2023年12月2日发(作者：肺炎疫情数学试卷)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(全国卷I新课标)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n，n∈A}，则A∩B＝( )．

A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}

2．

12i＝( )．

1i211111i1+i1+i1i2 B．2 C．2 D．2 A．3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．

1111A．2 B．3 C．4 D．6

5x2y24．( ，文4)已知双曲线C：22=1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )．

2ab111xxxA．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝±x

5．( ，文5)已知命题p：∀x∈R,2＜3；命题q：∃x∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是( )．

A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q

6．( ，文6)设首项为1，公比为xx322的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )．

3A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an

7．( ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．

A．[－3,4] B．[－5,2]

C．[－4,3] D．[－2,5]

8．( ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y＝42x的焦点，P为C上一点，若2|PF|＝42，则△POF的面积为( )．

A．2 B．22 C．23 D．4

9．( ，文9)函数f(x)＝(1－cos

x)sin

x在[－π，π]的图像大致为( )．

10．( ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cosA＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．

A．10 B．9 C．8 D．5

11．( ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A．16＋8π

B．8＋8π

C．16＋16π

2D．8＋16π

x22x,x0,12．( ，文12)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．

ln(x1),x0.A．(－∞，0] B．(－∞，1]

C．[－2,1] D．[－2,0]

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．( ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______.

14．( ，文14)设x，y满足约束条件1x3,则z＝2x－y的最大值为______．

1xy0,15．( ，文15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．

16．( ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin

x－2cos

x取得最大值，则cos θ＝______.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．( ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列1的前n项和．

a2n1a2n118．( ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1

2.3 2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2

2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

19．( ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

20．( ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e(ax＋b)－x－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

222221．( ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)＋y＝1，圆N：(x－1)＋y＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

x2请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．( ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

23．( ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为x45cost,(ty55sint为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 24．( ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

(2)设a＞－1，且当x∈a1,时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

222013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(全国卷I新课标)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．

答案：A

2解析：∵B＝{x|x＝n，n∈A}＝{1,4,9,16}，

∴A∩B＝{1,4}．

2．

答案：B

解析：12i12i12ii2i1＝1+i.

21i2i2223．

答案：B

解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为4．

答案：C

1.

35c5c25解析：∵e，∴，即2.

2a2a4b21b1222∵c＝a＋b，∴2.∴.

a4a2b∵双曲线的渐近线方程为yx，

a1∴渐近线方程为yx.故选C.

25．

答案：B

0032解析：由2＝3知，p为假命题．令h(x)＝x－1＋x，

∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，

32∴x－1＋x＝0在(0,1)内有解．

32∴∃x∈R，x＝1－x，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.

6．

答案：D

21ana11qna1anq3＝3－2an，故选D. 解析：Sn21q1q137．

答案：A

解析：当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．

2当1≤t≤3时，s＝4t－t.

∵该函数的对称轴为t＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．

∴smax＝4，smin＝3.

∴s∈[3,4]．

综上知s∈[－3,4]．故选A.

8．

答案：C 解析：利用|PF|＝xP242，可得xP＝32.

∴yP＝26.∴S△POF＝故选C.

9．

答案：C

解析：由f(x)＝(1－cos

x)sin

x知其为奇函数．可排除B．当x∈0,时，f(x)＞0，排除A.

21|OF|·|yP|＝23.

2π当x∈(0，π)时，f′(x)＝sinx＋cos

x(1－cos

x)＝－2cosx＋cos

x＋1.

令f′(x)＝0，得x故极值点为x10．

答案：D

解析：由23cosA＋cos 2A＝0，得cosA＝∵A∈0,22222π.

32π，可排除D，故选C.

31.

25π1，∴cos

A＝.

2536b24913∵cos

A＝，∴b＝5或b(舍)．

26b5故选D.

11．

答案：A

解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

V半圆柱＝12π×2×4＝8π，

2V长方体＝4×2×2＝16.

所以所求体积为16＋8π.故选A.

12．

答案：D

解析：可画出|f(x)|的图象如图所示．

当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；

当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立．

2若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x＋2x|相切为界限，

由yax,2得x－(a＋2)x＝0.

2yx2x,2∵Δ＝(a＋2)＝0，∴a＝－2.

∴a∈[－2,0]．故选D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．答案：2

解析：∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝11∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，

2即ta·b＋(1－t)b＝0.

11.

22∴12t＋1－t＝0.

∴t＝2.

14．答案：3

解析：画出可行域如图所示．

画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.

15．答案：92π

解析：如图，

设球O的半径为R，

则AH＝2R3，

OH＝R3.

又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.

2∵在Rt△OEH中，R2＝R329+12，∴R＝8.

∴SπR29π球＝4＝2.

16．答案：255

解析：∵f(x)＝sin

x－2cos

x＝5sin(x－φ)，

其中sin φ＝255，cos φ＝55.

当x－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)取最大值．

即θ－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，θ＝2kπ＋π2＋φ(k∈Z)．

∴cos θ＝cosπ252＝－sin φ＝5.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．

解：(1)设{an(n1)n}的公差为d，则Sn＝na12d.

由已知可得3a13d0,5a110d5,

解得a1＝1，d＝－1.

故{an}的通项公式为an＝2－n.

(2)由(1)知11111aa＝，2n12n132n12n22n32n1从而数列1a的前n项和为2n1a

2n1 1111121113n＝.

12n11

2n32n118．

解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.

由观测结果可得

x＝1(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0201(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.520＋3.1＋3.2＋3.5)

＝2.3，

y＝＋2.6＋2.7＋3.2)

＝1.6.

由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．

(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有77的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的1010

叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．

19．

(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.

因为CA＝CB，

所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

故△AA1B为等边三角形，

所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以

AB⊥平面OA1C.

又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC＝OA1＝3.

222又A1C＝6，则A1C＝OC＋OA1，

故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.

20．

x解：(1)f′(x)＝e(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.

故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

x2(2)由(1)知，f(x)＝4e(x＋1)－x－4x， f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·ex1.

2令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．

－2当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e)．

21．

解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，x2y2=1(x≠－2)． 其方程为43(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.

22所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)＋y＝4.

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23.

若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．

由l与圆M相切得|QP|R，可求得Q(－|QM|r1|3k|1k224622x2y2x2代入=1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝当k＝时，将y，

4744318所以|AB|＝1k2|x2－x1|＝.

7218当k＝时，由图形的对称性可知|AB|＝.

4718综上，|AB|＝23或|AB|＝.

7请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．

(1)证明：连结DE，交BC于点G.

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.

而∠ABE＝∠CBE，

故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.

又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°，

由勾股定理可得DB＝DC.

(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，

故DG是BC的中垂线，

所以BG＝＝1，解得k＝2.

43.

2设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，

所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于23．

3.

2x45cost,22解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)＋(y－5)＝25，

y55sint即C1：x＋y－8x－10y＋16＝0.

将22xcos,222代入x＋y－8x－10y＋16＝0得ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

ysin所以C1的极坐标方程为

2ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

22(2)C2的普通方程为x＋y－2y＝0.

x2y28x10y160,由2

2xy2y0x1,x0,解得或

y1y2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2,ππ，2,.

4224．

解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

15x,x,21则y＝x2,x1,

23x6,x1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

(2)当x∈a1,时，f(x)＝1＋a.

22不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.

a1,都成立．

22a4故≥a－2，即a≤.

234从而a的取值范围是1,.

3所以x≥a－2对x∈


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