初中数学新定义题专题

2023年12月7日发(作者：石家庄质量检测考试数学试卷)

初中数学新定义题专题类型一新运算型1. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算新运算log22 ＝1 log24 ＝2 log28 …＝3 ＝1 ＝2 ＝3log33 log39 log327 …2＝212＝422＝83…3＝313＝923＝273…1根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log22＝－1.其中正确的是(A. ①②) B. ①③4C. ②③D. ①②③22B【解析】①∵2－1，故③正确．－121125＝16，∴log16＝4，故①正确；②∵5＝25，∴log25＝2≠5，故②不正确；③∵2＝，∴log2＝→→→→2. 阅读材料：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a∥b，则x1·y2＝x2·y1.根据该材料填空：→→→→已知a＝(2，3)，b＝(4，m)，且a∥b，则m＝________. →→6【解析】∵a∥b，∴2m＝3×4，解得m＝6. 3. 对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x－1)，x}＝1，则x＝______．－3，2或－1【解析】∵－2＞－3，∴min{－2，－3}＝－3；当(x－1)＝1时，解得x＝0或x＝2，当x＝022222时，min{(x－1)，x}＝min{1，0}＝0，不符合题意舍去，当x＝2时，min{(x－1)，x}＝min{1，4}＝1；当x＝1时，x＝2222－1或x＝1，当x＝1时，min{(x－1)，x}＝min{0，1}＝0，不符合题意舍去，当x＝－1时，min{(x－1)，x}＝min{4，1}＝1，综上所述，x＝2或x＝－1. 2224. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i＝－1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi(a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i＝7＋2i；(1＋i)×(2－i)＝1×2－i＋2×i－i2＝2＋(－1＋2)i＋1＝3＋i；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：i＝________，i＝________；342(2)计算：(1＋i)×(3－4i)；

(3)计算：i＋i＋i＋…＋i解：(1)－i；1；

2【解法提示】∵i＝－1，

32422∴i＝i·i＝－i，i＝i·i＝1. 2(2)原式＝3－4i＋3i－4i

＝3－i＋4 ＝7－i；

2232017. 345620162017i＝i，i＝－1，i＝－i，i＝1，i＝i，i＝－1，…，i(3)根据题意可得234∵i＋i＋i＋i＝0，2017÷4＝504……1，

232017∴i＋i＋i＋…＋i＝i. ＝1，i＝i，

类型二 新概念型

1且k≥0)5. 已知点A在函数y1＝－x(x＞0)的图象上，点B在直线y2＝kx＋1＋k(k为常数，上，若A，B两点关于原点对称，则称点A、B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为(

) A. 有1对或2对

B. 只有1对

C. 只有2对

D. 有2对或3对

A 【解析】设A坐标为(x，－1)，则B坐标为(－x,

1)，把B(－x,

1)代入y2＝kx＋1＋k，得1xxxx＝－kx＋1＋k，整理得：只有一组解；当k≠0时，b－4ac＝(k＋1)－4k＝(k－1)≥0，该方程有两个实数根．综kx－(k＋1)x＋1＝0.当k＝0时，x＝1，上所述，x有一个或两个值，即“友好点”有1对或2对．

对．

2222b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．6. 新定义：[a，若“关联数”[1，11＋＝1的解为________．

m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x－1mx＝3 【解析】根据题意可得：y＝x＋m－2，∵“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，∴m－2＝0，解得m1111＝2，则关于x的方程＋＝1变为＋＝1，解得x＝3，检验：把x＝3代入最简公分母2(x－1)＝4≠0，故x＝3是x－1mx－12原分式方程的解．

原分式方程的解．

7. 在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．

是一对“互换点”．

(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

(2)M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为(m，n)，求直线MN的表达式(用含m、n的代数式表示)；

(3)在抛物线y＝x＋bx＋c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y＝211－的图象上，直线AB经过点P(，)，求此抛物线的表达式．

x22，求此抛物线的表达式．

2解：(1)不一定，理由如下：

不一定，理由如下：

设这一对“互换点”的坐标为P(m，n)、Q(n，m)．

①当mn＝0时，它们不在反比例函数的图象上；

时，它们不在反比例函数的图象上；

k②当mn≠0时，点P(m，n)在反比例函数y＝x(k≠0)的图象上，则mn＝k，

∵nm＝k，

k∴点Q在反比例函数y＝x(k≠0)的图象上；

的图象上；

综上所述，任意一对“互换点”不一定都在一个反比例函数的图象上；

综上所述，任意一对“互换点”不一定都在一个反比例函数的图象上；

(2)点M(m，n)的互换点N的坐标为(n，m)；

设直线MN的解析式为y＝k′x＋a，

ììïmk′＋a＝nïk′＝－1í将点M，N代入得，解得í，

ïïînk′＋a＝mîa＝m＋n∴直线MN的解析式为y＝－x＋m＋n；

(3)∵点A在反比例函数y＝－2的图象上，则设点A的坐标为(t，－2xt)，

∵点A和点B是互换点，

是互换点，

2∴点B的坐标为(－t，t)，

2由(2)知直线AB的解析式为y＝－x＋t－t，

11∵点P(，)在直线AB上，

上，

22121∴－＋t－t＝，

22t＝－1，t＝2，

解得A则点的坐标为(－1，2)或(2，－1)，

则对应的互换点B的坐标为(2，－1)或(－1，2)，

2∵点A，B在抛物线y＝x＋bx＋c上，将点(－1，2)，(2，－1)代入得，

代入得，

ìï1－b＋c＝2íìïb＝－2，解得í，

ïc＝－1î212ï4＋2b＋c＝－1î∴抛物线解析式为y＝x－2x－1. 拓展类型 新方法型

8. 阅读下面的材料：

阅读下面的材料：

如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2. (1)若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数：

是增函数：

(2)若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是减函数．

是减函数．

2例题：证明函数f(x)＝x(x＞0)是减函数．

是减函数．

证明：假设x1＜x2，x1＞0，x2＞0，

2x2－2x12（x2－x1）22f(x1)－f(x2)＝x1－x2＝x1x2＝，

x1x2∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0， ∴x2－x1＞0，x1x2＞0，

2（x2－x1）f(x1)－f(x2)＞0，

0∴＞，即12xx∴f(x1)＞f(x2)，

2fx∴函数()＝x(x＞0)是减函数．

是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

根据以上材料，解答下面的问题：

1212121fxxff(1)函数()＝x(＞0), (1)＝1＝1, (2)＝2＝4. 1计算，

f(3)＝________，f(4)＝________，猜想f(x)＝x2(x＞0)是________函数(填“增”或“减”)；

(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想．

请仿照材料中的例题证明你的猜想．

11解：(1)，，减；

，减；

9161111【解法提示】∵f(x)＝x2(x＞0)，f(1)＝2＝1，f(2)＝2＝，

241∴f(x)＝12(x＞0)，

f(3)＝12＝1，f(4)＝12＝1x39416，

11∵＞，

9161∴猜想f(x)＝x2(x＞0)是减函数；

x1＞0，x2＞0，

(2)证明：假设x1＜x2，且22x2＋x1)x1(x2－x1)112x2－222(2f(x1)－f(x2)＝2，

x1－x2＝x1x2＝x1x2∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，

22∴x2－x1＞0，x2＋x1＞0，x1·x2＞0，

22x∴(x－xx)(x1x2＋)＞0，

即f(x1)－f(x2)＞0，

∴f(x1)＞f(x2)，

21211∴f(x)＝x2(x＞0)是减函数．

是减函数．

9. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x－5x＋2＝0，操作步骤是：

，操作步骤是：

第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；

2第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．

即为该方程的另一个实数根．

(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；

的一个实数根；

(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x－5x＋2＝0的一个实数根；

(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0，b－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)，Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？

就是符合要求的一对固定点？

222

第9题图

解：(1)如解图①，

如解图①，

第9题解图①

1先作出AB的中点O1，以O1为圆心，AB为半径画圆．x轴上另外一个交点即为D点；

点；

2(2) 证明：如解图②，过点B作x轴的垂线交x轴于点E，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACO＋∠BCE＝90°，

∵∠OAC＋∠ACO＝90°，

∴∠OAC＝∠BCE，

第9题解图② ∵∠AOC＝∠CEB＝90°，

∴△AOC∽△CEB，

∴AOOCm1＝，即＝，

CEEB5－m222＋2＝0，

m∴m－5mx∴是－5x＋2＝0的一个实数根；

的一个实数根；

bc(3)

(0，1)、(－，)(答案不唯一)；

aa(4)如解图③中，P在AD上，Q在BD上，过P，Q分别作x轴的垂线交x轴于M，N，

第9题解图③

易得△PMD∽△DNQ，

x－m1PMMDn1∴＝，即2＝2，

DNNQnm－x2∴x－(m1＋m2)x＋m1m2＋n1n2＝0与ax＋bx＋c＝0同解，

同解，

bc∴－＝m1＋m2，＝m1m2＋n1n2. aa210. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：

出如下定义：

若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|；

若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|. 例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点)．

1轴上的一个动点，

(1)已知点A(－2，0)，点B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，求满足条件的点B的坐标；

的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；

的“非常距离”的最小值；

(2)已知C是直线y＝3x上的一个动点，

4＋3上的一个动点，

①如图②，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

的坐标；

②如图③，点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．

的坐标．

第10题图

解：(1)①∵B为y轴上的一个动点，

轴上的一个动点，

∴设点B的坐标为(0，y)；

11∵|－－0|＝≠2，

22∴|0－y|＝2，解得y＝2或y＝－2. ∴点B的坐标是(0，2)或(0，－2)；

1②点A与点B的“非常距离”的最小值为；

2

(2)①取点C与点D的“非常距离”的最小值，根据运算定义“若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的‘非常距离’为|x1－x2|”，此时|x1－x2|＝|y1－y2|. 3∵C是直线y＝x＋3上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，

43∴设点C的坐标为(x，4x＋3)，

3由题意知，此时点C位于第二象限，|xC－xD|＝－x，|yC－yD|＝x＋2，

438∴－x＝x＋2，此时，x＝－，

47y＝3x＋3＝1547，

8∴点C与点D的“非常距离”的最小值为，

7815此时，点C的坐标为(－，)；

773②当点E在过原点且与直线y＝x＋3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设点E(x，y)(点E位于第二4象限)，

y4ìïx＝－3则3x＝－5，解得：，

í22îx＋y＝1ïì343故E(－，)，设点C的坐标为(x，x＋3)，

5543348∴－－x＝x＋3－，解得x＝－，

54558393当x＝－时，y＝x＋3＝，－－x＝1，

545589∴点C的坐标为(－，)时，与点E的“非常距离”最小，最小值为1. 55

y＝4íî5