2023年12月2日发(作者：北海市银海区数学试卷)
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2021 年一般高等学校招生全国一致考试〔江苏卷〕
数学 I
本卷须知
考生在答题前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求
1. 本试卷共 4 页，包括非选择题〔第
1 题 ~ 第 20 题，共 20 题〕 .本卷总分值为 160 分，考试时间为 120 分
钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必然自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定地址。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与自己可否切合。
4.作答试题，必定用
0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定地址作答，在其他地址作答一律无效。
5.如需改动，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗
一、填空题：本大题共
14 小题，每题 5 分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡相应地址上
1.会集
A
1,2
，B
a, a2
3
，假设AI
B={1}
那么实数 a 的值为 ________
z 的模是 __________
2.复数 z=〔 1+i 〕〔 1+2i〕 ,其中 i 是虚数单位，那么
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不相同型号的产品，产量分别为
现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取
200,400,300,100 件，为检验产品的质量，
60 件进行检验，那么应从丙种型号的产品中抽取
件
1 ，那么输出的 y 的值是
4.右图是一个算法流程图，假设输入
x 的值为
16
=
,那么
-
5.假设
tan
=
4
6
tan
6.如图，在圆柱
O
O
内有一个球 O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。记圆柱O
1
2
1
1
O
2
的体积为 V ,
1
球 O 的体积为 V2 ，那么
V1
的值是
V2
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7.记函数
f (x)
6 x x2
的定义域为
xoy k , 双曲线
D. 在区间 [-4,5] 上随机取一个数
x，那么 x
D 的概率是
8.在平面直角坐标系
x2
3
y
2
1
的右准线与学科
&
网它的两条渐近线分别交于点
P,Q，其焦点
是 F1 , F2 ,那么四边形 F1 P F2 Q 的面积是
9.等比数列
an
的各项均为实数，其前
n 项的和为 Sn，
S3
7
，S6
4
63
，
4
那么 a8 =
10.某公司一年购置某种货物
600 吨，每次购置
x 吨，运费为 6 万元 /次，一年的总储藏花销为
x 的值是
x
4x 万元，要
使一年的总运费与总储藏之和最小，那么
11.函数
f
x = x
3
2x+e -
1
e
x
，其中 e 是自然数对数的底数，假设
f
a-1 +f
2a
20
，那么实数 a 的取值范围是
OA OB OC
uur
uur
uur
。
12.如图，在同一个平面内， 向量,
,
,的模分别为
1,1，
uur
uur
OA
与
OC
的夹角为
2
，
，且 tan =7，
uur
uur
uur
uur
OA OB
uur
OB
与 OC的夹角为
45°。假设 OC=m
+n
〔 m， n
R〕，那么 m+n=
13. 在平面直角坐标系 xOy 中， A〔 -12,0
〕， B〔 0,6 〕，点 P 在圆 O： x2+y2=50 上，假设·
点 P 的横坐标的取值范围是
.
20，那么 (word完满版)江苏省高考数学试卷及,文档
14.设 f(x) 是定义在 R 且周期为
1 的函数，在区间
0,1
上，
f x
x
2
, x
x
, x
D
其中会集D
D= x x
n1n
,
n N
，那么方程
f(x)-lgx=0
的解的个数是
.
15.〔本小题总分值
14 分〕
如图，在三棱锥
A-BCD 中， AB⊥AD ， BC⊥ BD，平面 ABD ⊥平面 BCD，点 E、 F〔 E 与 A、D 不重合〕分
别在棱 AD ，BD 上，且 EF⊥AD 。
求证：〔 1〕EF∥平面 ABC；
（ 2〕 AD ⊥AC
16. 〔本小题总分值 14 分〕向量 a=〔 cosx,sinx〕 ,,.
〔 1〕假设 a∥ b，求 x 的值；
〔 2〕记 ,求的最大值和最小值以及对应的
x 的值
17.〔本小题总分值 14 分〕
如图，在平面直角坐标系
xOy 中，椭圆
E :
x2
a2
1
2
y
2
b
2
1(
a＞
b＞0)
的左、右焦点分别为
F
， F
，离心率
1 2
为 ，两准线之间的距离为
8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限， 过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1,过点 F2 作直
线 PF2 的垂线 l2.
（ 1〕求椭圆 E 的标准方程；
（ 2〕假设直线 l1 ，l
2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标 . (word完满版)江苏省高考数学试卷及,文档
18.
〔本小题总分值
16 分〕
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为
32cm，容器Ⅰ的底面对角线
AC
的长为
10
7
cm，容器Ⅱ的两底面对学科
* 网角线
EG， E1G1 的长分别为
14cm
和
62cm.
分别在容器Ⅰ和容
器Ⅱ中注入水，水深均为
12cm. 现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm.〔容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计〕
CC1 上，求 l 没入水中局部的长度；
GG1 上，求 l 没入水中局部的长度 .
〔 1〕将 l 放在容器Ⅰ中，
l 的一端置于点
〔 2〕将 l 放在容器Ⅱ中，
l 的一端置于点
A 处，另一端置于侧棱
E 处，另一端置于侧棱
19.〔本小题总分值 16 分〕
k,
假设数列
l a
满足 an k
关于给定的正整数
l
n
a
n k
1
... an
1 an
1 ... an k
1 an k2k an
n(n> k)
总成立，那么称数=2ka
对任意正整数
列
n
l
a l
是“ P(k)
数列〞
.
n
(1) 证明：等差数列
l
anl 是“
P(3)
数列〞；
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（ 2〕假设数列 l
anl 既是“
P(2) 数列〞，又是“
P(3) 数列〞，证明： l
anl 是等差数列 . 20.
〔本小题总分值 16 分〕
，
函数 f x = x
3
a
x
2
bx1(a
0,b
R)
有极值，且导函数
f
x
的极值点是
f x
的零点。〔极值点是指函数取极值时对应的自变量的值〕
（ 1〕 求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；
（ 2〕 证明： b2>3a;
假设
〔 3〕
f
，
x
，
f
x 这两个函数的全部极值之和不小于
-
，求 a 的取值范围。
2
7
2021 年一般高等学校招生全国一致考试〔江苏卷〕
数学 II 〔附加题〕
本卷须知
考生在答题前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求
1. 本试卷共
2 页，均为非选择题〔第 21 题 ~ 第 23 题〕。本卷总分值为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必然自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定地址。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与自己可否切合。
4.作答试题，必定用
0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定地址作答，在其他地址作答一律无效。
5.如需改动，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗
21.【选做题】此题包括
，并在相应的答题地域内作答 。假设多A 、B 、 C、 D 四小题，请选定其中两小题
做，
．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．
那么按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A. 【选修 4-1：几何证明选讲】 〔本小题总分值
10 分〕
如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C， AP⊥ PC， P 为垂足。 (word完满版)江苏省高考数学试卷及,文档
求证：〔 1〕∠ PAC=∠CAB;
（ 2〕 AC2 =AP· AB。
B.[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]〔本小题总分值 10 分〕
矩阵
A= ， B=.
(1) 求 AB;
假设曲线
C1;
x2
y2
=1
在矩阵
AB
对应的变换作用下获取另一曲线
8
2
] 〔本小题总分值
10 分〕
C2
，求 C2 的方程 .
C.[ 选修 4-4：坐标系与参数方程
x
l 的参照方程为
8
t
t
在平面坐标系中
xOy
中，直线
〔 t 为参数〕 ,曲线 C 的参数方程为
y
2
x
2s2 ,
〔 s 为参数〕。设 p 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值
y
2 2s
10 分〕
Ｄ．［选修 4-5：不等式选讲］ 〔本小题总分值
a,b,c,d 为实数，且
a2+b2=4,c2+d2=16,证明 ac+bd 8.
x 2s2 ,
2 2s y
22.〔本小题总分值
10 分〕
如图，在平行六面体
ABCD-A
1B1C1D
1 中， AA1⊥平面 ABCD ，且 AB=AD =2， AA1=
3
，∠
BAD=120o.
（ 1)求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值；
（ 2〕求二面角 B-A1D-A 的正弦值。 (word完满版)江苏省高考数学试卷及,文档
23. 〔本小题总分值
10
〕
一个口袋有
m 个白球，
n 个黑球〔
m,n
N
2
,n
2〕 ,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随
机的逐个取出，并放入以以下图的编号为
1,2,3 ， ，
m+n
的抽屉内，其中第
k 次取球放入编号为
k 的抽
屉〔 k=1,2,3， ，
m+n〕 .
〔 1〕试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率
p;
〔 2 〕 随 机 变 量 x
表 示 最 后一 个 取 出 的 黑 球 所 在 抽 屉编 号 的 倒 数 ， E(x) 是x 的 数 学 期 望 ，证 明 (word完满版)江苏省高考数学试卷及,文档
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