2024年3月17日发(作者：重庆中考数学试卷b2018)

2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A卷)

一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分)

1.已知

f

x

1

1

2

x

2

3,则f(x)

____________.

x

x

f

x

0

h

f

x

0

h

h

2.设

f

(x

0

)

存在,则

lim

3.设

f(x)

的原函数为

____________.

h0

lnx

x

,则

f

x

dx

____________.

4.向量

a

4,3,4

在向量

b

2,2,1

上的投影是____________.

5.

f(x)

1

x

按(x1)

的幂展开到n阶的泰勒公式是_________ .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)

1.设

f

x

可导且

f

x

0

1

2

，当

x0

时，

f

x

在

x

0

处的微分

dy

与

x

比较是（ ）无穷小.

(A) 等价 (B) 同阶 (C) 低阶 (D) 高阶

2．已知

yx

3

3ax

2

3bxc

,在

x1

处取得极大值,点(0,3)是拐点,

则（ ）.

(A)

(C)

a0,b1,c3

a3,b1,c0

(B)

(D)

a1,b0,c3

以上均错

3．设

f(x)

在[-5，5]上连续，则下列积分正确的是（ ）.

(A)

(C)

5

f(x)

f(x)

0

5

5

f(x)

dx0

f(x)

dx0

y2

2

(B)

(B)

(D)

f(x)

5

5

5

f(x)

dx0

f(x)

dx0

f(x)

0

4. 设直线

L

为

(A)

x1

4



z

1

,平面

:4x2yz20

则( ).

L垂直于

;(D)L与

斜交.

L平行于

；L在

上；(C)

5. 若

3a

2

5b0

,则方程

x

5

2ax

3

3bx4c0

( )

(A) 无实根; (B) 有五个不同的实根.

(C) 有三个不同的实根; (D) 有惟一实根;

三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分)

1.

ysec2ln

x

e

e

2x

2x

1

,求

dy

dx

.

2．设

yy(x)

是由方程

2yx(xy)ln(xy)

确定的隐函数，求dy.

3．求

lim

x

0

ln(12t)dt

x

3

2

x0

.

2

xln1t

2

dy

4. 求由参数方程

所确定的函数的二阶导数

2

.

dx

yarctant



四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分)

1.

lnx1

x

x

2

2

dx

.

2.

3.

e

1

4

x

dx

.

dx.

1

x1

lnx

2

五、(7分)设

1ab,f(x)

1

x

lnx,

求证：

0f(b)f(a)

1

4

(ba)

.

xt1

六、(7分)已知直线L在平面

:xyz10

上,并且与直线

L

1

:

yt1

zt

垂直相交,求L的方程.

七、(7分)过坐标原点作曲线

ylnx

的切线,该切线与曲线

ylnx

及x轴围成

平面图形D.

(1) 求D的面积A.

(2) 求D绕直线x=e旋转一周所成的旋转体的体积V.

2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A卷)答案

一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分)

1．

f(x)x

2

1

； 2.

2f

(x

0

)

; 3.

1

1lnx

x

n

2

C

; 4. 2;

n1

5.

1(1x)(1x)

(1x)

2

(1)

n2

(1x)

n1

,

介于x与1之间

x

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)

1. B 2. A 3. B 4. C 5. D

三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分)

1. 解：

y

sec2

x

2x

ln

e

2

e

2x

1

2ln2sec2

x

tan

1

2e

2x

x

2

x

2

2

6

e

2x

1

2

x

ln2sec2

x

tan2

x

1

e

2x

7

1

2. 解：

2dydx(dxdy)

ln(xy)1

dy

2ln

xy

3ln

xy

dx

7

2

2

3. 解：

l

x

0

ln1(2t)dt

x

i

m

0

x

l

ln1(2x)

3

x

i

m

x

4

0

3

2



2x

2

4x

l

12

2

2

x

i

m

0

3x

2

l

x

i

x

m

0

7

6x

3

1

4. 解：

dy

1t

2

dx

2t

1

2t

4

1t

2

d

2

y1t

2

dx

2



1

2t

2

2t



1

4t

3

7

1t

2

分

分

分

5分

分

分

分

分

分

四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分)

1. 解：

lnx1

x



2

1

dx

(lnx1)d



2

x

分

lnx1

x

1

x

2

dx

4分

lnx

x

tdt



2

lnx1

x

dx

1

x

CC

7分

2. 解：

x4

x

x2sect

t(0,

2

)

2tan

2

3分

2

(sec

2

t1)dt2tant2tC

6分

x

e

1

2

42arccos

2

x

C

7分

e

3. 解：

1

x1

lnx

2

dxlim

0

1

1

lnx

2

1

dlnx

4分

lim

arcsin

lnx

1

0

e

2

7分

1

4

五、(7分)设

1ab,f(x)

证明：由拉格朗日中值定理

f(b)f(a)

1

x

lnx,

求证：

0f(b)f(a)(ba)

.

1

2

ba

0

3分

记

g(x)

x1

x

2

(x1)

4分

0, 1x2

2x

g

(x)

0, x2

5分

3

x

0, x2

因此

x2

是

g(x)

在

(1,)

内的最大值点，且

g(x)g(2)

1

4

1

4

，于是

0f(b)f(a)(ba)

7分

xt1

六、(7分)已知直线L在平面

:xyz10

上,并且与直线

L

1

:

yt1

zt

垂直相交,求L的方程.

解：直线L的方向向量为

s1

1

i

j

1

1

k



12i2k

3分

1

将

L

1

代入平面方程得：

t1

，

L

1

与

的交点坐标为（0，2，-1） 5分

直线L的方程为：

x

1

y2

0

z1

1

或

xz10

y2

7分

七、(7分)过坐标原点作曲线

ylnx

的切线,该切线与曲线

ylnx

及x轴围成

平面图形D.

(1) 求D的面积A.

(2) 求D绕直线x=e旋转一周所成的旋转体的体积V.

解：设切点坐标为：

x

0

,lnx

0

切线方程为：

ylnx

0

1

x

0

(xx

0

)

1分

由于切线过原点，得切点坐标为：

e,1

2分

切线方程为：

y

e

2

1

3

x

e

3分

e

2

e

2

（1）

D

e

1

lnxdx

xlnxx

1

5

6

e

1

5分

（2）

V

e

2

ee

1

y

0

2

dy

e2

e

2

2

7分


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