初三上册数学重点题型复习及答案解析

2024年1月22日发(作者：数学试卷附赠参考答案)

初三上册数学重点题型复习及答案解析

一．解答题（共30小题）

1．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC=3：5，AB=8．

（1）求⊙O的半径；

（2）点E为圆上一点，∠ECD=15°，将的面积．

沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

（1）求证：∠1=∠BAD；

（2）求证：BE是⊙O的切线．

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．

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4．如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）求DE的长．

5．已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，

（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；

（2）求FG的长．

6．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．

（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；

（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．

（3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．

7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．

（1）求证：AE⊥CD；

（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．

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8．已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．

（Ⅰ）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；

（Ⅱ）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，求∠ODC的度数．

9．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

10．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．

（1）求证：AE平分∠DAC；

（2）若AB=3，∠ABE=60°．

①求AD的长；

②求出图中阴影部分的面积．

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11．如图1，已知抛物线l1：y=﹣x2+x+3与y轴交于点A，过点A的直线l2：y=kx+b与抛物线l1交于另一点B，点A，B到直线x=2的距离相等．

（1）求直线l2的表达式；

（2）将直线l2向下平移个单位，平移后的直线l3与抛物线l1交于点C，D（如图2），判断直线x=2是否平分线段CD，并说明理由；

（3）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）和直线y=3x+m有两个交点M，N，对于任意满足条件的m，线段MN都能被直线x=h平分，请直接写出h与a，b之间的数量关系．

12．如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；

（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．

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13．已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求证：GH=HK；

（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．

14．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．

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15．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）请直接写出点A，C，D的坐标；

（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

16．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：

（1）EA是∠QED的平分线；

（2）EF2=BE2+DF2．

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17．如图，抛物线y=﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、点B、点C的坐标；

（2）求直线BD的解析式；

（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，顶点为D，若以BD为直径的⊙M经过点C．

（1）请直接写出C、D两点的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在抛物线上是否存在点E，使∠EDB=∠CBD？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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19．如图，已知抛物线y=﹣（x2﹣7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．

（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；

（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．

20．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：ED是⊙P的切线；

（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；

（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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21．如图所示，在平面直角坐标系中，以点M（2，3）为圆心，5为半径的圆交x轴于A，B两点，过点M作x轴的垂线，垂足为D；过点B作⊙M的切线，与直线MD交于N点．

（1）求点B、点N的坐标以及直线BN的解析式；

（2）求过A、N、B、三点（对称轴与y轴平行）的抛物线的解析式；

（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点P，以点D，B，P三点为顶点作平行四边形，请你求出第四个顶点Q的坐标，并判断Q是否在（2）中的抛物线上．

22．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣6，0）、B（0，﹣8）两点．

（1）求出直线AB的函数解析式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=△ABCS若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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23．如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）若以AD为直径的圆经过点C．

①求抛物线的函数关系式；

②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF=1：2，求点M、N的坐标；

③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．

24．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．

（1）求a，b，c的值；

（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

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25．如图，直线与y轴交于A点，过点A的抛物线与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．

（1）求B点坐标以及抛物线的函数解析式．

（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C运动，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P运动的时间为t秒，求线段MN的长与t的函数关系式，当t为何值时，MN的长最大，最大值是多少？

（3）在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由．

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26．当﹣2≤x≤2时，求函数y=x2﹣2x﹣3的最大值和最小值．

27．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．

（1）请直接写出y与x的函数关系式；

（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？

（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

28．为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．

（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．

（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）

29．九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．

时间x（天） 1 30 60 90

每天销售量p（件） 198 140 80 20

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．

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30．关于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2=0

（1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？

（2）设方程有两个实数根x1，x2，问m为何值时，x12+x22=17？

（3）若方程有两个实数根x1，x2，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．

第13页（共62页）

2016年11月26日1302729921的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2016•天门）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC=3：5，AB=8．

（1）求⊙O的半径；

（2）点E为圆上一点，∠ECD=15°，将的面积．

沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分

【分析】（1）根据AB⊥CD，垂足为G，OG：OC=3：5，AB=8，可以求得⊙O的半径；

（2）要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．

【解答】解：（1）连接AO，如右图1所示，

∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，

∴AG==4，

∵OG：OC=3：5，AB⊥CD，垂足为G，

∴设⊙O的半径为5k，则OG=3k，

∴（3k）2+42=（5k）2，

解得，k=1或k=﹣1（舍去），

∴5k=5，

即⊙O的半径是5；

（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，

∵∠ECD=15°，由对称性可知，∠DCM=30°，S阴影=S弓形CBM，

连接OM，则∠MOD=60°，

∴∠MOC=120°，

过点M作MN⊥CD于点N，

∴MN=MO•sin60°=5×∴S阴影=S扇形OMC﹣S△OMC=即图中阴影部分的面积是：．

，

=，

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【点评】本题考查垂径定理、扇形的面积、翻折变换，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．

2．（2016•自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

（1）求证：∠1=∠BAD；

（2）求证：BE是⊙O的切线．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；

（2）连接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；

【解答】证明：（1）∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD，

∵∠1=∠BDA，

∴∠1=∠BAD；

（2）连接BO，

∵∠ABC=90°，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠BCO+∠BCD=180°，

∵OB=OC，

∴∠BCO=∠CBO，

∴∠CBO+∠BCD=180°，

∴OB∥DE，

∵BE⊥DE，

第15页（共62页）

∴EB⊥OB，

∵OB是⊙O的半径，

∴BE是⊙O的切线．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．

3．（2016•三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．

【分析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；

（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．

【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：

连接OD，

∵OD=OA，

∴∠A=∠ODA，

∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB=ED，

∴∠B=∠EDB，

∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠ODA+∠EDB=90°，

∴∠ODE=180°﹣90°=90°，

∴直线DE与⊙O相切；

（2）连接OE，

设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，

∵∠C=∠ODE=90°，

∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，

∴42+（8﹣x）2=22+x2，

第16页（共62页）

解得：x=4.75，

则DE=4.75．

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．

4．（2016•宁波）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）求DE的长．

【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．

（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE=OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．

【解答】证明：（1）连接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAB，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，

∴∠ODA=∠DAE，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O切线．

（2）过点O作OF⊥AC于点F，

∴AF=CF=3，

∴OF===4．

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，

∴四边形OFED是矩形，

∴DE=OF=4．

第17页（共62页）

【点评】本题考查切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．

5．（2016•本溪二模）已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，

（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；

（2）求FG的长．

【分析】（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．

（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，

∴∠B=∠C=∠ODB=60°，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，

∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，

∴DF是圆O的切线；

（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，

∴BD=OB=OD=6，

∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，

∵在Rt△CFD中，∠C=60°，

∴∠CDF=30°，

∴CF=CD=×6=3，

∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，

∵FG⊥AB，

∴∠FGA=90°，

第18页（共62页）

∵∠FAG=60°，

∴FG=AFsin60°=．

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、垂径定理等知识，判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．

6．（2016•深圳模拟）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．

（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；

（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．

（3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．

【分析】（1）只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线，即与小圆的关系是相切．

（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，从而得出EB=AD，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者．

（3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积．

【解答】解：（1）BC所在直线与小圆相切．

理由如下：

过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；

∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，

∴OA⊥AC；

又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，

∴OE=OA，

∴BC所在直线是小圆的切线．

（2）AC+AD=BC．

理由如下：

连接OD．

∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，

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∴CE=CA；

∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，

，

∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），

∴EB=AD；

∵BC=CE+EB，

∴BC=AC+AD．

（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，

∴AC=6cm；

∵BC=AC+AD，

∴AD=BC﹣AC=4cm，

∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2），

又∵OD2﹣OA2=AD2，

∴S=42π=16π（cm2）．

【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点．要证某线是圆的切线，①已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，②所证切线与圆的交点不明确，可以过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径．

7．（2016•滨湖区模拟）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．

（1）求证：AE⊥CD；

（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．

【分析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；

（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF=CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．

【解答】（1）

证明：连接OA．

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∵AE是⊙O切线，

∴OA⊥AE，

∴∠OAE=90°，

∴∠EAD+∠OAD=90°，

∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠AED=90°，

∴AE⊥CD；

（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．

∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，

∴四边形AOFE是矩形．

∴OF=AE=4cm．

又∵OF⊥CD，

∴DF=CD=3cm．

在Rt△ODF中，OD=即⊙O的半径为5cm．

=5cm，

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

8．（2016•河西区一模）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．

（Ⅰ）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；

（Ⅱ）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，求∠ODC的度数．

【分析】（1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．

（2）连接OE，利用等腰三角形及平行线的性质，可求得∠ODC的度数．

第21页（共62页）

【解答】解：（1）如图①，连接OC，

∵OC=OA，CD=OA，

∴OC=CD，

∴∠ODC=∠COD，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°，

∴∠ODC=45°；

（2）如图②，连接OE．

∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AE∥OC，

∴∠2=∠3．

设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．

∴∠AOE=∠OCD=180°﹣2x．

∵∠6=∠1+∠2=2x．

∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．

∵AE∥OC，

∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，

∴x=36°．

∴∠ODC=36°．

【点评】本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，作出辅助线是解题的关键．

9．（2015•德阳）如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

第22页（共62页）

【分析】（1）连结OB、OD、OC，如图1，由于D为BC的中点，根据垂径定理的推理得OD⊥BC，∠BOD=∠COD，再根据圆周角定理得∠BOD=∠M=60°，则∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，于是根据切线的判定定理得AB是⊙O的切线；

（2）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，则利用角平分线性质得DM=DN，根据四边形内角和得∠MDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠MDE=∠NDF，接着证明△DME≌△DNF得到ME=NF，于是BE+CF=BM+CN，再计算出BM=BD，CN=OC，则BE+CF=BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半，再计算BC的长即可．

【解答】（1）证明：连结OB、OD、OC，如图1，

∵D为BC的中点，

∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，

∴∠ODB=90°，

∵∠BMC=∠BOC，

∴∠BOD=∠M=60°，

∴∠OBD=30°，

∵△ABC为正三角形，

∴∠ABC=60°

∴∠ABO=60°+30°=90°，

∴AB⊥OB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：BE+CF的值是为定值．

作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，

∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，

∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，

∴DH=DN，∠HDN=120°，

∵∠EDF=120°，

∴∠HDE=∠NDF，

在△DHE和△DNF中，

，

∴△DHE≌△DNF，

∴HE=NF，

∴BE+CF=BH﹣EH+CN+NF=BH+CN，

第23页（共62页）

在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，

∴BH=BD，

同理可得CN=OC，

∴BE+CF=OB+OC=BC，

∵BD=OB•cos30°=，

∴BC=2，

∴BE+CF的值是定值，为．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质．

10．（2012•广元）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．

（1）求证：AE平分∠DAC；

（2）若AB=3，∠ABE=60°．

①求AD的长；

②求出图中阴影部分的面积．

第24页（共62页）

【分析】（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE=∠AEO，再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出结论；

（2）①先根据∠ABE=60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长；

②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA=OB可知S△AOE=S△BOE=S△ABE求出△AOE的面积，由S阴影=S扇形AOE﹣S△AOE即可得出结论．

【解答】解：（1）连接OE．

∵CD是⊙O的切线，

∴OE⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴AD∥OE，

∴∠DAE=∠AEO，

∵OA=OE，

∴∠EAO=∠AEO，

∴∠DAE=∠EAO，

∴AE平分∠DAC；

（2）①∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵∠ABE=60°，

∴∠EAO=30°，

∴∠DAE=∠EAO=30°，

∵AB=3，

∴AE=AB•cos30°=3×在Rt△ADE中，

∵∠DAE=30°，AE=∴AD=AE•cos30°=，

×=；

=，BE=AB=，

②∵∠EAO=∠AEO=30°，

∴∠AOE=180°﹣∠EAO﹣∠AEO=180°﹣30°﹣30°=120°，

∵OA=OB，

第25页（共62页）

∴S△AOE=S△BOE=S△ABE，

∴S阴影=S扇形OAE﹣S△AOE=S扇形OAE﹣S△ABE═﹣=．

﹣×××=

【点评】本题考查的是切线的性质及扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．

11．（2016•宁德）如图1，已知抛物线l1：y=﹣x2+x+3与y轴交于点A，过点A的直线l2：y=kx+b与抛物线l1交于另一点B，点A，B到直线x=2的距离相等．

（1）求直线l2的表达式；

（2）将直线l2向下平移个单位，平移后的直线l3与抛物线l1交于点C，D（如图2），判断直线x=2是否平分线段CD，并说明理由；

（3）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）和直线y=3x+m有两个交点M，N，对于任意满足条件的m，线段MN都能被直线x=h平分，请直接写出h与a，b之间的数量关系．

【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出抛物线与y轴的交点A的坐标，再根据点A，B到直线x=2的距离相等，求出点B的横坐标为4，因为B也在抛物线上，当x=4代入抛物线的解析式求出y的值，即是点B的坐标，再利用待定系数法求直线l2的表达式；

（2）根据平移规律写出直线l3表达式，计算出直线l3与直线x=2的交点坐标（2，﹣1.5），根据二次函数和直线l3的解析式列方程组求出C、D两点的坐标，由中点坐标公式计算CD的中点坐标，恰好与直线l3与直线x=2的交点重合，所以直线x=2平分线段CD；

（3）先设M（x1，y1），N（x2，y2），根据M、N是抛物线和直线y=3x+m的交点，列方程组得：x1+x2=﹣，由中点坐标公式列式可得结论．

第26页（共62页）

【解答】解：（1）当x=0时，y=3，

∴A（0，3），

∴A到直线x=2的距离为2，

∵点A，B到直线x=2的距离相等，

∴B到直线x=2的距离为2，

∴B的横坐标为4，

当x=4时，y=﹣×42+4+3=﹣1，

∴B（4，﹣1），

把A（0，3）和B（4，﹣1）代入y=kx+b中得：解得：，

，

∴直线l2的表达式为：y=﹣x+3；

（2）直线x=2平分线段CD，理由是：

直线l3表达式为：y=﹣x+3﹣=﹣x+0.5，

当x=2时，y=﹣2+0.5=﹣1.5，

，

解得：或，

∴C（﹣1，1.5）、D（5，﹣4.5），

∴线段CD的中点坐标为：x=则直线x=2平分线段CD；

（3），

=2，y==﹣1.5，

ax2+（b﹣3）x+c﹣m=0，

则x1、x2是此方程的两个根，

x1+x2=﹣，

∵线段MN都能被直线x=h平分，

设线段MN的中点为P，则P的横坐标为h，

根据中点坐标公式得：h==﹣．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的交点问题，与方程组相结合，理解上有难度；要熟知中点坐标公式：若A（a，b），B（m，n），则AB的中点坐标x=y=；两函数图象的交点就是两函数解析式所列方程组的解．

第27页（共62页）

，

12．（2016•东丽区二模）如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；

（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．

【分析】（1）由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，可以由两根式设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），求出a的值即可；

（2）由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y=﹣3x+12，设CD直线方程可以设为：y=x+m，求出m的值，进而求出D点的值，由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标，由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程，CE直线方程可以设为：y=x+n，求出n的值，进而求出E点的坐标；

（3）由C、D两点坐标可以求得CD=，△FDC是等腰△可以有三种情形：①当FD=CD；②FC=CD；③FD=FC，分别求出F点的坐标即可；

【解答】解：（1）由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，

可以由两根式设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），

然后将C点坐标代入得：a（3+2）（3﹣4）=3，

解得：a=﹣，

故抛物线解析式是：y=﹣（x+2）（x﹣4）；

（2）由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y=﹣3x+12，

∵CD⊥CB，

∴CD直线方程可以设为：

y=x+m，

将C点坐标代入得：m=2，

∴CD直线方程为：y=x+2，

∴D点坐标为：D（0，2），

第28页（共62页）

由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标为M（1，∴由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程为：y=﹣x+∴F点坐标为：F（0，），

，

），

∴CE直线方程可以设为：y=x+n，

将C点坐标代入得：n=，

∴CE直线方程为：y=x+，

令y=0，解得：x=﹣，

∴E点坐标为E（﹣，0），

∴能；

（3）由C、D两点坐标可以求得CD=，

则△FDC是等腰△可以有三种情形：

①FD=CD=，

则F点坐标为F（0，2+），

②FC=CD=，过C点作y轴垂线，垂足为H点，

则DH=1，

则FH=1，

则F点坐标为F（0，4），

③FD=FC，作DC的中垂线FG，交y轴于F点，交DC于G点，

由中点公式得G点坐标为G（，），

由DC两点可以求得DC直线方程为：y=x+2，

则FG直线方程可以设为：y=﹣3x+p，

将G点坐标代入解得：p=7，

故F点坐标为（0，7）．

第29页（共62页）

【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质及其解析式的求法，特别是（3）问需要分类讨论，此题难度较大，希望同学们仔细作答．

13．（2016•崇明县二模）已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求证：GH=HK；

（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4 （a≠0），将点A的坐标代入求得a的值即可求得抛物线的解析式；

（2）先求得直线AE、AC的解析式，由点D的横坐标为m，可求得KG、KH的长（用含m的式子），从而可证明GH=HK；

（3）可分为CG=CH，GH=GC，HG=HC三种情况，接下来依据两点间的距离公式列方程求解即可．

【解答】（1）解：∵抛物线的顶点为E（﹣1，4），

∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4 （a≠0）．

又∵抛物线过点A（﹣3，0），

∴4a+4=0，解得：a=﹣1．

∴这条抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4．

（2）设直线AE的解析式为y=kx+b．

∵将A（﹣3，0），E（﹣1，4），代入得：∴直线AE的解析式为y=2x+6．

设直线AC的解析式为y=k1x+b1．

∵将A（﹣3，0），C（0，3）代入得：，解得：k=1，b=3，

，解得：k=2，b=6，

∴直线AC的解析式为y=x+3．

∵D的横坐标为m，DK⊥x轴

∴G（m，2m+6），H（m，m+3）．

∵K（m，0）

∴GH=m+3，HK=m+3．

∴GH=HK．

（3）由（2）可知：C（0，3），G（m，2m+6），H（m，m+3）

第30页（共62页）

①若CG=CH，则±m解得m1=﹣1，m2=﹣3，

∵﹣3＜m＜﹣1，

∴m≠﹣1且m≠﹣3．

∴这种情况不存在．

②若GC=GH，则③若HC=HG，则（舍去）．

=2，整理得：（2m+3）=m2，解得开平方得：2m+3==m+3，整理得：2m2+3m=0 解得m1=0（舍去），=m+3，整理得：m2﹣6m﹣9=0，解得；m1=3﹣3，m2=3+3．

综上所述：当△CGH是等腰三角形时，m的值为或．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、等腰三角形的判定、两点间的距离公式的应用，依据两点间的距离公式列出关于m的方程是解题的关键．

14．（2016•眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；

（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；

（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，

当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标，确定出|PM﹣AM|的最大值即可．

第31页（共62页）

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），

∴，

解得：a=﹣，b=﹣，c=3，

∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3；

（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：

∵OB=3，OC=4，OA=1，

∴BC=AC=5，

当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，

∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，

∴点P的坐标为（5，3），

当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，

则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；

（3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵A（1，0），P（5，3），

∴，

解得：k=，b=﹣，

∴直线PA的解析式为y=x﹣，

当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，

当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，

∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，

解方程组，得或，

∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．

第32页（共62页）

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．．

15．（2016•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）请直接写出点A，C，D的坐标；

（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；

（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；

（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．

【解答】解：（1）当y=﹣x2﹣2x+3中y=0时，有﹣x2﹣2x+3=0，

解得：x1=﹣3，x2=1，

∵A在B的左侧，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

当y=﹣x2﹣2x+3中x=0时，则y=3，

第33页（共62页）

∴C（0，3）．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴顶点D（﹣1，4）．

（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．

∵C（0，3），

∴C′（0，﹣3）．

设直线C′D的解析式为y=kx+b，

则有，解得：，

∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3，

当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=﹣，

∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（﹣，0）．

（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，

则有，解得：，

∴直线AC的解析式为y=x+3．

假设存在，设点F（m，m+3），

△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：

①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，

∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3，

解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，

此时点P的坐标为（2，﹣5）；

②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，

∴0=﹣（2m+3）2﹣2×（2m+3）+3，

解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，

此时点P的坐标为（1，0）；

③当∠APF=90°时，P（m，0），

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，

∴0=﹣m2﹣2m+3，

解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，

此时点P的坐标为（1，0）．

综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣或（1，0）．

第34页（共62页）

5）

【点评】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标，利用配方法求出顶点坐标；（2）找出点E的位置；（3）分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一次函数图象上点的坐标特征设出点F的坐标，再根据等腰直角三角形的性质表示出点P的坐标是关键．

16．（2016•日照）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：

（1）EA是∠QED的平分线；

（2）EF2=BE2+DF2．

第35页（共62页）

【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；

（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．

【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，

∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，

在△AQE和△AFE中

，

∴△AQE≌△AFE（SAS），

∴∠AEQ=∠AEF，

∴EA是∠QED的平分线；

（2）由（1）得△AQE≌△AFE，

∴QE=EF，

在Rt△QBE中，

QB2+BE2=QE2，

则EF2=BE2+DF2．

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．

17．（2016•黄冈）如图，抛物线y=﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、点B、点C的坐标；

（2）求直线BD的解析式；

（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第36页（共62页）

【分析】（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；

（2）由点C与点D关于x轴对称，得到D（0，﹣2），解方程即可得到结论；

（3）如图1所示：根据平行四边形的性质得到QM=CD，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），则M（m，m﹣2），列方程即可得到结论；

（4）设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），分两种情况：①当∠QBD=90°时，根据勾股定理列方程求得m=3，m=4（不合题意，舍去），②当∠QDB=90°时，根据勾股定理列方程求得m=8，m=﹣1，于是得到结论．

【解答】解：（1）∵令x=0得；y=2，

∴C（0，2）．

∵令y=0得：﹣=0，

解得：x1=﹣1，x2=4．

∴A（﹣1，0），B（4，0）．

（2）∵点C与点D关于x轴对称，

∴D（0，﹣2）．

设直线BD的解析式为y=kx﹣2．

∵将（4，0）代入得：4k﹣2=0，

∴k=．

∴直线BD的解析式为y=x﹣2．

（3）如图1所示：

第37页（共62页）

∵QM∥DC，

∴当QM=CD时，四边形CQMD是平行四边形．

设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），

则M（m，m﹣2），

∴﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=4，

解得：m=2，m=0（不合题意，舍去），

∴当m=2时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）存在，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），

∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，

∴①当∠QBD=90°时，

由勾股定理得：BQ2+BD2=DQ2，

即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+20=m2+（﹣m2+m+2+2）2，

解得：m=3，m=4（不合题意，舍去），

∴Q（3，2）；

②当∠QDB=90°时，

由勾股定理得：BQ2=BD2+DQ2，

即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2=20+m2+（﹣m2+m+2+2）2，

解得：m=8，m=﹣1，

∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），

综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，勾股定理，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．

18．（2016春•深圳校级期中）如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，顶点为D，若以BD为直径的⊙M经过点C．

第38页（共62页）

（1）请直接写出C、D两点的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在抛物线上是否存在点E，使∠EDB=∠CBD？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将x=0代入抛物线的解析式可得到点C的坐标，依据抛物线的对称轴方程可求得点D的横坐标，然后将点D的横坐标代入可求得点D的纵坐标；

（2）令y=0可求得点A、B的坐标，过点D作DN⊥y轴于点N，则DN=1，CN=﹣a．接下来证明△BOC∽△CND，然后依据相似三角形的性质可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；

（3）先求得点D的坐标、直线BC的解析式，点D作DE∥BC，交抛物线与点E．设直线DE的解析式为y=﹣x+b，把点D（1，4）代入直线DE的解析式求得b的值，然后将DE的解析式与抛物线的解析式组成方程可求得点E的坐标；作∠PDB=∠CBD，DP交BC于点P，交抛物线与点E．克证明MP垂直平分BD，从而可求得PM的解析式，然后由PM的解析式和BC的解析式可求得点P的坐标，接下来求得PD的解析式，最后根据DP的解析式和抛物线的解析式可求得E的坐标．

【解答】解：∵（1）将x=0代入抛物线的解析式得y=﹣3a，

∴点C的坐标是（0，﹣3a）．

∵x=﹣==1，

∴点D的横坐标为1．

∵将x=1代入抛物线的解析式得y=a﹣2a﹣3a=﹣4a，

∴点D的坐标是（1，﹣4a）．

（2）解：令y=0得：ax2﹣2ax﹣3a=0

∵a≠0，故得x1=﹣1，x2=3

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

如图1所示：过点D作DN⊥y轴于点N，则DN=1，CN=﹣4a﹣（﹣3a）=﹣a．

第39页（共62页）

∵BD为⊙M的直径，

∴∠BCD=90°．

∴∠DCN+∠BCO=90°．

∵∠CDN+∠DCN=90°，

∴∠BCO=∠CDN，

∵∠BOC=∠DNC=90°，

∴△BOC∽△CND．

∴，即，解得：a=±1（其中a=1舍去），

∴a=﹣1．

∴所求抛物线为y=﹣x2+2x+3．

（3）解：∵a=﹣1，

∴D（1，4）．

∵设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入得：﹣1，b=3，

∴直线BC为：y=﹣x+3．

如图2所示：过点D作DE∥BC，交抛物线与点E．

，解得：k=

∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠CBD．

∴设直线DE为y=﹣x+b

∵把点D（1，4）代入得：4=﹣1+b，解得：b=5，

∴直线DE为：y=﹣x+5．

解方程组得：，

第40页（共62页）

∵D（1，4）

∴E（2，3）．

如图3所示：作∠PDB=∠CBD，DP交BC于点P，交抛物线与点E．

∵∠EDB=∠CBD，

∴PD=PB．

又∵MB=MD，

∴PM⊥BD．

∵B（3，0），D（1，4），

∴直线BD为y=﹣2x+6，且M（2，2）

∴设直线PM为∴2=1+b2，

∴b2=1

∴直线PM为：

，

解方程组得：，

∴P（，）

∵D（1，4），P（，）

∴直线PD为：y=﹣7x+11

解方程组得：，

∵D（1，4），

∴E（8，﹣45）．

综上所述，在抛物线上存在满足条件的点E，点E的坐标为E（2，3）或E（8，﹣45）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、抛物线与坐标轴的交点、函数图象的交点问题，分类画出图形，并求得PE的解析式是解题的关键．

第41页（共62页）

19．（2015•柳州）如图，已知抛物线y=﹣（x2﹣7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．

（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；

（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．

【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标；

（2）连接BC，则BC与对称轴的交点为R，此时CR+AR的值最小；先求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而求出其最小值和点R的坐标；

2（3）设点P坐标为（x，﹣x2+x﹣3）．根据NP=AB=列出方程（x﹣）+（﹣x2+x﹣3）2=（）2，解方程得到点P坐标，再计算得出PM2+PN2=MN2，根据勾股定理的逆定理得出∠MPN=90°，然后利用切线的判定定理即可证明直线MP是⊙N的切线．

【解答】（1）解：∵y=﹣（x2﹣7x+6）=﹣（x2﹣7x）﹣3=﹣（x﹣）2+∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=﹣（x﹣）2+顶点M的坐标是（，

（2）解：∵y=﹣（x2﹣7x+6），

∴当y=0时，﹣（x2﹣7x+6）=0，

解得x=1或6，

∴A（1，0），B（6，0），

∵x=0时，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，

第42页（共62页）

，

，

）；

则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，

最小值为BC==3．

设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵B（6，0），C（0，﹣3），

∴，

解得，

∴直线BC的解析式为：y=x﹣3，

令x=，得y=×﹣3=﹣，

∴R点坐标为（，﹣）；

（3）证明：设点P坐标为（x，﹣x2+x﹣3）．

∵A（1，0），B（6，0），

∴N（，0），

∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，

∴NP=，

即（x﹣）2+（﹣x2+x﹣3）2=（）2，

化简整理得，x4﹣14x3+65x2﹣112x+60=0，

（x﹣1）（x﹣2）（x﹣5）（x﹣6）=0，

解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），

∴点P坐标为（2，2）．

∵M（，），N（，0），

）2=，

， ∴PM2=（2﹣）2+（2﹣PN2=（2﹣）2+22=MN2=（）2=，

=∴PM2+PN2=MN2，

∴∠MPN=90°，

∵点P在⊙N上，

第43页（共62页）

∴直线MP是⊙N的切线．

【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、轴对称﹣最短路线问题以及切线的判定等知识，综合性较强，难度适中．第（3）问求出点P的坐标是解题的关键．

20．（2015•荆州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：ED是⊙P的切线；

（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；

（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先确定B（﹣4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2，D（0，2），然后利用交点式求抛物线的解析式；

（2）先计算出CD=2OC=4，再根据平行四边形的性质得AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，则由AE=3BE得到AE=3，接着计算=，加上∠DAE=∠DCB，则可判定△AED∽△COD，得到∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°则∠CDO+∠ODE=90°，再利用圆周角定理得到CD为⊙P的直径，于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线

（3）由△AED∽△COD，根据相似比计算出DE=3，由于∠CDE=90°，DE＞DC，再根据旋转的性质得E点的对应点E′在射线DC上，而点C、D在抛物线上，于是可判断点E′不能在抛物线上；

第44页（共62页）

（4）利用配方得到y=﹣（x+1）2+，则M（﹣1，），且B（﹣4，0），D（0，2），根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定N点坐标．

【解答】解：（1）∵C（2，0），BC=6，

∴B（﹣4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=2，

∴D（0，2），

设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣2），

把D（0，2）代入得a•4•（﹣2）=2，解得a=﹣x2﹣，

x+2； ∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴∴=，=，

==，

而∠DAE=∠DCB，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

而∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD为⊙P的直径，

∴ED是⊙P的切线；

（3）E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上．理由如下：

∵△AED∽△COD，

∴=，即=，解得DE=3，

∵∠CDE=90°，DE＞DC，

∴△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′在射线DC上，

而点C、D在抛物线上，

∴点E′不能在抛物线上；

（4）存在．

∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+

第45页（共62页）

∴M（﹣1，），

而B（﹣4，0），D（0，2），

如图2，

当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2得到点B，则点M（﹣1，5，）；

）向左平移4个单位，再向下平移2个单位个单位得到点N1（﹣当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移位得到点M，则点D（0，2）；

当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移位得到点B，则点D（0，23，﹣），

）、（3，）、（﹣3，﹣）．

）向右平移3个单位，再向下平移）向右平移3个单位，再向上平移个单个单位得到点N2（3，个单个单位得到点N3（﹣综上所述，点N的坐标为（﹣5，

【点评】考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；掌握平行四边形的性质点平移的规律；会证明圆的切线．

第46页（共62页）

21．（2015•滨州模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，以点M（2，3）为圆心，5为半径的圆交x轴于A，B两点，过点M作x轴的垂线，垂足为D；过点B作⊙M的切线，与直线MD交于N点．

（1）求点B、点N的坐标以及直线BN的解析式；

（2）求过A、N、B、三点（对称轴与y轴平行）的抛物线的解析式；

（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点P，以点D，B，P三点为顶点作平行四边形，请你求出第四个顶点Q的坐标，并判断Q是否在（2）中的抛物线上．

【分析】（1）本题需先根据圆的方程求出点B的坐标，然后求出直线BN的解析式，即可求出点N的坐标．

（2）根据抛物线的对称轴和点A的坐标即可求出抛物线的解析式．

（3）根据抛物线的解析式求出点P的坐标，再根据平行线的性质求出点Q的坐标，并由此判断出Q是否在抛物线上．

【解答】解：（1）连接BM，

则BM=5，DM=3，

BD===4，

∴BO=BD﹣OD=4﹣2=2，

∴点B坐标为（﹣2，0），

∵直线BN和BM垂直，

∴△MBD∽△MNB，

∴∴∴∴，

，

，

，

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∴点N的坐标是（2，﹣），

设直线BN的解析式是y=kx+b（k≠0），

把B（﹣2，0）N（2，﹣）代入函数的解析式得：

，

解得k=﹣，b=﹣，

∴直线BN的解析式是；y=﹣x﹣；

（2）点A，B关于直线x=2对称，

所以x=2就是抛物线的对称轴那么设抛物线的方程为y=a（x﹣2）2﹣将A（6，0）代入 0=16a﹣a=，

那么y=（x﹣2）2﹣=x2﹣x﹣4；

，

，

（3）令x=0，y=﹣4，

所以点P的坐标（0，﹣4）若构成平行四边形，那么Q的纵坐标为﹣4，

设横坐标为a，

∵AD=4，

∴a=4 点Q坐标（4，﹣4）将x=4代入y=﹣﹣4=﹣4，

Q1（﹣4，﹣4）；Q2（4，﹣4）；Q3（0，4），

Q2在抛物线上是Q的横坐标，所以点Q2在抛物线上，Q1，Q3不在抛物线上．

第48页（共62页）

【点评】本题主要考查了抛物线的性质和解析式求法，要会根据已知条件求点的坐标并判断出是否在抛物线上．

22．（2015•潍坊模拟）如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣6，0）、B（0，﹣8）两点．

（1）求出直线AB的函数解析式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=△ABCS？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）首先根据抛物线的顶点在圆上且与y轴平行即可确定抛物线的顶点坐标，再根据待定系数法求函数解析式；

（3）三角形ABC的面积为15，所以假设三角形PDE的面积为1，因为DE长为2，所以P到DE的距离为1，则P的坐标是（x，1），代入抛物线解析式即可求解．

【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，

则，

第49页（共62页）