高考数学试题(理科)

2023年12月2日发(作者：崇左小学数学试卷真题答案)

绝密★本科目考试启用前

普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）（北京卷）

本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中,

出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A{x|x|2},

B{2,0,1,2}, 则AIB

（A）{0,1} （B）{1,0,1}

（C）{2,0,1,2} （D）{1,0,1,2}

（2）在复平面内, 复数11i的共轭复数对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第二象限 （D）第四象限

（3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为

开始

（A）12

k1,s1

（B）56

ss(1)k11k（C）76

kk1

（D）7k3

否

12

是

输出s

结束

数学（理）（北京卷）

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选 （4）“十二平均律”是通用的音律体系, 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,

为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份, 依次得到十三个单音, 从第二个单音起, 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于

（A）32f

（C）25f

12122．若第一个单音的频率为f, 则第八个单音的频率为

（B）22f

（D）27f

123（5）某四棱锥的三视图如图所示, 在此四棱锥的侧面中, 直角三角形的个数为

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

2

1

1

2

侧（左）视图

正（主）视图

俯视图

（6）设a,b均为单位向量, 则“|a3b||3ab|”是“ab”的

（A）充分而不必要条件

（C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

（7）在平面直角坐标系中, 记d为点P(cos,sin)到直线xmy20的距离．当,m变 化时,

d的最大值为

（A）1

（C）3

（B）2

（D）4

（8）设集合A{(x,y)xy1,axy4,xay2}, 则

（A）对任意实数a,

(2,1)A （B）对任意实数a,

(2,1)A

3时,

(2,1)A

2（C）当且仅当a0时,

(2,1)A （D）当且仅当a数学（理）（北京卷）

第 2 页（共 6 页） 第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题, 每小题5分, 共30分。

（ 9 ）设{an}是等差数列, 且a13,

a2a536, 则{an}的通项公式为 ．

（10）在极坐标中, 直线cossina(a0)与圆2cos相切, 则a ．

（11）设函数f(x)cos(x)(0)．若f(x)f()对任意的实数x都成立, 则的64最 小值为 ．

（12）若x,y满足x1y2x, 则2yx的最小值是 ．

（13）能说明“若f(x)f(0)对任意的x(0,2]都成立, 则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ．

x2y2x2y2（14）已知椭圆M:221(ab0), 双曲线N:221．若双曲线N的两条渐mnab近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点, 则椭圆M的离 心率为 ；双曲线N的离心率为 ．

数学（理）（北京卷）

第 3 页（共 6 页） 三、解答题共6小题, 共80分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

1在△ABC中,

a7,

b8,

cosB．

7（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

（16）（本小题14分）

如图, 在三棱柱ABCA1B1C1中,

CC1平面ABC,

D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,

ABBC5,

ACAA12．

A1

（Ⅰ）求证：AC平面BEF；

F

C1

B1

（Ⅱ）求二面角BCDC1的余弦值；

（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．

（17）（本小题12分）

电影公司随机收集了电影的有关数据, 经分类整理得到下表：

电影类型

电影部数

好评率

第一类

140

0.4

第二类

50

0.2

第三类

300

0.15

第四类

200

0.25

第五类

800

0.2

第六类

510

0.1

A

D

G

E

C

B

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部, 求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部, 估计恰有1部获得好评的概率；

（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“k1”表示第k

类电影得到人们喜欢, “k0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k1,2,3,4,5,6)．写出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6的大小关系．

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（18）（本小题13分）

设函数f(x)[ax2(4a1)x4a3]ex．

（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行, 求a；

（Ⅱ）若f(x)在x2处取得极小值, 求a的取值范围．

（20）（本小题14分）

设n为正整数, 集合A{(t1,t2,,tn),tk{0,1},k1,2,,n}．对于集合A中的任意元素(x1,x2,,xn)和(y1,y2,,yn), 记

1M(,)[(x1y1|x1y1|)(x2y2|x2y2|)(xnyn|xnyn|)]．

2（Ⅰ）当n3时, 若(1,1,0),

(0,1,1), 求和的值；

（Ⅱ）当n4时, 设B是A的子集, 且满足：对于B中的任意元素,, 当,相同时,

M(,)是奇数；当,不同时,

M(,)是偶数．求集合B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的n, 设B是A的子集, 且满足：对于B中的任意两个不同的元素,,

M(,)0．写出一个集合B, 使其元素个数最多, 并说明理由．

（19）（本小题14分）

已知抛物线C:y22px经过点P(1,2)．过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B, 且直线PA交y轴于M, 直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点,

QMQO,

QNQO, 求证：11为定值．

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