2024年4月15日发(作者：数学试卷排版免费下载高一)

计 数 问 题

教学目标

1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解排列、排列数和组合数的意义.能根据具体的问题.写出符合要求的排列或组合；

3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会、分析与数字有关的计数问题.以及与其他专题的综合运用.培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

通过本讲的学习.对排列组合的一些计数问题进行归纳总结.重点掌握排列与组合的联系和区别.并掌握一些

排列组合技巧.如捆绑法、挡板法等。

5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。

知识点拨：

例题精讲：

一、 排 列 组 合 的 应 用

【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像.分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排.小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排.小新、阿呆必须有一人站在中间.

（4）七个人排成一排.小新、阿呆必须都站在两边.

（5）七个人排成一排.小新、阿呆都没有站在边上.

（6）七个人战成两排.前排三人.后排四人.

（7）七个人战成两排.前排三人.后排四人. 小新、阿呆不在同一排。

【解析】 （1）

P

7

7

5040

（种）。

（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．

P

6

6

720

（种）.

（3）先确定中间的位置站谁.冉排剩下的6个位置．2×

P

6

=1440(种)．

（4）先排两边.再排剩下的5个位置.其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．

2P

5

5

240

(种)．

（5）先排两边.从除小新、阿呆之外的5个人中选2人.再排剩下的5个人.

P

5

2

P

5

5

2400

（种）.

（6）七个人排成一排时.7个位置就是各不相同的．现在排成两排.不管前后排各有几个人.7个位置还

是各不相同的.所以本题实质就是7个元素的全排列．

P

7

7

5040

（种）.

（7）可以分为两类情况：“小新在前.阿呆在后”和“小新在前.阿呆在后”.两种情况是对等的.所以只

要求出其中一种的排法数.再乘以2即可．4×3×

P

5

×2=2880(种)．排队问题.一般先考虑特殊情况再

去全排列。

【例 2】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？

【解析】 个位数字已知.问题变成从从

5

个元素中取

2

个元素的排列问题.已知

n5

.

m2

.根据排列数公式.一

共可以组成

P

5

2

5420

(个)符合题意的三位数。

【巩固】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比

20000

大且百位数字不是

3

的无重复数字的五位数？

【解析】 可以分两类来看：

⑴ 把3排在最高位上.其余4个数可以任意放到其余4个数位上.是4个元素全排列的问题.有

P

4

4

432124

(种)放法.对应24个不同的五位数；

5

6

⑵ 把2.4.5放在最高位上.有3种选择.百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择.

. .

有3种选择.其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上.有

P

3

3

6

种选择．由乘法原理.可以组成

33654

(个)不同的五位数。

由加法原理.可以组成

245478

(个)不同的五位数。

【巩固】 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列.则5687是第

几个数？

【解析】 从高位到低位逐层分类：

⑴ 千位上排

1

.

2

.

3

或

4

时.千位有

4

种选择.而百、十、个位可以从

0~9

中除千位已确定的数字之外的

9

个数字中选择.因为数字不重复.也就是从

9

个元素中取

3

个的排列问题.所以百、十、个位可有

P

9

3

987504

(种)排列方式．由乘法原理.有

45042016

(个)．

⑵ 千位上排

5

.百位上排

0~4

时.千位有

1

种选择.百位有

5

种选择.十、个位可以从剩下的八个数字中

2

选择．也就是从

8

个元素中取

2

个的排列问题.即

P

8

8756

.由乘法原理.有

1556280

(个)．

⑶ 千位上排

5

.百位上排

6

.十位上排

0

.

1

.

2

.

3

.

4

.

7

时.个位也从剩下的七个数字中选择.有

116742

(个)．

⑷ 千位上排

5

.百位上排

6

.十位上排

8

时.比

5687

小的数的个位可以选择

0

.

1

.

2

.

3

.

4

共

5

个．

综上所述.比

5687

小的四位数有

20162804252343

(个).故比

5687

小是第

2344

个四位数．

【例 3】 用

1

、

2

、

3

、

4

、

5

这五个数字.不许重复.位数不限.能写出多少个3的倍数？

【解析】 按位数来分类考虑：

⑴ 一位数只有

1

个

3

；

⑵ 两位数：由

1

与

2

.

1

与

5

.

2

与

4

.

4

与

5

四组数字组成.每一组可以组成

P

2

2

212

(个)不同的两位

数.共可组成

248

(个)不同的两位数；

⑶ 三位数：由

1

.

2

与

3

；

1

.

3

与

5

；

2

.

3

与

4

；

3

.

4

与

5

四组数字组成.每一组可以组成

P

3

3

3216

(个)不同的三位数.共可组成

6424

(个)不同的三位数；

⑷ 四位数：可由

1

.

2

.

4

.

5

这四个数字组成.有

P

4

4

432124

(个)不同的四位数；

⑸ 五位数：可由

1

.

2

.

3

.

4

.

5

组成.共有

P

5

5

54321120

(个)不同的五位数．

由加法原理.一共有

182424120177

(个)能被

3

整除的数.即

3

的倍数．

【巩固】 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片.每次取三张卡片组成三位数.一共可以组成多少个不同的偶数？

【解析】 由于组成偶数.个位上的数应从

2

.

4

.

6

中选一张.有

3

种选法；十位和百位上的数可以从剩下的

5

张中

选二张.有

P

5

2

5420

(种)选法．由乘法原理.一共可以组成

32060

(个)不同的偶数．

【例 4】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字.只记得是由四个非

0

数码组成.且四个数码之和是

9

.那么

确保打开保险柜至少要试几次？

【解析】 四个非

0

数码之和等于9的组合有1.1.1.6；1.1.2.5；1.1.3.4；1.2.2.4；1.2.3.3；2.2.2.3六种。

第一种中.可以组成多少个密码呢？只要考虑

6

的位置就可以了.

6

可以任意选择

4

个位置中的一个.其

余位置放

1

.共有

4

种选择；

第二种中.先考虑放

2

.有

4

种选择.再考虑

5

的位置.可以有

3

种选择.剩下的位置放

1

.共有

4312

(种)

选择同样的方法.可以得出第三、四、五种都各有

12

种选择．最后一种.与第一种的情形相似.

3

的位置

有

4

种选择.其余位置放

2

.共有

4

种选择．

综上所述.由加法原理.一共可以组成

412121212456

(个)不同的四位数.即确保能打开保险

柜至少要试

56

次．

【例 5】 两对三胞胎喜相逢.他们围坐在桌子旁.要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻.(同一位置上坐不同

的人算不同的坐法).那么共有多少种不同的坐法？

1

6

(种)选法.第二个位置在另一胞胎的

3

人中任选一个.有

【解析】 第一个位置在

6

个人中任选一个.有

C

6

1

C

3

3

(种)选法．同理.第

3

.

4

.

5

.

6

个位置依次有

2

.

2

.

1

.

1

种选法．由乘法原理.不同的坐法有

11

P

6

1

P

3

1

P

2

1

P

2

1

P

1

P

1

63221172

(种)。

. .


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排列,数字,组成