中国古代数学的发展及其影响

2023年12月9日发(作者：1996年数学试卷二)

中国古代数学的发展及其影响

我国古代数学经数千年的发展，到宋元时达到了高峰期。

而元代更是这种高峰期的顶峰状态。

例如中国自然科学史研究室数学史组是其《宋元数学综述》一文里说道：“13世纪下半纪（主要指元代）特别应该我们特别注意。

如果说宋元数学是以筹算为中心内容的中国古代数学发展的高潮，那么13世纪下半纪正就是这个高潮的顶峰。

”我国已故知名数学史专家钱宝琮先生也说道：“中国数学以元初为极盛，学人蔚起，着并作如林，于数学史上摆特定光彩。”可知元代数学在我国数学史上所占到的关键地位。

元代数学之所以达到我国古代数学的高峰期，其主要标志是涌现出了一批著名数学家及其着作，提出并解决了一些数学方面的高难问题，取得了杰出成就。

元代知名数学家存有李冶、朱世杰、蒙哥等人。

李冶着有《测圆海镜》12卷、《益古演段》3卷；朱世杰着有《算学启蒙》3卷、《四元玉鉴》3卷；蒙哥对古希腊伟大数学家欧几里得的《几何原本》有研究。

李冶明确提出荘方程的方法（即为天元之术），朱世杰明确提出了多元高次联立方程的数学分析（即为四元之术）及垛积术与招差法。

这些都是具有世界性影响的成就。

这些成就的获得就是存有其深刻的社会原因和数学本身发展原因的。

从社会政治经济对数学发展的影响来看，元代虽然一度战火连天，但长江下游一带受战争的影响较小，社会经济得到了不断发展，商业贸易也比较繁荣。

商业的经济繁荣就日益向数学明确提出建议，怎样才能更快更精确地展开排序并快速掌控各种计算方法？元代在南宋“秦九韶捷法”和各种“歌诀”的基础上，又发生了不少内容更多样的新颖算术书，化解了社会课堂教学向数学明确提出去的建议，从而也推动了数学的发展。

如朱世杰的《算学启蒙》就是一本启蒙性的通俗教科书，其中有不少便捷的歌诀如九九乘法歌与归除歌诀等。

这样与社会课堂教学的融合，同时又惹来了更多的人渴求拒绝接受数学教育。

祖颐为朱世杰《四元玉鉴》所作序言中就说：“（朱世杰）周流四方……踵门而学者云集”。 莫若的序文也说道：“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣，四方之来学者日众。

”群众基础的深厚，当然对数学的发展有极大好处。

不仅在南方如此，在北方数学也存有浓厚的群众基础。

当时在太行山南麓东西两侧的山西、河北部分地区就形成了另一个数学发展中心。

例如祖颐为朱世杰《四元玉鉴》所作序中描述从“天元之术”至“四元之术”的发展过程中所提及的平阳、博陆、鹿泉、平水、绛、霍山等地就属于此地区。

元代著名的天文学家郭守敬、王恂等人未仕元前就都隐于今河北武安紫金山中。

这一带在金元时期受到战争毁坏不是很轻微，经济情况较好，就是当时北方的一个文化中心。

加之此时这个地区造纸业和印刷业也极为发达，其“平水版”印本书可和南宋的印本书相媲美。

这些无疑对数学的发展提供更多了有利条件。

如果说当时南方长江下游一带在改革筹算方面，把筹算系统的计算方法改进到十分完美的地步，那么北方河北与山西南部地区则从设立未知数、立方程和消去法方面（即天元术和四元术），也把筹算发展到登峰造极的程度。

从数学本身发展的内在规律来看，元代数学承继了前代成果并化解了前代所未解决而又亟须化解的问题。

如关于“天元术”和“四元术”的发展问题。

在我国古代知名的数学着并作《九章算术》（约公元1世纪）的上开方法中，“借一算”尚无未知数x的涵义，唐代王孝通在立方程过程中也使用了多项式的排序。

到了宋代数学家们把“增乘开方法”由开平方、开立方推广到开任意高次方之后，“天元术”的形成就剩最后一跃了。

金末元初的李冶顺利完成了这最后一跃。

当“天元术”的问题解决后，人们自然而然地又会提出解决高次联立方程的问题。

朱世杰“四元之术”的明确提出很好地解决了这一问题。

“四元术”用上下左右的不同位置来表示高次的四元式，最多不能超过四元，所以可以说筹算在这方面被发展到顶点了。 另外，数学的发展还与其它学科存有紧密的关系。

如“大衍求一术”（一次同余式解法）和高次的招差法公式与天文历法的推算就密切相关。

天文历法的测算需以高次招差法这一数学学科的方法，只有当人们从数学方面化解了一系列的高阶等差级数议和问题（各种垛积问题）之后就可以最后顺利完成这一方法，天文历法测算的须要向数学学科明确提出了问题，数学学科问题的化解又推动了天文历法的发展。

所以说，元代的天文历法与数学均达到了我国古代的高峰期，是与二者相辅相成，互相促进分不开的。

总之，元代数学的发展之所以达至我国古代数学发展的高峰期甚至巅峰状态，就是由当时特定的社会政治经济环境及数学学科本身的发展规律所同意的。

魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。

赵爽就是中国古代对数学定理和公式展开证明与推论的最早的数学家之一。他在《周髀算是经》书中补足的“搓股圆方图及备注”和“日低图及备注”就是十分关键的数学文献。在“搓股圆方图及备注”中他明确提出用弦图证明勾股定理庭外和解勾股形的.五个公式；在“日低图及备注”中，他用图形面积证明汉代广泛应用领域的唐涛公式，赵爽的工作就是具有开创性的，在中国古代数学发展中占据关键地位。

刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为 /50和 /。

刘徽用无穷划分的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，化解了通常立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积明确提出了恰当途径。东晋以后，中国长期处在战争和南北对立的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化北移以后，南方数学发展的具备代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统数学大大向前大力推进了一步。他们的数学工作主要存有：排序出来圆周率在3.～3.之间；明确提出祖(日恒)原理；明确提出二次与三次方程的数学分析等。

据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正边形和正边形的面积，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率/。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上推动了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》，主要探讨土木工程中排序土方、工程分工、环评以及仓库和地窖的排序问题，充分反映了这个时期数学的情况。王孝通在不必数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅化解了当时社会的须要，也为后来天元之术的创建打下基础。此外，对传统的勾股形数学分析，王孝通也就是用数字三次方程化解的。

唐初封建统治者继承隋制，年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。

筹算就是中国古代的主要排序工具，它具备直观、形象、具体内容等优点，但也存有布筹挤占面积小，艾氏林速度大力推进时难把玩不正而导致错误等缺点，因此很早就已经开始进行改革。其中太乙算是、两仪算是、三才算和珠算都就是用珠的槽筹算，在技术上就是关键的改革。尤其就是“珠算”，它承继了算筹五升十进与位值制的优点，又消除了算筹四海记数与置筹不便的缺点，优越性十分显著。但由于当时秦九韶算法仍然无法在一个横列中展开。算珠还没穿档，随身携带不方便，因此仍没广泛应用领域。

唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。