为常数）：

21．yaxxa；

解答：y\'xaaxlnaax1xa1

所属章节：第三章第二节

难度：一级

22．yxsinxlnx；

解答：y\'sinxlnxxcosxlnxsinx

所属章节：第三章第二节

难度：一级

23．y(x21)(x24)(x29)；

解答：

y\'(x21)\'(x24)(x29)(x21)(x24)\'(x29)(x21)(x24)(x29)\'2x(3x428x249)

所属章节：第三章第二节

难度：一级

115

24．y2x(xsinxcosx)；

解答：y\'2xln2(xsinxcosx)xcosx

所属章节：第三章第二节

难度：一级

sinxa25．y；

xsinasinxxcosxsinx解答：y\'(

)\'0xx2所属章节：第三章第二节

难度：一级

x32x26．y；

xex32xx33x22x2解答：y\'(

)\'xxee所属章节：第三章第二节

难度：一级

27．y11；

1t1t112t1t)\'()\'解答：y\'(

1t1t1tt(1t)2所属章节：第三章第二节

难度：一级

exex28．yxx；

eeexex(exex)(exex)(exex)(exex)4解答：y\'(xx)\'

ee(exex)2(exex)2所属章节：第三章第二节

难度：一级

116

29．y1lnx；

1lnx11(1lnx)(1lnx)1lnx2x)\'x解答：y\'(

221lnx(1lnx)x(1lnx)所属章节：第三章第二节

难度：一级

30．yxx.

3x2x解答：y\'(xx)\'3x2x141x3x6233x

(x23x)2所属章节：第三章第二节

难度：一级

31．求下列函数在给定点处的导数：

π（1）ysecx2cosx，在x处；

3（2）yx2ex，在x1处；

（3）yex(x2x1)，在x1处；

（4）y（5）y1x，在x9处；

1xsincosπ，在处。

2cossinπ得导数等于33；

3解答：（1）对函数ysecx2cosx，求导得y\'secxtanx2sinx，代入x1（2）对函数yx2ex，求导得y\'2xexx2ex，代入x1得导数等于；

e（3）对函数yex(x2x1)，求导得y\'ex(x2x)，代入x1得导数等于2e；

12x(1x)(1x)(1x)212x1，2x(1x)（4）对函数y1x1x)\'，求导得y\'(1x1x1；

48117

代入x9得导数等于

sincosπsincos2（5）对函数y，求导得y\'(，代入得)\'2cossin(cossin)2cossin导数等于1。

所属章节：第三章第二节

难度：一级

32．求下列各函数的反函数的导数：

（1）yxlnx； （2）ycoshx；

11x（3）yearcsinx； （4）yln；

21x（5）rarctanr.

参考答案：（1）dyydycos(lnx)dy1； （2）；

x1； （3）2dxxdxy1dxx1dy4e2xdr1r2 （4）； （5）（答案5有误？）

dx(1e2x)2d1(1r2)arctanr解答：（1）对函数yxlnx，导函数为dyydy1x11，反函数的导数为；

dxy1dxxx（2）对函数ycoshx，反函数为yln(xx21)，导数为（3）对函数yearcsinx，反函数为ysin(lnx)，导数为dy1 x1；

2dxx1dycos(lnx)；

dxxdy4e2x1e2x11x（4）对函数yln，反函数为y，导数为；

dx(1e2x)21e2x21x（5）对函数rarctr，导函数为and1，反函数的导数为arctranr2dr1rdr1r2。

2dr(1r)arctanr所属章节：第三章第三节

难度：二级

在下列3385题中，求函数的导数：

33．y(x3x)6；

解答：y\'6(x21)5(3x21)

118

所属章节：第三章第三节

难度：一级

34．y3(x2x2)2；

解答：y\'2(2x1)33x2x2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

35．y311x2；

解答：y\'2x3(1x2)31x2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

36．y(1x)2x233x3；

解答：y\'3x52x44x38x23x62x23(3x3)2所属章节：第三章第三节

难度：一级

37．y1x1x；

解答：y\'3x2(1x)1x

所属章节：第三章第三节

难度：一级

．y13382x1132x1；

119

解答：y\'43(132x1)23(2x1)2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

39．ysin2xcos(x2)；

解答：y\'2cos2x2xsinx2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

40．ysin2xsinx2；

\'2sinx(cosxsinx2xsinxcosx2解答：ysin2x2所属章节：第三章第三节

难度：一级

41．ysin2xx3cot2；

解答：y\'13sin2x3cotx212sin2x3csc2x2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

42．ysinnxcosnx；

参考答案：nsinn1xcos(n1)x

解答：y\'nsinn1xcos(n1)x

所属章节：第三章第三节

难度：一级

43．ytanx2；

120

解答：y\'1xxcotsec2

422所属章节：第三章第三节

难度：一级

44．ycos21x；

1x1x1x （本题答案有误） 参考答案：x(1x)2sin2解答：y\'2cos1x1x1x(sin)()\'1x1x1xsin2(1x)1x

x(1x)2所属章节：第三章第三节

难度：一级

45．ysinsin(sin2x)；

解答：y\'2cossin(sin2x)cos(sin2x)cos2x

所属章节：第三章第三节

难度：一级

46．ysin2x；

解答：y\'2xln2cos2x

所属章节：第三章第三节

难度：一级

47．ysin(cos2x)cos(sin2x)；

参考答案：sin2xcos(cos2x)

解答：y\'cos(cos2x)(cos2x)\'cos(sin2x)sin(cos2x)(sin(sin2x))(sin2x)\'sin2xcos(cos2x)

所属章节：第三章第三节

121

难度：一级

148．y22tanx；

1u1ln2tan211解答：函数由y2,utanv,v2复合而成，y\'32xsec22

xxx所属章节：第三章第三节

难度：一级

49．ysinex22x2；（若题目中是x22x2，原答案则有误）

22解答：函数由ysinu,uev,vx22x2复合而成，y\'(2x2)ex2x2cosex2x2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

50．yecosh2x1x；

1x解答：y\'ecosh2x(2sinh2x1)

21x所属章节：第三章第三节

难度：一级

51．yln3x2；

6解答：y\'ln2x2

x所属章节：第三章第三节

难度：一级

52．ylnln(lnx)；

解答：y\'1

xlnxln(lnx)所属章节：第三章第三节

难度：一级

x)； 53．ylog5(1x 122

1xlnxln(1x)解答：ylog5(，y\'

)x(1x)ln51xln5所属章节：第三章第三节

难度：一级

xπ54．ylntan()；

241xπ111解答：y\'sec2()secx

xπxπxπ242tan()2sin()cos()sin(x)2424242所属章节：第三章第三节

难度：一级

55．yln1xx11x11xx1222；

参考答案：

1x12解答：ylnln(xx21)，y\'(ln(xx21))\'

所属章节：第三章第三节

难度：一级

56．y1sinx；

1sinx1 （答案有误）

cosx参考答案：解答：y1sinx1sinxsecxtanx，y\'secxtanxsec2x

1sinxcosx所属章节：第三章第三节

难度：一级

57．ysec3(lnx)；

3解答：y\'sec3(lnx)tan(lnx)

x所属章节：第三章第三节

123

难度：一级

x2a2258．yxaln(xx2a2)；

2212xxa22解答：y\'xa2222xa21x2a2x2a2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

59．yarccos1x；

2解答：y\'111()

21x2212xx1()2所属章节：第三章第三节

难度：一级

x260．yarctan；

2参考答案：解答：y\'4x（答案有误）

2x412x4x

x222x441()2所属章节：第三章第三节

难度：一级

61．y12arccot；

x21

x22解答：

参考答案：所属章节：第三章第三节

难度：一级

124

62．y(arcsinx)2；

解答：y\'2arcsinx1x2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

63．yxarctanx；

解答：y\'12x11x

1x2x2(1x)所属章节：第三章第三节

难度：一级

64．yx1x2arcsinx；

解答：y\'1x1x2arcsinx1x211x22xarcsinx1x2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

65．yarccos(lnx)；

解答：y\'1x1lnx2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

66．yln(arccos2x)；

解答：y\'2arccos2x14x2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

67．yarcsin(2sinx)；

125

解答：y\'cosx

sinx(14sinx)所属章节：第三章第三节

难度：一级

68．yearctanx；

earctanx解答：y\'

2x(1x)所属章节：第三章第三节

难度：一级

69．ycos(arccos1)；

x解答：ycos(arccos111)，y\'

3xx2x所属章节：第三章第三节

难度：一级

70．ycosh(sinhx)；

解答：y\'sinh(sinhx)coshx

所属章节：第三章第三节

难度：一级

71．yeee；

解答：y\'eeeeeeex

所属章节：第三章第三节

难度：一级

72．yxaaxaa；

解答：y\'aaxaaaaxxexeexxexxeexx1axa1lnaaaxln2x

x 126

所属章节：第三章第三节

难度：一级

1lnx)； 73．ysin2(x2lnx22lnx解答：y\'sin()

2xx所属章节：第三章第三节

难度：一级

74．yecoshxsinhx；

解答：y\'ecoshx(sinh2xcoshx)

所属章节：第三章第三节

难度：一级

75．yxarcsin(lnx)；

解答：y\'arcsin(lnx)11lnx2

所属章节：第三章第三节

难度：一级

76．yxxx；

参考答案：78x8

111248解答：yxxxx717x，y\'x88

88x78所属章节：第三章第三节

难度：一级

77．y10xtan2x；

解答：y\'10xtanxln10(tan2x2xsec2x)

所属章节：第三章第三节

127

难度：一级

78．yexcos3xlnx；

解答：y\'excos2x(cosxlnx3sinxlnx所属章节：第三章第三节

难度：一级

cosx)

xx2a2x279．yaxarcsin；

22a12xxa21112解答：y\'

ax222222ax2axax1()2a所属章节：第三章第三节

难度：一级

80．yarcsinx11x；

ln221x1x解答：yarcsinxxarcsinx11xarcsinx1

ln[ln(1x)ln(1x)]，y\'232221x2(1x)1x1x所属章节：第三章第三节

难度：二级

81．y(x1)233x23(x3)2；

(x1)233x23解答：用对数求导法，对y(x3)212，有lny2ln(x1)ln(3x2)ln(x3)，两33121215x274x31边求导得y\'

yx13x23(x3)3(x1)(3x2)(x3)解得y\'(15x274x31)(x1)3(x3)(3x2)352

所属章节：第三章第四节

128

难度：二级

82．yxsinx1ex；

11exx参考答案：cotx

xsinx1ex2x2(e1)11解答：用对数求导法，对yxsinx1ex，两边取对数有lny[lnxlnsinxln(1ex)]，22111ex两边求导得y\'cotx

y2x2(ex1)11exx解得y\'cotx

xsinx1ex2x2(e1)所属章节：第三章第四节

难度：二级

83．yx；

11111解答：用对数求导法，对yx，两边取对数有lnylnx，两边求导得y\'2lnx，yxxxx1x1x解得y\'x12x(1lnx)

所属章节：第三章第四节

难度：二级

xx)； 84．y(1xxxx1)ln参考答案：(

1x1x1xxx)，两边取对数有lnyx[lnxln(1x)]，两边求导得解答：用对数求导法，对y(1x1x1xxx1y\'ln)ln，解得y\'(

y1x1x1x1x1x所属章节：第三章第四节

难度：一级

85．y(sinx)cosx(cosx)sinx.

129

解答：y\'(sinx)cosx(cosxcotxsinxln(sinx))(cosx)sinx(cosxln(cosx)sinxtanx)

所属章节：第三章第四节

难度：一级

86．求下列函数的导数：

（1）yxx；

（2）y(x1)2(x1)3；

（3）yarccos1.

x22x, x0,x, x0即y2x； 解答：（1）y2，用定义求得在x0处导数等于零，y2x, x0,x, x023(x1)(x1), x0 （2）y，用定义求得在x0处导数等于零，23(x1)(x1), x0y(x1)(x1)2(5x1)sgn(x1)；

1arccos, x11x(x1) （3）y，y2xx1arccos1, x1x所属章节：第三章第四节

难度：二级

87．设f(x)可导，求下列函数的导数dy：

dx（1）yf(x2)； （2）yf(ex)ef(x)；

（3）yf(sin2x)f(cos2x)； （4）yfff(x).

xxxef(e)f(e)f(x)解答：（1）y\'2xf(x2)； （2）y\'ef(x)；

22 （3）y\'sin2xf\'(sinx)f\'(cosx)； （4）y\'fff(x)ff(x)f(x)

所属章节：第三章第四节

难度：一级

130

88．设(x)、(x)可导，求下列函数的导数（1）yarctandy：

dx(x)； （2）y2(x)2(x).

(x)1(x)(x)(x)(x)(x)()\'解答：（1）y\'；

22(x)2(x)(x)(x)1()(x)（2）y\'(x)(x)(x)(x)(x)(x)22

所属章节：第三章第四节

难度：一级

89．验证：

（1）函数yln1dy满足关系式x1ey；

1xdxx2x2（2）函数yx1lnxx21满足关系式2yxylny.

22解答：（1）对函数yln1dy1dy1ln(1x)，有ey； ，所以x11xdx1xdx1xx2x2x1lnxx21，有y\'xx21，容易验证（2）对函数y222yxylny成立。

所属章节：第三章第四节

难度：一级

90．求下列方程所确定的隐函数yy(x)的导数dy：

dx（1）y22xy60； （2）y2cosxa2sin3x；

（3）cos(xy)x； （4）y1xey；

（5）xyyx； （6）ysinxcos(xy)0.

yy2sinx3a2cos3x1ysin(xy)参考答案：（1）； （2）（此答案有误）； （3）；

yx2ycosyxsin(xy) 131


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