全国大学生数学建模竞赛题目A题

2024年1月5日发(作者：中考数学试卷推荐高考真题)

年全国大学生数学建模竞赛题目A题

———————————————————————————————— 作者：

———————————————————————————————— 日期：

2

1997年全国大学生数学建模竞赛题目

A题 零件的参数设计

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。

粒子分离器某参数（记作y）由七个零件的参数（记作(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)）决定，经验公式为：

y174.42xx1(3)0.85x5x2x1x40.563x12.62[10.36()]2(4)1.16x2x2

x6x7（记作y0）为1.50。当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1000（元）；y的目标值当y偏离y00.3时，产品为废品，质量损失为9000（元）；

零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为1%，B等为5%，C等为10%.七个零件的参数标定值的容许范围，及不同容差等级的成本（元）如下表（符号/表示五此等级零件）：

标定值容许范围

[0.075,0.125]

[0.225,0.375]

[0.075,0.125]

[0.075,0.125]

[1.125,1.875]

C等

/

20

20

50

50

B等

25

50

50

100

/

A等

/

/

200

500

/

x1

x2

x3

x4

x5

3

x6

x7

[12,20]

[0.5625,0.935]

10

/

25

25

100

100

x20.3，现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，七个零件参数标定值为x10.1，x30.1，x40.1，x51.5，x616，x70.75；容差均取最便宜的等级。

请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少?

4

B题 截断切割

某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这 里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。 设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。 试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的） 详细要求如下： 1）需考虑的不同切割方式的总数。2）给出上述问题的数学模型和求解方法。3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。4）对于e = 0的情形有无简明的优化准则。5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、 19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组： a. r =1, e = 0; b. r =1.5, e =0; c. r

=8, e =0; d. r =1.5; 2 <= e <= 15. 对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。

5

模型建立

一．符号说明

x0(x10,x20,,x70)：产品零件参数的标定值；xi0：第i个零件的标定值；

ai,bi：第i个零件的标定值xi0取值的上、下界；

x(x1,x2,,x7)：产品零件参数的实际值；

y0(1.5)：产品性能参数的目标值；

f(x1,x2,,x7)：产品性能参数的经验公式；即

yf(x1,x2,,x7)174.42xx1(3)0.85x5x2x1x40.563x12.62[10.36()]2(4)1.16x2x2

x6x7yf(x10,x20,,x70)：产品性能参数的平均值；

yf(x1,x2,,x7)：产品性能参数的实际值；

ri(0.01,0.05或0.10)：第i个零件的相对容差（绝对值）；

xi：第i个零件的容差，xixi0ri；

cij： 第i个零件参数取第j个容差等级时所需成本，i1,2,,7；j1,2,3

~~ 第1，2，3个容差分别表示C，B，A等级；

dij：01变量，i1,2,,7；j1,2,3, 如果第i个零件参数取第j个容差等级时dij取值1，否则为零；

i：第i个零件参数（的实际值）xi的均方差；

y：产品质量性能参数yf(x1,x2,,x7)（的实际值）的均方差；

C(y)：产品yf(x1,x2,,x7)的生产成本；

L(y)：产品yf(x1,x2,,x7)的损失费用；

M(y)：产品yf(x1,x2,,x7)的生产成本与损失费用之总和。

6

二．关于零件参数的假设

在第i个零件取定其标定值为xi0后，由于在加工过程中存在许随机因素，刀具磨损，测量的误差等，因此，由中心极限定理知零件参数的实际值xi可看成是服从正态分布的随机变量，即

xi~N(xi0,i)

并且设七个零件的加工过程是相互独立的。

概率统计学告诉我们，如果某个随机变量服从正态分布

x~N(x0,2)

2则由“3”原则，有

P(|Xx0|3)0.9971

0.140.120.10.080.060.040.02

0-15-10-5051015

所以，当要求第i个零件取定其标定值为xi0，第i个零件的容差为xixi0ri，则意味着

xixi0ri3i

~~于是

7

ixixi0ri

33~即当第i个零件的标定值xi0，容差等级（C，B，A，既第i个零件的相对容差）ri(0.01,0.05或0.10)）确定后，第i个零件参数的实际值xi所服从的正态分布就完全确定了。

三．关于产品参数y的分布

当七个零件的标定值x0(x10,x20,,x70)，容差等级（C，B，A，即每个零件的相对容差）ri(0.01,0.05或0.10)）确定后，为确定产品性能参数y(f(x1,x2,,x7))的分布规律与求产品质量的损失费用L(y)，现在讨论y的分布情况。

由于产品性能参数的经验公式

yf(x1,x2,,x7)

174.42xx1(3)0.85x5x2x1x40.563x12.62[10.36()]2(4)1.16x2x2

x6x7非常复杂，直接得出y的精确分布有困难。

对此有两种办法：

① 用随机模拟的方法

在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值x0(x10,x20,,x70)和任意一组容差等级r，产生n组相互独立的正态分布随机数xj(x1j,x2j,,x7j),

j1,2,,n, 其中七个零件参数x(x1,x2,,x7)中的每个

xij 都是服从正态分布

8

xij~N(xi0,i2)，

i的随机数。

xixi0ri

33~由经验公式得到产品性能参数y的n组（n很大）对应的样本值

yjf(x1j,x2j,,x7j)，

j1,2,,n

画出直方图，并用2检验法检验y是否服从正态分布，并确定y的分布的有关特征数字。

例如，取n = 10000时,

y的直方图与y是否服从正态分布的检验

.11.21.31.41.51.61.71.81.92

9

Normal Probability Plot0.9990.9970.99

0.98

0.95

0.90

Probability0.75

0.50

0.25

0.10

0.05

0.02

0.01

0.0030.0011.11.21.31.41.51.6Data1.71.81.92

具体见 ytest1 和 ytest2。

② 用理论方法推导

在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值x0(x10,x20,,x70)和一组容差等级r，记

yf(x10,x20,,x70)，表示产品性能参数的平均值。产生零件参数的实际值x(x1,x2,,x7)，由经验公式得到产品性能参数y的一组对应的值

yf(x1,x2,,x7)

因为

xixi0xi~N(0,i)，

i1,2,,7

2所以

yf(x1,x2,,x7)f(x0x)

10

f(x0)i17fxixi

xx0yy

即

yyyi17fxixi

xx02因为xi，i1,2,,7服从相互独立的正态分布N(0,i)，所以y也服从正态分布N(0,y)，并且对上式两边取方差，得

y[2i172fxi]2i

xx02于是产品性能参数y也近似服从正态分布，即

yyy~N(y,y2)

N(f(x10,x20,,x70),i17f[xixx0xr]i0i)

9222至于近似服从正态分布的误差有多大？ 我们后面再讨论。

三．目标函数

由原问题要求，建模的目标函数M(y)应包括产品yf(x1,x2,,x7)零件的的生产成本与质量损失费用两部分。

① 生产成本

当零件的标定值x0(x10,x20,,x70)与零件的容差xixi0ri确定以后，零件的的生产成本就完全确定了，为

C(y)cijdij

i1j173~

11

其中cij是第i个零件参数取第j个容差等级时所需成本，

i1,2,,7；j1,2,3，第1，2，3个容差分别表示C，B，A等级；而dij为01变量，如果第i个零件参数取第j个容差等级时dij取值1，否则为零，并且

i1,2,,7，dij1

j13还要注意到对每个i1,2,

② 质量损失费用

质量损失函数为

,7，对容差等级dij来说，j1,2,3不一定都能取到；0L(y)10009000y01.5。

|yy0|0.10.1|yy0|0.3

|yy0|0.3由上一段，y服从正态分布，即

y~N(y,y)

N(f(x10,x20,2,x70),i17f[xixx0xi02ri2])

92其密度函数为

(y)所以（y01.5）

12y(yy)22y2e

y00.1正品的概率

p1P{|yy0|0.1}y00.1y00.1y00.3(y)dy；

次品的概率

p2P{0.1|yy0|0.3}y00.3(y)dyy00.1(y)dy；

12

y00.3废品的概率

p3P{|yy0|0.3}y00.3(y)dy(y)dy。

2再由标准正态分布N(0,1)分布函数(y)与一般正态分布N(y,y)分布函数分布函数(y)之间的关系：

~(y)(有

y00.1~yy)

y

p1P{|yy0|0.1}y00.1(y)dy(y00.1)(y00.1)

~~((y00.1)yy)((y00.1)yy)

(同理

1.6y1.4y)()

yyy00.1y00.3p2P{0.1|yy0|0.3}~~y00.3~(y)dyy00.1~(y)dy

[(y00.1)(y00.3)][(y00.3)(y00.1)]

(和

1.4y1.2y1.8y1.6y)()()()

yyyyy00.3p3P{|yy0|0.3}~~y00.3~(y)dy~(y)dy

[()(y00.3)][(y00.3)()]

1(1.8y1.2y)()

yy从而1个产品的平均质量损失费用

L(y)1000p29000p3

13

1000[(1.4y1.2y1.8y1.6y)()()()]

yyyy1.8y1.2y)()]

yy9000[1(其中(y)为标准正态分布N(0,1)分布函数。

于是整个优化问题模型为

minM(y)1000{C(y)L(y)} （1.1）

1000{cijdij

i1j1731000[(1.4y1.2y1.8y1.6y)()()(yyyy1.8y1.2y)()]}

yy

9000[1(s.t.

aixi0bi

i1,2,,7

dij1，dij0或1，

j13i1,2,,7，j1,2,3

并且其中

yf(x10,x20,,x70)

ri0.01,0.05或0.10

i2xixi0ri

i1,2,,7

337~

y[i1fxi]2i。

xx02

14

注记：模型中的函数(y)是标准正态分布N(0,1)分布的分布函数。严格地说，这是带变量上下界约束与部分整数变量限制的、目标函数高度非线性的非线性规划问题。

模型求解

一．模型I计算思想

minM(y)1000{C(y)L(y)}

（1.1）

1000{cijdij

i1j1731000[(

1.4y1.2y1.8y1.6y)()()()]yyyy9000[1(s.t.

1.8y1.2y)()]}

yyaixi0bi

i1,2,,7

dij1，dij0或1，i1,2,,7，j1,2,3

j13并且

d11d13d21d51d52d730

其中

yf(x10,x20,,x70)

ri0.01,0.05或0.10

i2xixi0ri

i1,2,,7

337~

y[i1fxi]2i。

xx02

15

模型中的函数(y)是标准正态分布N(0,1)分布的分布函数。

这个带变量上下界约束与整数变量的、目标函数高度非线性的非线性规划问题怎样求解呢？

注意到（1.1）中，一当第i个零件的相对容差ri(0.01,0.05或0.10)或第i个零件的容差xi：xixi0ri确定以后，零件的生产成本就确定了，即这时不论零件的标定值x0(x10,x20,,x70)在标定值取值范围中怎么取，生产成本都是不变的，为cijdij。

i1j173~~全部七个零件的相对容差只有1232132108种组合。对所有108种情况可以逐次去计算；

实则上108种情况可以再简化。从零件参数的标定值及不同容差等级的成本（元）如下表（符号/表示五此等级零件）：

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

标定值容许范围

[0.075,0.125]

[0.225,0.375]

[0.075,0.125]

[0.075,0.125]

[1.125,1.875]

[12,20]

[0.5625,0.935]

C等10%

/

20

20

50

50

10

/

B等为5%

25

50

50

100

/

25

25

A等为1%

/

/

200

500

/

100

100

容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为1%，B等为5%，C等为10%.七个零件的参数标定值的标定值有一定的容许变化范

16

围；

可见，A等（为1%）是不可能取到的。用模拟的方法也可以确定，平均每个产品的生产成本一般在200-300之间，而损失费用为150上下。如此，A等成本费用中200与500的费用太高，所增加的成本费用是损失费用无法弥补的，从而是不可能取到的。于是容差等级总共不超过122213248种。考虑到100费用仍然也是难以弥补的，事实上，还应该是

122212116

种情况。

确定了一种容差方案后，上述问题实质上化为

minL(y)

（1.2）

1000[(

1.4y1.2y1.8y1.6y)()()()]yyyy9000[1(s.t.

1.8y1.2y)()]}

yyaixi0bi

i1,2,,7

yf(x10,x20,,x70)f(x0)

其中

ri0.01,0.05或0.10

y2i17f[xixx0xr]i0i，

i1,2,,7。

9222已经确定。

二、编程实现技术细节

17

1. 容差等级、生产成本 与 标定值区间

R=[0.10 0.05]; % 容差等级，最贵的一种舍去！

cost=[inf 25 % 选定容差以后的生产成本费用

20 50

20 50

50 100

50 inf

10 25

inf 25];

A=[0.075 0.125

0.225 0.375

0.075 0.125

0.075 0.125

0.125 1.875

12 20

0.5625 0.9375]; % 标定值区间

2. 怎么选定容差等级

用i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7表示选定的容差等级，值都在1，2中选择，并且i1=2，i5=1，i7=2。 于是全部容差等级的循环是4重循环。

从而选定的第k个零件的容差等级为

r（ik）= R（ik）

而对应的成本费用为

cost(k,ik)

所以，这个产品的生产成本为

Cy = cost(1,i1) + cost(2,i2) + cost(3,i3) + cost(4,i4) +

cost(5,i5) + cost(6,i6) + cost(7,i7)

3. 损失费用的最小化计算

当标定值x与容差等级r取定后，损失费用是个最小值优化问题。其目标函数 与 约束条件是：

18

minL(y)

（1.2）

1000[(

1.4y1.2y1.8y1.6y)()()()]yyyy9000[1(s.t.

1.8y1.2y)()]}

yyaixi0bi

i1,2,,7

yf(x10,x20,,x70)f(x0)

其中

ri，i1,2,,7已确定，而标定值

x0 是优化变量

y2i17f[xixx0xr]i0i，

i1,2,,7。

9222已经可以计算。其中已经没有零件参数的实际随机值 x 了。

1.4y目标函数中的

(Matlab中有现成) 是正态分布N(0,1)的分布函数，y的函数 normcdf 可以调用（比较 normpdf ）。

4. 多元函数的偏导数（或梯度）怎么计算

多元函数的偏导数（或梯度）与 海森矩阵 怎么计算，Matlab中有现成的函数 jacobian 可以调用，具体见 objgrad.m。

5. 当时的计算程序编写方法

（1）．计算方法一：用Matlab中函数Fmincon来计算

见 mydesign1

19

求解结果：

零件参数标定值：

x = 0.0750

0.3750

0.1106

0.1200

1.1309

12.0100

0.7977

相应的容差等级：

r = 0.0500

0.0500

0.0500

0.1000

0.1000

0.0500

0.0500

零件总费用（成本+损失）：

My =

4.2136e+005

每个零件成本与损失：

Cy =

275

Ly =

146.3603

程序求解运行时间：

T =

16.0051

20

（2）. 计算方法二：用网格搜索方法

（3）．计算方法三：用随机模拟的方法

（4）．计算方法四：用模拟退火算法

（5）．计算方法五：用遗传算法

二．初始方案费用计算

1．原设计方案费用计算----用Matlab

见 mydesign2

零件参数标定值：

x =

0.1000

0.3000

0.1000

0.1000

1.5000

16.0000

0.7500

相应的容差等级：

r =0.0500

0.1000

0.1000

0.1000

0.1000

21

0.1000

0.0500

零件总费用（成本+损失）：

My =

3.0748e+003

零件成本与损失：

Cy =

200

Ly =

2.8748e+003

计算运行时间：

T =0.6351

2．原设计方案费用计算----用随机模拟

见 mydesign3

用随机模拟法(n=10000次随机试验)开始求原设计方案费用。请稍候---

零件参数标定值：

x = 0.1000

0.3000

0.1000

0.1000

1.5000

16.0000

0.7500

相应的容差等级：

r = 0.0500

0.1000

0.1000

22

0.1000

0.1000

0.1000

0.0500

产品性能指标参数y分布的统计标准差：

sigmay =

0.1113

产品统计正品率：

p1 =

0.1154

产品统计次品率：

p2 =0.6242

产品统计费品率：

p3 =0.2604

零件总费用（成本+损失）：

My =

3.1678e+003

零件成本与损失：

Cy =

200

Ly =

2.9678e+003

计算运行时间：

T =

4.0799

23

模型检验与误差分析

对建模的结果，我们往往要作结果检验与敏感性分析和误差分析等，以提高论文的完整性和理论层次（可以参考上海交通大学与中国科大的获奖论文）。

1、敏感性分析

首先，在最优标定值点x0处，因为实际参数值

xixi0xi~N(0,i)，

i1,2,,7

2所以

yf(x1,x2,,x7)f(x0x)

f(x0)i17fxixi

xx0yy

即

yyyi17fxixi

xx0从而

7yyy[yyi1fxixx0yxi]xi

xi即目标函数的梯度（绝对敏感性系数），除以函数均值y，乘上每个参数xi的当前标定值，即为误差传递的敏感性系数。从而第i个参数的相对敏感性系数为

24

sifxixx0yxi，i1,2,,7

又

grad_y = [24.1992 -3.3932 11.5039 -2.6496 -1.3243 -0.0623 -0.9385]

或

敏感系数

估计值

1

1.2125

2

0.8501

3

0.8500

4

0.2124

5

1.0000

6

0.5000

7

0.5000

其次，在最优标定值点处，固定六个参数，仅让其中一个参数改变，由此得到的函数值的改变情况比较图形为：

30y(x1)y(x2)y(x3)y(x4)y(x5)y(x6)y(x7)

2520151050-5

-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25

同样可见，函数y值的变化对参数x1，x3比较最为敏感，其次是x2，x4，x5，x7，而对x6是最不敏感的。

25

2、误差分析

（1）关于函数y的值的误差估计。当标定值确定以后，由于零件实际的参数值带有随机性，因而函数 y 的值与均值yf(x10,x20,,x70)也有一定随机性误差。则对y取值的相对误差，也有用

yy其中

i17[fxi]2i2xx0y

ixixi0ri，i1,2,,n

33~来表示的。

由此可以估计出当标定值、容差等级确定后，产品的性能指数函数值有多大的随机性波动。

（2）关于函数y的值的非线性误差，以及所带来的对函数值y的分布误差的影响是不是会很显著的问题，可以见程序myhess 。当标定值达到允许的最大误差时，函数 y 的值的非线性误差为

Error非线性(xx0)H(x0)(xx0) = 0.0338

其中H(x0)是函数y在最优标定值点x0处的海森矩阵（即二阶导数矩阵）。而非线性误差的相对值为

RatioError非线性y = 2.26%。

所以，说经验函数值近似服从正态分布，其误差是很小的，即近似度是很高的。

26

模型改进

-----模型II建立

前面的优化问题模型

minM(y)1000{C(y)L(y)}

（1.1）

1000{cijdij

i1j1731000[(

1.4y1.2y1.8y1.6y)()()()]yyyy9000[1(s.t.

1.8y1.2y)()]}

yyaixi0bi

i1,2,,7

dij1，dij0或1，i1,2,,7，j1,2,3

j13其中

yf(x10,x20,,x70)

ri0.01,0.05或0.10

i2xixi0ri

i1,2,,7

337~

y[i1fxi]2i。

xx02

模型中的函数(y)是标准正态分布N(0,1)分布的分布函数。另外，用到质量损失函数

27

0L(y)10009000|yy0|0.10.1|yy0|0.3

|yy0|0.3y01.5。 因而这使得该问题的目标函数高度非线性，以至于非线性规划问题怎样求解困难！

实际上，从另外一个角度来看，就是从产品的社会效用来说，性能指标差|y-y0| 越接近于0.1的产品，其接近于正品，因而应该几乎没有什么损失；另一方面，性能指标差|y-y0| 越接近于0.3的产品，其接近于废品，因而损失应该几乎等同于废品，即它的损失费用应该接近于9000，而不是恒定在1000；

我们可以凭经验，合理地假设损失函数是y-y0的二次函数，即

L(y)K(yy0)2

由|y-y0|=0.1时，L(y) = 1000，|y-y0|=0.3时，L(y) = 9000可得K=105。于是平均质量损失

28

E[L(y)]105E[(yy0)2]

105E[(YEY)(EYy0)]2

2105[2(EYy)]

y0

2105[2(yy)]

y0其中yf(x0)，即标定值对应的产品质量性能指标的平均值，y01.5。而

y2i17f[xi]ixx022

所以对应的修改优化模型是

min（1.2）

M(y)1000{C(y)E[L(y)]}

1000{cijdiji1j1732105[2(yy)]}

aixi0bi

i1,2,,7

dj13ij1，dij0或1，i1,2,,7，j1,2,3

其中

yf(x10,x20,,x70)

ri0.01,0.05或0.10

i1,2,,7

i2xixi0ri

i1,2,,7

337~

y[i1fxi]2i。

xx02

29

这个优化问题是个确定性的，混合整数规划问题。与分布函数没有关系。求解稍简单一些。

求解结果见程序（model II）。

30