2021年湖南省永州市中考数学真题试卷 (word版,含解析)

2023年12月2日发(作者：广东高中学考数学试卷讲解)

2021年湖南省永州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填涂到答题卡上）

1．﹣|﹣2021|的相反数为（ ）

A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．

2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）

A． B．

C． D．

3．据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（ ）

A．24×103 B．2.4×104 C．2.4×105 D．0.24×105

4．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（ ）

A．27 B．12 C．7 D．5

5．下列计算正确的是（ ）

A．（π﹣3）0＝1

6．在一元一次不等式组A．4 B．5

B．tan30°＝ C．＝±2 D．a2•a3＝a6

的解集中，整数解的个数是（ ）

C．6 D．7

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（ ）

A．C．

B．D．

9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（ ）

A． B． C． D．

10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（ ）

A．5 B．2 C．1 D．0

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）

11．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是 个．

12．已知二次根式有意义，则x的取值范围是 ．

13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式： ．

14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是 ．

15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．

16．如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是 ．

17．已知函数y＝，若y＝2，则x＝ ．

18．若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则： （1）43xy•47xy＝（ ）x+y；

（2）+＝ ．

三、解答题（共8小题，满分78分）

19．（8分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．

20．（8分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．

（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；

（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．

21．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．

200名学生党史知识竞赛成绩的频数表

组别

A组（60.5～70.5）

B组（70.5～80.5）

C组（80.5～90.5）

D组（90.5～100.5）

请结合图表解决下列问题：

（1）频数表中，a＝ ，b＝ ；

（2）请将频数分布直方图补充完整；

（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 组；

（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．

频数

a

30

50

60

频率

0.3

0.15

b

0.3 22．（10分）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．

（1）求证：△AEC≌△BFD．

（2）判断四边形DECF的形状，并证明．

23．（10分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物．预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？

24．（10分）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．

（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．

25．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求证：AC2＝2AD•AO；

（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．

26．（12分）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；

（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；

（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值． 2021年湖南省永州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填涂到答题卡上）

1．﹣|﹣2021|的相反数为（ ）

A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．

【分析】根据绝对值的定义、相反数的定义解题即可．

【解答】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021，

∴﹣2021的相反数为2021．

故选：B．

2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案．

【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C．

故选：C． 3．据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（ ）

A．24×103 B．2.4×104 C．2.4×105 D．0.24×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：24000＝2.4×104．

故选：B．

4．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（ ）

A．27 B．12 C．7 D．5

【分析】根据众数的意义求解即可．

【解答】解：这组数据中出现次数最多的是12，共出现3次，因此众数是12，

故选：B．

5．下列计算正确的是（ ）

A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝ C．＝±2 D．a2•a3＝a6

【分析】根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可．

【解答】解：A．因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；

B．tan30°＝C.，因此选项B不符合题意；

＝2，因此选项C 不符合题意；

D．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项D 不符合题意；

故选：A．

6．在一元一次不等式组A．4 B．5

的解集中，整数解的个数是（ ）

C．6 D．7

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，即可得出答案．

【解答】解：

∵解不等式①得：x＞﹣0.5， 解不等式②得：x≤5，

∴不等式组的解集为﹣0.5＜x≤5，

∴不等式组的整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，

故选：C．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝50°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC，然后计算∠BAC﹣∠DAB即可．

【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴∠DAB＝∠B＝50°，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B＝50°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，

∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°．

故选：A．

8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

，

故选：A．

9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（ ）

A． B． C． D．

【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记为：A、B、C、D，

画树状图如图：

共有12种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种，

∴小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为故选：D．

10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（ ）

A．5 B．2 C．1 D．0

＝，

【分析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．

【解答】解：（lg2）2+lg2•lg5+lg5

＝lg2（lg2+lg5）+lg5 ＝lg2+lg5

＝1g10

＝1．

故选：C．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）

11．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是 1 个．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．

【解答】解：0，，是整数，属于有理数；

是分数，属于有理数；

﹣0.101001是有限小数，属于有理数；

无理数有π，共1个．

故答案为：1．

12．已知二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣3 ．

【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．

【解答】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，

解得x≥﹣3．

故答案为：x≥﹣3．

13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式： y＝﹣ ．

【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．

【解答】解：∵图象在第二、四象限，

∴y＝﹣，

故答案为：y＝﹣．

14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是 甲 ． 【分析】根据折线统计图中甲、乙成绩的起伏情况判断即可得解．

【解答】解：根据折线统计图可得，

甲的投篮技能测试成绩起伏小，比较平稳，乙的投篮技能测试成绩起伏大，不稳定，

因此A班应该选择的同学是甲．

故答案为：甲．

15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 10 ．

【分析】设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到×2π×6×l＝60π，然后解方程即可．

【解答】解：设此圆锥的母线长为l，

根据题意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，

所以此圆锥的母线长为10．

故答案为10．

16．如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是 （2，0） ． 【分析】连接AB交x轴于点P\'，求出直线AB的解析式与x轴交点坐标即可．

【解答】解：如图，连接AB交x轴于点P\'，

根据两点之间，线段最短可知：P\'即为所求，

设直线AB的关系式为：y＝kx+b，

，

解得，

∴y＝，

当y＝0时，x＝2，

∴P\'（2，0），

故答案为：（2，0）．

17．已知函数y＝，若y＝2，则x＝ 2 ．

【分析】根据题意，进行分类解答，即可求值．

【解答】解：∵y＝2．

∴当x2＝2时，x＝∵0≤x＜1．

． ∴x＝（舍去）．

当2x﹣2＝2时，x＝2．

故答案为：2．

18．若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：

（1）43xy•47xy＝（ 2021 ）x+y；

（2）+＝ 1 ．

【分析】（1）将43xy•47xy化成（43x）y•（47y）x代入数值即可计算；

（2）由（1）知43xy•47xy＝2021即可求．

【解答】解：（1）43xy•47xy＝（43x）y•（47y）x＝2021y×2021x＝2021x+y，

故答案为：2021；

（2）由（1）知，43xy•47xy＝2021（x+y）（x+y），43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，得出xy＝x+y，

∵43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，

∴xy＝x+y，

∴+＝＝1，

故答案为：1．

三、解答题（共8小题，满分78分）

19．（8分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．

【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．

【解答】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）

＝x2+2x+1+4﹣x2

＝2x+5，

当x＝1时，原式＝2+5＝7．

20．（8分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．

（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；

（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值． 【分析】（1）利用根与系数的关系得到2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，然后分别解方程求出p与q的值；

（2）利用根与系数的关系得到m+n＝﹣，mn＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，

所以p＝1，q＝﹣8；

（2）根据m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，

所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．

21．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．

200名学生党史知识竞赛成绩的频数表

组别

A组（60.5～70.5）

B组（70.5～80.5）

C组（80.5～90.5）

D组（90.5～100.5）

请结合图表解决下列问题：

（1）频数表中，a＝ 60 ，b＝ 0.25 ；

（2）请将频数分布直方图补充完整；

（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 C 组；

（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．

频数

a

30

50

60

频率

0.3

0.15

b

0.3 【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出a、b、c的值；

（2）根据（1）中a、b的值，可以将频数分布直方图补充完整；

（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次党史知识竞赛成绩超过80分的学生人数．

【解答】解：（1）∵30÷0.15＝200，

∴a＝200×0.3＝60，

b＝50÷200＝0.25，

故答案为：60，0.25；

（2）由（1）知，a＝60，

如图，即为补全的频数分布直方图；

（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组；

故答案为：C；

（4）1000×（0.25+0.3）＝1000×0.55＝550（人），

即本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数有550人．

22．（10分）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF． （1）求证：△AEC≌△BFD．

（2）判断四边形DECF的形状，并证明．

【分析】（1）根据已知条件得到AC＝BD，根据平行线的判定定理得到∠A＝∠B，由全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，．由平行线的判定定理得到CE∥DF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵AD＝BC，

∴AD+DC＝BC+DC，

∴AC＝BD，

∵AE∥BF，

∴∠A＝∠B，

在△AEC和△BFD中，

，

∴△AEC≌△BFD（SAS）．

（2）四边形DECF是平行四边形，

证明：∵△AEC≌△BFD，

∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，

∴CE∥DF，

∴四边形DECF是平行四边形．

23．（10分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物．预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？

【分析】设2022年A种经济作物应种植x亩，则B种经济作物应种植（30﹣x）亩，根据“预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元”列出方程并解答．

【解答】解：设2022年A种经济作物应种植x亩，则B种经济作物应种植（30﹣x）亩， 根据题意，得+2＝．

解得x＝20或x＝﹣15（舍去）．

经检验x＝20是原方程的解，且符合题意．

所以30﹣x＝10．

答：2022年A种经济作物应种植20亩，则B种经济作物应种植10亩．

24．（10分）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．

（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝【分析】（1）由边角关系式可求解；

（2）由边角关系式可求∠B＝60°，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求CD的长．

【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，

∴∠A＝60°，

∵∴∴b＝2（2）∵∴＝；

＝，

，

＝＝＝，

，

，求景观桥CD的长度．

∴sinB＝，

∴∠B＝60°， ∴tanB＝∴BD＝＝CD，

，

∵AC2＝CD2+AD2，

∴196＝CD2+（10﹣∴CD＝8，CD＝﹣3米．

CD）2，

（舍去），

∴CD的长度为825．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求证：AC2＝2AD•AO；

（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．

【分析】（1）连接OC，由角平分线的定义、等腰三角形性质、三角形外角性质和切线的定义证明；

（2）由△CDA∽△BCA，得证AC2＝2AD•AO；

（3）由外角性质、直径所对的圆周角是直角和角平分线定义证明．

【解答】证明：（1）连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠BOC＝2∠OAC，

∵AC平分∠BAE，

∴∠BAE＝2∠OAC， ∴∠BAE＝∠BOC，

∴CO∥AD，

∵∠D＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）∵AC平分∠BAE，

∴∠BAC＝∠CAD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA＝90°，

∵∠D＝90°，

∴∠D＝∠BCA，

∴△BAC∽△CAD，

∴，

∴AC2＝AB•AD，

∵AB＝2AO，

∴AC2＝2AD•AO．

（3）∵∠CAB、∠CBM的角平分线交于点Q，

∴∠QAM＝∠CAB，∠QBM＝∠CBM，

∵∠Q是△QAB的一个外角，∠CBM是△ABC的一个外角，

∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝（∠CBM﹣∠CAM），∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，

∴∠Q＝∠ACB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠Q＝45°，

同理可证：∠P＝45°，

∴∠P＝∠Q． 26．（12分）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；

（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；

（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．

【分析】（1）由待定系数法，及对称轴为直线x＝﹣，可求出二次函数的表达式；

（2）需要分三种情况：①b＜﹣；②b﹣3＞﹣；③b﹣3≤﹣≤b分别进行讨论；

（3）根据二次函数图象的增减性可得结论．

【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4），

∴c＝4；

∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2，

∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4．

（2）当b2﹣c＝0时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x2+bx+b2，

根据题意可知，需要分三种情况：

①当b＜﹣，即b＜0时，二次函数的最小值在x＝b处取到；

∴b2+b2+b2＝21，解得b＝，b＝﹣舍去；

②b﹣3＞﹣，即b＞2时，二次函数的最小值在x＝b﹣3处取到；

∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b＝4，b＝﹣1（舍去）；

③b﹣3≤﹣≤b，即0≤b≤2时，二次函数的最小值在x＝﹣处取到；

∴（﹣）2+b•（﹣）+b2＝21，解得b＝±2（舍去）． 综上，b的取值为或4．

（3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，

对称轴为直线：x＝1，

∵1＞0，

∴当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，且最大值为4；

∵二次函数y2＝2x2+x+m的对称轴为直线：x＝﹣，且2＞0，

∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，且最小值为m，

∵当0≤x≤1时，总有y2≥y1，

∴m≥4，即m的最小值为4．