平面和球面的特征

2023年12月11日发(作者：西藏高考文综数学试卷及答案)

空间两种特殊曲面——平面和球面的特征

摘要：本文对平面和球面的特征进行了简要介绍，讨论了平面和球面的方程、它们的第一、第二基本形式以及法曲率特征，对两种曲面上的渐近线、曲率线和测地线进行了分析，并对平面和球面的判定与可展性问题、平面曲线与球面曲线的性质进行了一定的讨论。

关键词：平面；球面；渐近线；曲率线；可展曲面

平面和球面是空间两种特殊曲面，平面不弯曲，球面均匀弯曲，形状优美、性质特殊，很有研究必要。研究平面和球面特征，平面和球面上曲线性质等有利于加深对曲面特征理解。

1．平面的特征

1．1 平面的方程



rr（x,y)x,y,0

rx1,0,0

ry0,1,0

1．2 平面的第一与第二基本形式

rxx

0,0,0

rxy0,0,0

平面的第一类基本量：Erxrx1



Frxry0

ryy0,0,0

Gryry1

Lrxxn0



Mrxyn0



Nryyn0

22Idxdy平面的第一基本形式

平面的第二类基本量：平面的第二基本形式

Ⅱ＝０

1．3 平面上一点处的法曲率

knⅡⅠ0,

几何意义：法曲率是刻画曲面在已知点邻域的弯曲性，平面的法曲率

kn0说明平面不弯曲。

1．4 平面上的渐近线、曲率线和测地线

定理1：平面上的每一条曲线都是渐近线。 证明：因为平面上一点处的法曲率

kn0，而曲面上一点使kn0的方向称为曲面在该点的渐近方向，所以平面上任意一点的任何方向都是渐近方向。

则平面上任意一条曲线上任意点的切方向都是渐近方向，于是平面上的每一条曲线都是渐近线。

定理2：平面上的每一条曲线都是曲率线。

EFG证明：因为对于平面有且L=M=N=0，所以

LMNdv2ELdudvdu2FMG0

N是恒等式，且平面上的点都是平点，所以平点处的任何方向都是主方向。则对于平面上的任意一条曲线，它上每一点的切方向都是主方向，于是平面上的每一条曲线都是曲率线。

定理3：平面上的测地线是平面上的直线。

证明：因为测地曲率kgksin，是和n的夹角，

2而对于平面曲线上一点来说=所以

，

kgk,

又因为曲面上测地线有

kg0,

所以

k0.

所以平面上的测地线是平面上的直线。

1．5 平面的判定

定理：正则曲面是平面的充要条件为它的第二基本形式恒等于零。

证明：(充分性) 由L=M=N=0等价于

runurunvrvnurvnv0,

再利用

nunnvn0,

以及ru，rv，上式等价于

n线性无关知，

nunv0,

所以

1 dnnudunvdv0.

由于

drn0,

故

d(rn)0.

也即

rn 常数.

这表明曲面为平面。

必要性显然。

1．6 可展曲面与平面的关系

定理：可展曲面可以与平面成等距对应（简称展为平面）。

证明：在直角坐标系里，平面的第一基本形式是

而在极坐标系（，Idx2dy2,

）里，由上式通过变换

xcos,

ysin,

可得第一基本形式是

Id22d2.

我们知道，可展曲面分为三类：柱面、锥面和切线曲面。下面我们就对这三种曲面和平面的等距对应一一进行讨论。

① 我们首先考虑柱面，柱面方程可表示为

ra(s)vb,

其中b为沿柱面母线的单位常向量，aa(s)是与柱面母线正交的一条曲线，s是它的弧长。

于是

22Ersrs1,Frsrv0,Grvrvb1,

而第一基本形式为

rsa,

rvb,

Ⅰds2dv2,

这与上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此柱面可以展为平面。

② 其次考虑锥面，锥面方程可表示为

其中a0为常向量，b(s)为锥面母线上单位向量，而

2

ra0vb(s),

s是单位球面曲线 bb(s)的弧长，则有

221.

b1，bb0，b于是

，

rvb，

2Ersrsv，Frsrv0，

Grvrv1，

rsvb而第一基本形式为

Ⅰv2ds2dv2，

这与上述平面的第一基本形式有相同形式，因此锥面可以展为平面。

ra(s)v(s),

其中(s)为曲线aa(s)的 切向量a(s)，s为曲线a(s)的弧长。

于是

③ 最后考虑切线曲面

rsvk，rv(s)，

22Ersrs1vk，Frsrv1，Grvrv1,

而第一基本形式为

(1v2k2)ds22dsdvdv2.

从这里可以看到第一基本形式的表达式中只出现了曲线的曲率k，而没有出现挠率。因此如果两条曲线具有同一曲率

kk(s)，

那么即是挠率不同，它们的切线所构成的切线曲面具有相同的第一基本形式，

因而是等距的。但是对于给定的曲率与挠率为

则由曲线论的基本定理，除了空间的位置外，完全确定一条曲线(C)。当从1C连续变动到0时，即得一个连续族的曲线。这些曲线的切线曲面也变动，但是第一基本形式保持不变，所以这些切线曲面是等距的。当kk(s)，(s)(01)，

0时挠率0，此时曲线变为平面曲线，由于平面曲线的切线仍然在此平面上，因此这时的切线曲面就是平面曲线所在的平面，而第一基本形式不变，因此切线曲面也可展为平面。

以上证明了可展曲面的三种类型都可以展为平面，即命题得证。

2．球面特征

2．1 球面方程

rr(,)RcoscosR,3

cossRin,sin 2．2 球面的第一、第二基本形式



Frr0

nrrrr2rRcossin,Rcoscos,0

rRsincos,Rsinsin,Rcos

rRcoscos,Rcossin,0

rRsinsin,Rsincos,0

rRcoscos,Rcossin,Rsin

22第一类基本量：ErrRcos

2

GrrR

cos2cos,R2cos2sin,R2cossin

R2coscoscos,cossin,sin2第二类基本量：LrnRcos

Mrn0



NrnR

第一类基本形式

RⅠR2cos2d2R2d2

第二类基本形式

Ⅱ（Rcos2d2Rd2）

2．3 球面上一点处的法曲率

ⅡR（cos2d2d2）1kn，

2222ⅠR（cosdd）R几何意义：法曲率是刻画曲面在已知点邻域的弯曲性，球面上一点处的法曲率kn1是一个常数，说明球面是均匀弯曲的。

R2．4 球面上的渐近线、曲率线和测地线

4 定理1：球面上没有渐近线。

证明：因为球面上一点处的法曲率kn1，而曲面上一点使kn0的方R向称为曲面在该点的渐近方向，所以球面上任意一点都没有渐近方向，所以球面上没有渐近线。

定理2：球面上的每一条曲线都是曲率线。

EFG 证明：因为对于球面有，且L、M、N不同时为零，所以

LMNdv2ELdudvdu2FMG0

N是恒等式，且球面上的点为圆点，所以圆点处的任何方向都是主方向。则球面上任意曲线上任意点的切方向都是主方向，于是球面上的每一条曲线都是曲率线。

定理3：球面上的大圆一定是测地线。

证明：因为大圆的主法线重合于球面的法线，即于是

n，

0或,

所以

kgksin0,

即大圆上每一点处的测地曲率为零，命题得证。

2．5 球面的判定

定理：正则曲面是球面的充要条件是它的第一、第二基本形式成比例。

证明：（必要性）设球面方程为rr(u,v)，球心为a，半径为R，则

(ra)2R2,

对两边求导，得

ru(ra)0，rv(ra)0,

故

n代入

Ⅱra,

Rdrdn，得

5

(充分性)

d(ra)drⅠdr.

RRRⅠ即

由于Ⅱc(u,v)ⅡdrLMNC（u,v）,

EFG利用第一类基本量和第二类基本量定义，得

(nucru)ru0(nvcrv)ru0和,

(ncr)r0(ncr)r0uvuvvv又

nunnvnrunrvn0，得

(nucru)n0,(nvcrv)n0,

由于ru，rv，n线性无关，所以

nucrunvcrv0,

对上式求导,得

nuvcvrucruvnvucurvcrvu0,

由于ru，rv线性无关，所以

cucv0,

因此c(u,v)c是常数，进而得

d(ncr)0，得ncrca0,

所以

(ra0)2c2，

即曲面为球面。

3．球面与平面的关系

定理1：球面与平面不可能等距等价。（球面不可展为平面）

证明：因为一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲率恒等于零，而球

LNM212恒不为零，所以球面不是可展曲面，即球面不面的高斯曲率k2EGFR可展为平面，也就是球面与平面不可能等距等价。

6 定理2：球极投影是球面到平面的一个保角变换，而不是等距变换。

证明：两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一基本形式成比例。

球极投影给出球面（除北极外）到平面的一个变换。如果取如图所示的一个空间直角坐标系和参数u，v，则对应点p和表示分别为

p1坐标，也就是球面和平面的参数x2Rsinucosucosv,x2Rtanucosv,y2Rsinucosusinv, 和y2Rtanusinv,

z0z2Rsin2uz(0,0,2R)upovxp1y

其中R是球面的半径，于是它们的第一基本形式分别为

2　Ⅰ4R（du2sin2ucos2udv2），

24R（du2sin2ucos2udv2）Ⅰ1，

cos4uⅠ与ⅠⅠⅠ1，即在球极投影下，1成比例。所以，球极投影是球面到平面的一个保角变换，而不是等距变换。

4．平面曲线与球面曲线的性质

4．1 平面曲线的性质

定理：若空间曲线每一点处的密切平面过定点，则此曲线必为平面曲线。

证明：设曲线r于是有

r(s)(s为自然参数)，在s处的密切平面过定点P(r0)，(r(s)r0)(s)0,

7 两边对于s求导，得

(r(s)r0)0,

若若0，命题得证。

0，则(r(s)r0)0，则继续求导，得

k(r(s)r0)0.

综合以上各式，得k0，则此曲线必为平面曲线。

4．2 球面曲线的性质

定理：若空间曲线每一点处的法平面过定点，则此曲线必为球面曲线，且所过定点为球心。

证明：设曲线的参数表示为rr(t)，在每一点处的法平面过定点r0，有(r0r(t))r(t)0,

所以

(r(t)r0)(r(t)r0)0,

于是

r(t)r0R.

综上得，所有法平面过定点的曲线为球面曲线，且定点为球心。

结束语

本文试图介绍平面和球面的特征，主要从平面和球面的方程、它们的第一、第二基本形式、法曲率以及两种曲面上的渐近线、曲率线和测地线特征等方面进行分析与对比，并对平面和球面的判定与可展性问题、平面曲线与球面曲线的性质进行了一定的讨论。

【参考文献】

[1] 梅向明，黄敬之编. 微分几何（第三版）[M]. 高等教育出版社 2007

[2] 吴大任主编. 微分几何讲义[M]. 人民教育出版社 1982

[3] 王申怀，刘继志编. 微分几何[M]. 北京师范大学出版社 1988

[4] 应裕林编著. 微分几何[M]. 四川大学出版社 2006

[5] 黄国宣编著,复旦大学数学系主编. 空间解析几何与微分几何[M]. 复旦大学出版社 2003

The Characteristic of The Two Special Spatial Surfaces - -

8 Plane and Spherical Surface

Li Gaifeng

（Department of Mathematics ,Xi’an University of Arts and Science,Shan’xi

Xi’an ,710065）

Abstract:

This article briefly introduc the characteristic of the plane and the spherical surface,

discuss the plane and the spherical surface equation, their first and second fundamental mode as

well as the normal curvature characteristic, analyz the asymptotic line, the line of curvature and

the geodesic of two surfaces,and carry on certain discussion on the determination of plane and the

developable surface and the malleability question as well as the nature of plane curve and

spherical curve．

key words:

plane; spherical surface; asymptote line; line of curvature; developable surface

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