2023年12月10日发(作者：淮安中考数学试卷讲解)

第一题：证明角平分 ................................................................................................................................................ 4

第二题：证明四点共圆 ............................................................................................................................................ 5

第三题：证明角的倍数关系 .................................................................................................................................... 6

第四题：证明线与圆相切 ........................................................................................................................................ 7

第五题：证明垂直 .................................................................................................................................................... 8

第六题：证明线段相等 ............................................................................................................................................ 9

第七题：证明线段为比例中项 .............................................................................................................................. 10

第八题：证明垂直 .................................................................................................................................................. 11

第九题：证明线段相等 .......................................................................................................................................... 12

第十题：证明角平分 .............................................................................................................................................. 13

第十一题：证明垂直 .............................................................................................................................................. 14

第十二题：证明线段相等 ...................................................................................................................................... 15

第十三题：证明角相等 .......................................................................................................................................... 16

第十四题：证明中点 .............................................................................................................................................. 17

第十五题：证明线段的二次等式 .......................................................................................................................... 18

第十六题：证明角平分 .......................................................................................................................................... 19

第十七题：证明中点 .............................................................................................................................................. 20

第十八题：证明角相等 .......................................................................................................................................... 21

第十九题：证明中点 .............................................................................................................................................. 22

第二十题：证明线段相等 ...................................................................................................................................... 23

第二十一题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 24

第二十二题：证明角相等 ...................................................................................................................................... 25

第二十三题：证明四点共圆 .................................................................................................................................. 26

第二十四题：证明两圆相切 .................................................................................................................................. 27

第二十五题：证明线段相等 .................................................................................................................................. 28

第二十六题：证明四条线段相等 .......................................................................................................................... 29

第二十七题：证明线段比例等式 .......................................................................................................................... 30

第二十八题：证明角的倍数关系 .......................................................................................................................... 31

第二十九题：证明三线共点 .................................................................................................................................. 32

第三十题：证明平行 .............................................................................................................................................. 33

第三十一题：证明线段相等 .................................................................................................................................. 34

第三十二题：证明四点共圆 .................................................................................................................................. 35

第三十三题：证明三角形相似 .............................................................................................................................. 36

第三十四题：证明角相等 ...................................................................................................................................... 37

第三十五题：证明内心 .......................................................................................................................................... 38

第三十六题：证明角平分 ...................................................................................................................................... 39

第三十七题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 40

第三十八题：证明面积等式 .................................................................................................................................. 41

第三十九题：证明角平分 ...................................................................................................................................... 42

第四十题：证明角相等 .......................................................................................................................................... 43

第四十一题：证明中点 .......................................................................................................................................... 44

第四十二题：证明中点 .......................................................................................................................................... 45

第四十三题：证明角相等 ...................................................................................................................................... 46

第四十四题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 47

第 1 页 第四十五题：证明角相等 ...................................................................................................................................... 48

第四十六题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 49

第四十七题：证明四点共圆 .................................................................................................................................. 50

第四十八题：证明四点共圆 .................................................................................................................................. 51

第四十九题：证明四点共圆 .................................................................................................................................. 52

第五十题：证明角平分 .......................................................................................................................................... 53

第五十一题：证明线段相等 .................................................................................................................................. 54

第五十二题：证明两圆外切 .................................................................................................................................. 55

第五十三题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 56

第五十四题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 57

第五十五题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 58

第五十六题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 59

第五十七题：证中点 .............................................................................................................................................. 60

第五十八题：证明角相等 ...................................................................................................................................... 60

第五十九题：证明角相等 ...................................................................................................................................... 61

第六十题：证明四点共圆 ...................................................................................................................................... 62

第六十一题：证明四点共圆 .................................................................................................................................. 63

第六十二题：证明四点共圆 .................................................................................................................................. 64

第六十三题：证明角相等 ...................................................................................................................................... 65

第六十四题：证明角的倍数关系 .......................................................................................................................... 66

第六十五题：证明中点 .......................................................................................................................................... 67

第六十六题：伪旁切圆 .......................................................................................................................................... 68

第六十七题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 69

第六十八题：证明平行 .......................................................................................................................................... 70

第六十九题：证明圆心在某线上 .......................................................................................................................... 71

第七十题：证明三线共点 ...................................................................................................................................... 72

第七十一题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 73

第七十二题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 74

第七十三题：证明中点 .......................................................................................................................................... 75

第七十四题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 76

第七十五题：证明垂直 .......................................................................................................................................... 77

第七十六题：证明三线共点 .................................................................................................................................. 78

第七十七题：证明平行 .......................................................................................................................................... 79

第七十八题：证明平行 .......................................................................................................................................... 80

第七十九题：证明三线共点、证明垂直............................................................................................................... 81

第八十题：证明三点共线（牛顿定理）............................................................................................................... 82

第八十一题：证明角平分 ...................................................................................................................................... 83

第八十二题：证明角相等 ...................................................................................................................................... 84

第八十三题：证明三点共线 .................................................................................................................................. 85

第八十四题：证明四圆共点 .................................................................................................................................. 86

第八十五题：证明角平分 ...................................................................................................................................... 87

第八十六题：证明线段相等 .................................................................................................................................. 88

第八十七题：证明角相等 ...................................................................................................................................... 89

第八十八题：证明线段相等 .................................................................................................................................. 90

第 2 页 第八十九题：证明线段相等 .................................................................................................................................. 91

第九十题：证明线段相等 ...................................................................................................................................... 92

第九十一题：证明中点 .......................................................................................................................................... 93

第九十二题：证明四点共圆 .................................................................................................................................. 94

第九十三题：证明西姆松定理及逆定理............................................................................................................... 95

第九十四题：证明线段的和差关系等式............................................................................................................... 96

第九十五题：证明角相等 ...................................................................................................................................... 97

第九十六题：证明托勒密定理及逆定理............................................................................................................... 98

第九十七题：证明线段的和差关系等式............................................................................................................... 99

第九十八题：证明角相等 .................................................................................................................................... 100

第九十九题：证明四点共圆 ................................................................................................................................ 101

第一百题：证明两三角形共内心 ........................................................................................................................ 102第 3 页 第一题：证明角平分

已知PE、PF是⊙O的切线，A、B是一组对径点，PB交⊙O于另一点C，直线AF、BE交于D点。

求证：PCDPCE。第 4 页 第二题：证明四点共圆

如图，AB是⊙O的直径，C,D是圆上异于A、B,且在AB同侧的两点，分别过C、D作⊙的O切线，

它们交于点E,线段AD与BC的交点为F, 线段AB与EF的交点为M,求证：E、C、M、D四点共圆。第 5 页 第三题：证明角的倍数关系

如图，PE、PF是以AB为直径圆的切线E、F是切点，PB交圆于C点，AF、BE交于D点，AB是直径。 求证：DPE2ACD。第 6 页 第四题：证明线与圆相切

已知：ABC中，A90，AD切⊙ABC，AD交BC延长线于D，E是A关于BC的对称点，AYBE于Y，X是AY中点，延长BX交⊙ABC于J，求证：BD切AJD外接圆。第 7 页 第五题：证明垂直

已知四边形ABCD内接于以BD为直径的圆，设A\'为A关于BD为对称点，B\'是B关于AC对称点，直线AC交DB\'于Q，直线DB交CA\'于P。求证：PQAC。第 8 页 第六题：证明线段相等

已知：BC、BD是⊙O切线，C、D是切点，BJA是割线，A、J在圆上，J离B较近，

DEAO于E，交AB于F，AC交DE于G，求证：DFFG。第 9 页 第七题：证明线段为比例中项

已知ABC中，ACBC，M是AB的中点，FG经过点M，且CFG与ABC有相同的内心。

求证：AMFMGM。2第 10 页 第八题：证明垂直

已知：ABC为非直角三角形，AD平分BAC，D在BC上，DFAC于F，DEAB于E，CE交BF于P。求证：APBC。第 11 页 第九题：证明线段相等

过圆O外一点P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，过劣弧CD上一点E作圆O的另一条切线分别交PC、PD于A、B，连结OE交CD于点N，连结PN交AB于点M。

求证：MAMB。第 12 页 第十题：证明角平分

已知PA、PB是⊙O切线，DE是过C的切线，D、E分别在AP、PB上，CFAB于F，连接DF、EF。求证：DFCEFC第 13 页 第十一题：证明垂直

设PAB是圆O的割线，PC是切线，CD是圆O的直径，DB、OP相交于E。求证：ACCE。第 14 页 第十二题：证明线段相等

设C、D是以O为圆心AB为直径的半圆上两点，过B做圆O的切线交CD于P，直线PO交直线CA、AD分别于E、F。求证:

OEOF。第 15 页 第十三题：证明角相等

如图，ABC中，D、E分别为AB、AC上一点，且DE//BC，BE、CD交于点F，BDF的外接圆⊙O，与CEF的外接圆⊙P交于点G，求证：BAFCAG。第 16 页 第十四题：证明中点

如图，⊙O、⊙P交于A、B两点，BO、PA延长线交于点C，CD、CE分别切⊙O、⊙P于D、E，连接DE交AB于F，求证：F为DE中点。第 17 页 第十五题：证明线段的二次等式

如图，半径不相等的两圆⊙O、⊙P交于A、B两点，过A的直线CD分别交⊙O、⊙P于C、D，CB延长线交⊙P于F，DB延长线交⊙O于E，过A作CD垂线交EF中垂线于G，求证：AG2EG2ACAD第 18 页 第十六题：证明角平分

如图，ABC内接于⊙O，D为BC中点，AD交⊙O于E，过E作EF//BC，交⊙O于F，过C作CGAC，交AE于G。求证：AGCFGC。第 19 页 第十七题：证明中点

如图，ABC内切圆⊙I切BC于D，过I作IE//AD交BC于E，过E作⊙I切线，分别交AB、AC于F、G。求证：E为FG中点。第 20 页 第十八题：证明角相等

如图，如图，⊙P、⊙Q交于A、B两点，它们的外公切线CD分别切⊙P、⊙Q于C、D，E为BA延长线上一点，求证：EC交⊙P于F，FCHGDH。ED交⊙Q于G，AH平分FAG交FG于H。第 21 页 第十九题：证明中点

如图，⊙O为ABC外接圆，I、E分别为ABC的内心和一个旁心，BAC的外角平分线交BC延长线于D，IFDE于F，交⊙O于G。求证：G为IF中点。第 22 页 第二十题：证明线段相等

如图，在锐角ABC中，BC，F是BC的中点，BE、CD是高。G、H分别是FD、FE的中点，若过A且平行于BC的直线交GH于I。求证：IAIF第 23 页 第二十一题：证明垂直

如图，D是ABC边BC上一点，DACABD，⊙O过点B、D分别交AB、AD于E、F，直线BF交DE于G，M是AG中点。求证：CMAO。第 24 页 第二十二题：证明角相等

如图，如图，CD为⊙O直径，PC、PE分别切⊙O于C、E，割线PBA交⊙O于A、B，AC、BD交于点F，DE交AB于G，求证：GFEADE。第 25 页 第二十三题：证明四点共圆

如图，O为ABC外心，D、E分别为AB、AC上一点，OFDE于F，L、M、N分别为DE、BE、CD中点。求证：F、L、M、N四点共圆。第 26 页 第二十四题：证明两圆相切

如图，ABC内切圆⊙I切BC于D，AEBC于E，F为AE中点，DF交⊙I于G，作BCG的外接圆⊙O，求证：⊙O、⊙I相切于点G。第 27 页 第二十五题：证明线段相等

如图，ABC内接于⊙O，内切圆⊙I分别切AB、AC于J、K，AO交⊙O于D，连接DI，延长CA到F，使得AFBJ，过F作DI的垂线交BA延长线于G，求证：AGCK。第 28 页 第二十六题：证明四条线段相等

如图，⊙O为ABC外接圆，AD平分BAC交⊙O于D，OE//BD交AB于E，OF//CD交AC于F，H为ABC垂心，HG//AD交BC于G，求证：BEGEGFCF。第 29 页 第二十七题：证明线段比例等式

如图，四边形ABCD中，ABAC，ABD外接圆⊙O1交AC于F，ACD外接圆⊙O2交AB于E，BF、CE交于点G，求证：BGBD。CGCD第 30 页 第二十八题：证明角的倍数关系

如图，O为ABC外心，D为ABC内一点，使得DABDCB，DACDCB，E为AD中点，过E作EFAD交CB延长线于F，连接FA、FD、FO，求证：AFD2OFC。第 31 页 第二十九题：证明三线共点

如图，⊙O的内接四边形ABCD，AB、DC交于点E，AD、BC交于点F，EFC的外接圆⊙P交⊙O于G，AG交EF于H，HC交⊙O于I，求证AI、GC、FE三线共点。第 32 页 第三十题：证明平行

如图，ABC中，D为BC中点，O为外心，H为垂心，E、F分别为AB、AC上一点，使得AEAF，且D、H、E三点共线，P为AEF外心，求证：OP//HD。第 33 页 第三十一题：证明线段相等

如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为四边形内一点，使得EABECO，EBAEDC，过点E的直线FG平分BEC，交⊙O于F、G两点，求证：EFEG。第 34 页 第三十二题：证明四点共圆

如图，在ABC中，AD、BE、CF是三条高线，点P为ABC内部一点，P关于BC、CA、AB的对称点分别为L、M、N，线段AP的中点为G，求证：D、E、G、F四点共圆的充要条件为A、M、L、N四点共圆。第 35 页 第三十三题：证明三角形相似

如图，⊙O1、⊙O2半径分别为r1、r2，⊙O1、⊙O2交于A、B两点，P为平面上一点，PC切⊙O1于C，PD切⊙O2于D，且PCr1，求证：PCA∽PBD。PDr2第 36 页 第三十四题：证明角相等

如图，平行四边形ABCD中，E为BD上一点，使得ECBACD，AC交ABD外接圆⊙O于F，连接EF，求证：BFEAFD。第 37 页 第三十五题：证明内心

如图，I是ABC内心，E为BC中点，F为弧BC中点，EF中点为N，BI中点为M，MN交BC于D，连接AD，求证：M为ABD内心。第 38 页 第三十六题：证明角平分

如图，⊙O为ABC的外接圆，AF平分BAC交⊙O于F，H为ABC的垂心，CEAB于E，BDAC于D，ADE的外接圆⊙P交⊙O于G。GF交BC于I，求证：IH平分BHC。第 39 页 第三十七题：证明垂直

在ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，直线FD和AC交于点N，求证：（1）OBDF；（2）OCDE；（3）OHMN。第 40 页 第三十八题：证明面积等式

如图，ABC和ADE均为等腰直角三角形，BACAED90，连接BD、CE，取CE的中点F，连接DF、BF，求证：SBDF=1SABCSADE3SACE。2第 41 页 第三十九题：证明角平分

如图，ABC中，旁切圆⊙P分别切CB、CA延长线于D、E，旁切圆⊙Q分别切BC、BA延长线于F、G，DE、FG分别交PQ于M、N，BN、CM交于点L，求证：AL平分BAC。第 42 页 第四十题：证明角相等

如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、CD上一点，AF、CE交于点G，AEG的外接圆⊙O与CFG的外接圆⊙P交于点H，连接BG、DH，求证：GBAHDA。第 43 页 第四十一题：证明中点

如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PCD为⊙O一条割线，过C作CF//PB，交AB于E，交BD于F，求证：E为CF中点。第 44 页 第四十二题：证明中点

如图，H为ABC垂心，D为BC中点，过H作EFDH分别交AB、AC于E、F，求证：H为EF中点。第 45 页 第四十三题：证明角相等

如图，锐角ABC中，ABAC，且D、E在边BC上，满足BDCE，若在ABC内存在点P满足PD//AE，且PABEAC，求证：PBAPCA。第 46 页 第四十四题：证明垂直

如图，AB为半圆O的直径，OCAB，C在圆上，P是BA延长线上一点，PD切⊙O于D，PE平分DPB，分别交AC、BC于E、F，求证：EOF90。第 47 页 第四十五题：证明角相等

如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，ADOP于点D，ADC的外接圆与BC的另一个交点为E，求证：BAEACB。第 48 页 第四十六题：证明垂直

如图，平行四边形ABCD中，CEAB于E，CFAD于F，EF交BD于G，求证：GCAC。第 49 页


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