2023年12月2日发(作者：全国2卷数学试卷2020)
山东省2022年普通高校招生（春季）考试
数学试题
1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟。考生清在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。
卷一（选择题 共60分）
一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）
1．已知集合M＝{1，2}，N＝{2，3，x}，若MN，则实数x的值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知a＞b，则下列不等式成立的是（ ）．
A．a＋b＞0 B．ab＞0 C．|a|＞|b| D．3＋a＞3＋b
3．已知向量a与向量b的方向相反，|a|＝4，|b|＝3，则ab等于（ ）．
A．－6 B．6 C．－12 D．12
4．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝10，则该数列的公差是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数f (x)＝(a－5)x2＋sinx是奇函数，则实数a的值是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图所示，上下两个正四棱柱的底面边长之比是1 2，则该组合体三视图中的俯视图是（ ）．
A． B． C． D．
（第6题图）
7．已知直线过点(0，2)，且倾斜角为135°，则该直线的方程是（ ）．
A．x－y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝0
2022 第 1 页 共 9 页 8．已知p是假命题，q是真命题，则下列命题为真命题的是（ ）．
A．q B．p∧q C．(p∨q) D．p∧q
→→→9．如图所示，△ABC中，D是BC的中点，设AB＝a，AD＝b，则AC等于（ ）．
A．a－2 b B．a＋2 b
C．－a＋2 b D．－a－2 b
10．圆x2＋y2－4x＋6y－3＝0的圆心坐标是（ ）．
C．(－2，3)
A
（第9题图）
B
C
D
A．(2，3) B．(2，－3) D．(－2，－3)
11．已知tan(π－α)＝3，且α是第二象限角，则sinα等于（ ）．
A．10
10 B．－10
10
310C．
10
310D．－
1012．在(x－2)6的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ）．
A．160 x3
B．－160 x3
C．60 x4
D．－60 x4
13．如图所示的圆柱形容器，其底面半径为1m，高为3m（不计厚度）．设容器内液面高度为x（m），液体的体积为V（m3），把V表示为x的函数，则该函数的图像大致是（ ）．
x(m)
V(m3)
V(m3) V(m3)
V(m3)
O
3 x (m)
O
3
x (m) O
3
x (m)
O
3
x (m)
（第13题图）
A． B． C． D．
14．某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是（ ）．
1A．
61B．
92C．
9
1D．
315．已知函数f (x)＝x2＋bx图像的对称轴为x＝1，则不等式f (x)＜0的解集是（ ）．
A．(－2，0)
C．(0，2)
B．(－，－2)∪(0，＋)
D．(－，0)∪(2，＋)
π→16．已知点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，若β－α＝，则|AB|等于（ ）．
3A．1 B．2 C．3 D．2
2022 第 2 页 共 9 页 17．对于aZ，0≤b＜1，给出运算法则：【a＋b】＝a－2，则【－1.414】的值等于（ ）．
A．1 B．0 C．－3 D．－4
y
18．下列约束条件中，可以表示如图所示区域（阴影部分）的是（ ）．
y－2≥0A．
x－y＋2＜0
y－2≤0B．
x－y＋2＜0O
x－y+2＝0
y－2＝0
y－2≥0C．
x－y＋2＞0x
D．y－2≤0x－y＋2＞0
（第18题图）
19．有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7．现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组成一个两位数，则所有不同两位数的个数是（ ）．
A．8 B．12 C．18 D．24
x2y220．已知双曲线
2－2＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，O是坐标原点，过点F2作双ab曲线一条渐近线的垂线，垂足为P. 若|PF1|＝3|OP|，则双曲线的离心率是（ ）．
A．6 B．5 C．3 D．2
卷二（非选择题 共60分）
二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）
21．抛物线x2＝2y的焦点坐标是 ．
22．若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则正四棱锥的高等于 ．
23．在△ABC中，已知AC＝6，∠A＝30°，∠B＝45°，则BC＝____________．
24．某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是700，210，140．为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取300人进行体检，则抽取操作岗位的人数是 ．
25．已知a＞0且a≠1，若函数f (x)＝a的取值范围是 ．
2a1x5，x，在(－，＋)上具有单调性，则实数xx2，+a，2022 第 3 页 共 9 页 三、解答题（本大题5个小题，共40分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
k26．(7分)已知函数f (x)＝，且f (2)＝1．
x（1）求实数k的值；
（2）证明函数f (x)在(0，＋)上是减函数．
27．（8分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱BB1上的点，求证：
（1）AC∥平面A1PC1；
（2）AC⊥D1P．
28．（8分）如图所示，已知等边△ABC的边长为6，顺次连接△ABC各边的中点，构成△A1B1C1，再顺次连接△A1B1C1各边的中点，构成△A2B2C2，依此进行下去，直至构成△AnBnCn，这n个新构成的三角形的边长依次记做a1，a2，…，an ．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）若△AnBnCn的边长小于0.01，求n的最小值．
B
A1
A2
A
C2
…
B1
（第28题图）
C1
B2
C
A1
D
D1
B1
P
C1
C
B
A
（第27题图）
29．（8分）已知函数f (x)＝23sinxcosx－2cos2x＋m的图像过点(0，－1)．
（1）求函数f (x)的最大值；
π（2）若α (0，)，且f (α)＝1，求α的值．
2
x2y230．（9分）如图所示，已知椭圆
2＋2＝1（a＞b＞0）的右顶点是A，左右焦点分别是F1，F2，且ab|AF1|＝2＋1，|AF2|＝2－1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l：x－2y＋m＝0交椭圆于点M，N，
以线段F2M，F2N为邻边作平行四边形F2MPN，
若点P在椭圆上，求实数m的值．
（第30题图）
P
N
F1
O
F2
y
M l
A
x
2022 第 4 页 共 9 页 山东省2022年普通高校招生（春季）考试
数学试题答案
卷一（选择题 共60分）
一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）
1
A
11
C
【附解析】
1.A（提示：因为M N ，所以集合M中的元素都是集合N中的元素，则x＝1）
2.D（提示：本题可以从选项入手，采用反例法逐一验证.如当a＝3，b＝－3时，选项A、B、C都错误；而D选项，根据不等式的性质，在不等式的两边同时加上3，不等号的方向保持不变）
3.C（提示：因为向量a与向量b的方向相反，则＜a，b＞＝180，所以ab＝|a||b|cos＜a，b＞＝4×3×cos180＝－12）
4.B（提示：因为数列{an}是等差数列，a1＝2，所以a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d．因为a2＋a3＝10，所以2×2＋3d＝10，解得d＝2）
5.C（提示：因为函数f (x)是奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，则由f (x)的解析式可得， (a－5)(－x)2＋sin(－x)＝－[(a－5)x2＋sin x]，即(a－5)x2－sinx＝－(a－5)x2－sin x，2(a－5)x2＝0，a＝5．本题亦可采用赋值法求解，如f (－1)＝－f (1) ）
6.A（提示：根据俯视图的定义，该几何体的俯视图是两个正方形，其边长之比为1:2，且小正方形位于大正方形的右上角）
7.D（提示：斜率k=tan135°＝－1，又因为直线过(0,2)，所以其纵截距为2，则直线方程为y＝－x+2，即x＋y－2＝0）
8.B（提示：q是真命题， q为假命题，A错误；p是假命题， p为真命题， p∧q为真命题，B正确；(p∧q)为真，(p∧q)是假命题，C错误；p∧q为假命题，D错误）
→1→→→→→9.C（提示：由AD＝(AB＋AC)，得AC＝2AD－AB＝2b－a＝－a＋2b）
22
D
12
B
3
C
13
A
4
B
14
B
5
C
15
C
6
A
16
A
7
D
17
D
8
B
18
B
9
C
19
D
10
B
20
A
2022 第 5 页 共 9 页 10.B（提示：配方得，(x－2)2＋(y＋3)2＝16，则圆心为(2，－3)，半径为r＝4）
sinαcosα ＝－3911.C（提示：由tan(π－α)＝－tanα＝3，得tanα＝－3，由，得sin2α＝，又α是10 sin2α＋cos2α＝1310第二象限角，则sinα＝ ）
10312.B（提示：展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即T4＝Cx3(－2)3＝－160x3）
613.A（提示：因为V＝Sh＝πx，x[0，3]，所以V是关于x的正比例函数，且在区间[0，3]上单调递增，其图像是一条自左而右逐渐上升的直线）
14.B（提示：甲乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，一共有n＝3×3＝9个基本事件，随机事m1件A“恰好都选择舞蹈”的基本事件个数为m＝1，所以概率是P(A)＝＝）
n9b15.C（提示：由对称轴x＝－＝1，得b＝－2，解不等式x2－2x＜0，得0＜x＜2）
2→16.A（提示：|AB|＝(cosβ－cosα)2＋(sinβ－sinα)2 ＝2－2cosβcosα－2sinβsinα
＝2－2(cosβcosα＋sinβsinα) ＝2－2cos(β－α)＝2－2cos＝1）
317.D（提示：【－1.414】＝【－2＋0.586】＝－2－2＝－4）
18.B（提示：阴影区域在直线 y－2＝0的下方与直线x－y＋2＝0的左侧公共部分，根据系数法可知需满足x－y＋2＜0且y－2≤0）
19.D（提示：一共6个数字，十位上的数字有6种不同的选法，个位上的数字有4种不同的选法，所以由分步计数原理可得，N＝6×4＝24个两位数）
20.A（提示：如图所示，在RtOF2P中，易知OP＝a，PF2＝b，OF2＝c；令∠OF2P＝，则cos＝F2Pb＝ .又在PF1F2中，易知PF1＝3OP＝3a，PF2＝b，F1F2＝2c，则由余弦定理可得，cos＝OF2cPF22＋F1F22－PF12b2＋(2c)2－(3a)2b2＋4c2－9a2bb2＋4c2－9a2＝＝；由＝，可得b2＋4c2－9a2＝4b2，4bcc4bc2PF2×F1F2 2b×2cc即4c2－9a2＝3b2＝3(c2－a2)；化简得，c2＝6a2，c＝6a，则e＝＝6）
a
y
F1
O
P
θ
F2
x
（第20题图）
2022 第 6 页 共 9 页 卷二（非选择题 共60分）
二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）
121. (0，)
2【附解析】
121. (0，)（提示：焦点在y轴的正半轴上）
231322.
（提示：V＝×42×h＝23，解得h＝）
23223. 3（提示：在ABC中，由AC×sinA6×sin30°BCAC＝，得BC＝＝＝3）
sinAsinBsinBsin45°
322.
2 23. 3 24. 200 25. (0，1)∪[3，＋∞)
30030024.200（提示：分层抽样，700×＝700×＝200）
1050700＋210＋14025. (0，1)∪[3，＋∞)（提示：分两种情况进行讨论.若函数f (x)在(－∞，＋∞)上为增函数，如25a－1＞0，a＞1，题图（1）所示，可得a＞1，即a＞1，解得a≥3；若函数f (x)在(－∞，＋∞)a2≥2(a－1)＋5，a≤－1或a≥3，a－1＜0，a＜1，上为减函数，如25题图（2）所示，可得0＜a＜1，即0＜a＜1，解得0＜a＜1；
a2≤2(a－1)x＋5，－1≤a≤3，综上所述，实数a的取值范围是(0，1)∪[3，＋∞) ）
y
y
y＝ax，x≥2
y＝(a－1) x＋5，
x＜2
O
2
x O
2
第25题图（2）
y＝(a－1) x＋5，
x＜2
y＝ax，x≥2
x
第25题图（1）
三、解答题（本大题5个小题，共40分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
kk26.（1）解：因为函数f (x)＝，且f (2)＝1，所以＝1，解得k＝2．
x22（2）证明：由（1）得，f (x)＝．设x1，x2(0，＋∞)，且x1≠x2，
x2022 第 7 页 共 9 页 222(x1－x2)则△x＝x2－x1，△y＝y2－y1＝f (x2)－f (x1)＝－＝，
x2x1x1x2因此，△yf(x2)－f(x1)2(x1－x2)－21＝＝×＝，
x1x2△xx2－x1x2－x1x1x2△y－2＝＜0，
△xx1x2因为x1，x2(0，＋∞)，所以x1x2＞0，则所以函数f (x)在(0，＋∞)上是减函数．
27.证明：（1）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，故AC∥A1C1，
因为AC平面A1PC1，A1C1
平面A1PC1，所以AC∥平面A1PC1．
（2）如图所示，连接BD，B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1⊥AC，
因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD ，
D
A1
D1
B1
P
C1
C
B
A
（第27题图）
因为BB1∩BD＝B，BB1平面BB1D1D，BD 平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，
因为D1P平面BB1D1D，所以AC⊥D1P．
3328.解：（1）a1＝3，a2＝，a3＝．
241（2）这 n个新构成的三角形的边长成等比数列{an}，a1＝3，q＝，
21n－1则an＝a1 q＝3×()．
2n1n－11n－11因为△AnBnCn的边长小于0.01，所以3×() ＜ 0.01，即() ＜ ．
223001所以n－1＞log1 ，n＞9.23，即n的最小值为10．
300229.解：（1）因为函数图像过点(0，－1)，
所以f (0)＝ 23 sin0 cos0－2cos20＋m＝－1，解得m＝1．
则函数f (x) ＝23 sinx cosx－2cos
2x ＋1＝3 sin2x－cos2x＝2 sin(2x－)，
6所以函数f (x)的最大值是2．
1（2）因为f (α)＝2sin(2α－)＝1，即sin(2α－)＝，
6625所以2α－＝＋2kπ或者2α－＝＋2kπ（kZ），解得α＝＋kπ或者α＝＋kπ（kZ），
6666622022 第 8 页 共 9 页 因为α (0，)，所以α＝．
2630. 解：（1）因为|AF1|＝2＋1，|AF2|＝2－1，
即a＋c＝2＋1，a－c＝2－1，
解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝1，
x22所以椭圆的标准方程为＋y＝1.
2（2）由（1）可知，F1(－1,0)，F2(1,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x,y)，
→→→由题意可知，F2M＋F2N＝F2P,即(x1－1，y1)＋(x2－1,y2)＝(x－1,y)，
x1－1＋x2－1＝x－1x＝x1＋x2－1可得，化简得①，
y1＋y2＝y y＝y1＋y2x2＋y2＝1联立方程组，消去x可得6y2－4my＋m2－2＝0.
x－2y＋m＝0因为直线与椭圆有两个不同交点，
所以Δ＝(4m)2－4×6×(m2－2)＞0，解得－6＜m＜6，
4m2m由韦达定理得，y1＋y2＝＝，
63又由直线方程可知x＝2y－m，
2m2m则x1＋x2＝2y1－m＋2y2－m＝2(y1＋y2)－2m＝2×－2m＝－，
332mx＝－－13代入①，可得，
2m y＝322m(－－1)232m因为P在椭圆上，所以满足椭圆方程＋()2＝1，
2313化简得4m2+4m－3＝0，解得m＝或m＝－（满足△＞0），
2213所以m的值为或－.
222022 第 9 页 共 9 页
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