2024年1月23日发(作者：高考数学试卷感悟)
考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编6
(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (2003年)设{an}，{bn}，{Cn}均为非负数列，且，则必有 【 】
A．an＜bn对任意n成立．
B．bn＜cn对任意n成立．
C．极限ancn不存在．
D．极限bncn不存在．
正确答案：D
解析：由于bn＝1≠0，cn＝∞．则bncn＝∞ 即极限bncn不存在，故应选
D． 知识模块：函数、极限、连续
2． (2005年)设函数f(χ)＝，则 【 】
A．χ＝0，χ＝1都是f(χ)的第一类间断点．
B．χ＝0，χ＝1都是f(χ)的第二类间断点．
C．χ＝0是f(χ)的第一类间断点，χ＝1是f(χ)的第二类间断点．
D．χ＝0是f(χ)的第二类间断点，χ＝1是f(χ)的第一类间断点．
正确答案：D
解析：显然χ＝0和χ＝1是f(χ)的间断点，又，则χ＝0是f(χ)的第二类间断点； 则χ＝1是f(χ)的第一类间断点，故应选
D． 知识模块：函数、极限、连续
3． (2007年)当χ→0+时，与等价的无穷小量是 【 】
A．1－
B．
C．
D．1－cos．
正确答案：B
解析： 则应选
B． 知识模块：函数、极限、连续
4． (2007年)函数f(χ)＝在[－π，π]上的第一类间断点是χ＝ 【 】
A．0
B．1
C．
D．
正确答案：A
解析： 则χ＝0是f(χ)的第一类间断点．故应选A． 知识模块：函数、极限、连续
5． (2008年)设函数f(χ)在(一∞，＋∞)内单调有界，{χn}为数列，下列命题正确的是 【 】
A．若{χn}收敛，则{f(χn)}收敛．
B．若{χn}单调，则{f(χn)}收敛．
C．若{f(χn)}收敛，则{χn}收敛．
D．若{f(χn)}单调，则{χn}收敛．
正确答案：B
解析：由于f(χ)在(－∞，＋∞)上单调有界，若{χn}单调，则{f(χn)}是单调有界数列，故{f(χn)}收敛． 事实上A、C、D都是错误的．若令χn＝，显然＝0，即{χn}收敛，令 f(χ)＝，显然f(χ)在(－∞，＋∞)上单调有界，但{f(χn)}不收敛．由于 f(χn)＝，所以f(χn)不存在，故A不正确． 若令χn，f(χ)＝arctanχ．显然{f(χn)}收敛且单调，但χn＝n不收敛，故C和D不正确． 知识模块：函数、极限、连续
6． (2008年)设函数f(χ)＝sinχ，则f(χ)有 【 】
A．1个可去间断点，1个跳跃间断点．
B．1个可去间断点，1个无穷间断点．
C．2个跳跃间断点．
D．2个无穷间断点．
正确答案：A
解析：显然f(χ)＝sinχ在χ＝1和χ＝0没定义，因此χ＝1和χ＝0为间断点，其余点都连续． 则χ＝1为f(χ)的跳跃间断点． 则χ＝0为f(χ)的可去间断点．故应选A． 知识模块：函数、极限、连续
7． (2009年)当χ→0时，f(χ)＝χ－sinaχ与g(χ)＝χ2ln(1－bχ)是等价无穷小，则 【 】
A．a＝1，b＝－．
B．a＝1，b＝．
C．a＝－1，b＝－．
D．a＝－1，b＝．
正确答案：A
解析：由于当χ→0时，f(χ)＝χ－sinaχ与y(χ)＝χ2ln(1－bχ)是等价无穷小，则 则b＝－． 故应选A． 知识模块：函数、极限、连续
8． (2009年)函数f(χ)＝的可去间断点的个数为 【 】
A．1．
B．2．
C．3．
D．无穷多个．
正确答案：C
解析：当χ＝k(k＝0，±1，±2，…)时，sinπχ＝0，则这些点都是f(χ)的间断点．而当χ＝0，±1时，χ－χ3＝0， 则χ＝0，χ＝±1为f(χ)的可去间断点，其余均为无穷间断点．故应选
C． 知识模块：函数、极限、连续
9． (2010年)函数f(χ)＝的无穷间断点的个数为 【 】
A．0
B．1
C．2
D．3
正确答案：B
解析：显然f(χ)＝有间断点χ＝0，χ＝±1． 则χ＝1为可去间断点． 知识模块：函数、极限、连续
10． (2011年)已知当χ→0时，函数f(χ)＝3sinχ－sin3χ与cχk是等价无穷小，则 【 】
A．k＝1，c＝4．
B．k＝1，c＝－4．
C．k＝3，c＝4．
D．k＝3，c＝－4．
正确答案：C
解析： 则k＝3，＝1，c＝4 知识模块：函数、极限、连续
11． (2012年)设an＞0(n＝1，2，…)，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的 【 】
A．充分必要条件．
B．充分非必要条件．
C．必要非充分条件．
D．既非充分条件也非必要条件．
正确答案：B
解析：由于an＞0，则数列{Sn}单调增，若{Sn}有界，则{Sn}收敛，设Sn－a，则 即{an}收敛． 但若{an}收敛，{Sn)不一定有界．如an＝1，Sn＝n，故应选
B． 知识模块：函数、极限、连续
12． (2013年)设cosχ－1＝χsinα(χ)，其中｜α(χ)｜＜，则当χ→0时，α(χ)是 【 】
A．比χ高阶的无穷小．
B．比χ低阶的无穷小．
C．与χ同阶但不等价的无穷小．
D．与χ等价的无穷小．
正确答案：C
解析：由cosχ－1＝χsinα(χ)知 故应选
C． 知识模块：函数、极限、连续
13． (2014年)(1)当χ→0+时，若lna(1＋2χ)，均是比χ高阶的无穷小，则a的取值范围是 【 】
A．(2，＋∞)
B．(1，2)
C．(，1)
D．(0，)
正确答案：B
解析：由于当χ→0+时 ln口(1＋2χ)～2χ，， 由题设可知，α＞1，且＞1．则1＜α＜2，故应选
B． 知识模块：函数、极限、连续
14． (2015年)函数f(χ)＝在(－∞，＋∞)内 【 】
A．连续．
B．有可去间断点．
C．有跳跃间断点．
D．有无穷间断点．
正确答案：B
解析：由f(χ)＝知，f(0)无意义，且 当χ≠0时，f(χ)＝＝χχ 则χ＝0为f(χ)的可去间断点． 故应选
B． 知识模块：函数、极限、连续
填空题
15． (1997年)已知f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．
正确答案：
解析：由于 知识模块：函数、极限、连续
16． (2001年)＝_______．
正确答案：
解析：将分子有理化，分母分解因式得 知识模块：函数、极限、连续
17． (2002年)设函数f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．
正确答案：－2．
解析：由于当χ→0时1－eχ～(－tanχ)～(－χ)，arcsin，则 而f(0)＝a 所以要使函数f(χ)在χ＝0处连续，则a＝－2． 知识模块：函数、极限、连续
18． (2003年)若χ→0时，－1与χsinχ是等价无穷小，则a＝_______．
正确答案：－4．
解析：由于当χ＝0时 (1＋χ)μ－1～μχ，则当→0时－1～－aχ2，从而 由题意知－＝1，即a＝－4． 知识模块：函数、极限、连续
19． (2004年)设f(χ)＝，则f(χ)的间断点为χ＝_______．
正确答案：χ＝0．
解析： 显然，χ＝0为f(χ)的唯一的间断点． 知识模块：函数、极限、连续
20． (2005年)当χ→0时，a(χ)＝kχ2与β(χ)＝是等价无穷小，则k＝_______．
正确答案：
解析： 则k＝ 知识模块：函数、极限、连续
21． (2007年)＝_______．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
22． (2008年)已知函数f(χ)连续，且＝1，则f(0)＝________．
正确答案：2．
解析： 则f(0)＝一2 知识模块：函数、极限、连续
23． (2011年)＝________．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
24． (2013年)________．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
25． (2008年)求极限
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
26． (2009年)求极限
正确答案：由于当χ→0时，1－cosχ～χ2，sinχ～χ，所以 涉及知识点：函数、极限、连续
27． (2011年)已知函数F(χ)＝设F(χ)＝lim F(χ)＝0，试求a的取值范围．
正确答案： 由题意F(χ)＝0，得a＜3． 综上所述，1＜a＜3． 涉及知识点：函数、极限、连续
28． (2011年) (Ⅰ)证明：对任意的正整数n，都有成立． (Ⅱ)设an＝1＋一lnn(n＝1，2，…)，证明数列{an)收敛．
正确答案：(Ⅰ)根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(n，n＋1)，使得 (Ⅱ)当n≥1时，由(Ⅰ)知 所以数列{an}单调减少有下界，故{an}收敛． 涉及知识点：函数、极限、连续
29． (2012年)已知函数f(χ)＝，记a＝f(χ)． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)若当χ→0时，f(χ)－a与χk是同阶无穷小，求常数k的值．
正确答案：(Ⅰ)由于 则a＝1 (Ⅱ) 由于当χ→0时，χ－sinχ～χ3，则 k＋2＝3 k＝1． 涉及知识点：函数、极限、连续
30． (2012年)(Ⅰ)证明方程χn＋χn-1…＋χ＝1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为χn，证明χn存在，并求此极限．
正确答案：(Ⅰ)令f(χ)＝χn＋χn-1＋…＋χ－1(n＞1)，则f(χ)在[，1]上连续，且 ，f(1)＝n－1＞0, 由闭区间上连续函数的介值定理知，方程f(χ)＝0在(，1)内至少有一个实根． 当χ∈(，1)时， f′(χ)＝nχn-1＋(n－1)χn-2＋…＋2χ＋1＞1＞0， 故f(χ)在(，1)内单调增加． 综上所述，方程f(χ)＝0在(，1)内有且仅有一个实根． (Ⅱ)由χn∈(，1)知数列{χn}有界，又 χnn＋χnn-1＋…＋χn＝1 χnn＋χnn-1＋χn+1n-1＋…＋χn+1＝1 因为χ＞0，所以 χnn＋χnn-1＋…＋χn＞χn+1n＋χn+1n-1
＋…＋χn+1 于是有 χn＞χn+1，n＝1，2…， 即{χn}单调减少． 综上所述，数列{χn}单调有界，故{χn}收敛． 记a＝χn．由于 令χ→∞并注意到＜χn＜χ1＜1，则有 解得a＝，即 涉及知识点：函数、极限、连续
31． (2013年)当χ→0时，1－cosχ.cos2χ.cos3χ与aχn为等价无穷小，求n与a的值．
正确答案： 由题设知＝1，故a＝7． 当n≠2时，显然不合题意．所以a＝7，n＝2． 涉及知识点：函数、极限、连续
32． (2013年)设函数f(χ)＝lnχ＋． (Ⅰ)求f(χ)的最小值； (Ⅱ)设数列{χn}满足lnχn＋＜1．证明存在，并求此极限．
正确答案：(Ⅰ)f′(χ)＝，令f′(χ)＝0，解得f(χ)的唯一驻点χ＝1． 又f〞(1)＝＝1＞0，故f(1)＝1是唯一极小值，即最小值． (Ⅱ)由(Ⅰ)的结果知lnχ＋≥1，从而有 于是χn≤χn+1，即数列{χn}单调增加． 又由lnχn＋＜1，知lnχn＜1，得χn＜e． 从而数列{χn}单调增加，且有上界，故χn存在． 记χn＝a，可知a≥χ1＞0． 在不等式lnχn＋＜1两边取极限，得lna＋≤1． 又lna＋≥1，故lna＋＝1，可得a＝1，即＝1． 涉及知识点：函数、极限、连续
33． (2014年)求极限
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
34． (2014年)设函数f(χ)＝，χ∈[0，1]．定义函数列： f1(χ)＝f(χ)，f2(χ)＝f(f1(χ))，…，fn(χ)＝f(fn-1(χ))，…记Sn是由曲线y＝fn(χ)，直线χ＝1及χ轴所围成平面图形的面积，求极限nSn．
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
35． (2015年)设函数f(χ)＝χ＋aln(1＋χ)＋bχsinχ，g(χ)＝kχ3．若f(χ)与g(χ)在χ→0时是等价无穷小，求a，b，k的值．
正确答案： 则f(χ)＝(1＋a)χ＋(b－)χ2＋＋0(χ3) 由于当χ→0时，f(χ)～kχ3，则 涉及知识点：函数、极限、连续
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