2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案

2024年1月21日发(作者：小学生数学试卷自我评价)

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案

（江南博哥）

1[单选题]当x→0时，x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=( )．

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：C

参考解析：

因为

，若要x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=3，故选C项。

2[单选题]y=xsinx+2cosx[x∈(A.(0，2)

B.(π，-2)

C.(,)

D.

)]的拐点坐标是()．

正确答案：B

参考解析：

y\'=sinx+xcosx-2sinx，y”=-xsinx，令y”=0得x=0，x=π，又因为

=-sinx-xcosx，将上述两点代入(π)≠0，所以(π，-2)是拐点。

3[单选题]下列反常积分发散的是()．

A.B.C.D.

正确答案：D

参考解析：

对于A项：

4[单选题]已知微分方程依次为()．

A.1，0，1

B.1，0，2

C.2，1，3

D.2，1，4

正确答案：D

参考解析：

由条件知特征根为λ1=λ2=-1，特征方程为(λ—λ1)(λ—λ2)=λ2+2λ+1=0，

故a=2，b=1，而y*=ex为特解，代入得c=4，故选D项。

的通解为y=(C1+C2x)e-x+ex，则a，b，c

5[单选题]已知平面区域，

，则I1，I2，I3的大小关系为( )。

A.I3＜I2＜I1

B.I2＜I1＜I3

C.I1＜I2＜I3

D.I2＜I3＜I1

正确答案：A

参考解析：

因为

6[单选题]已知f(x)，g(x)二阶导数存在且在x=a处连续，则f(x)，g(x)相切于a且曲率相等的( )。

A.充分非必要条件

B.充分必要条件

C.必要非充分条件

是

D.既非充分又非必要条件

正确答案：A

参考解析：

必要性：f(x)，g(x)相切于a，则f(a)=g(a)，f\'(a)=g\'(a)，

f(x)与g(x)相切于点a，且曲率相等，故选A项。

7[单选题]设A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程Ax=0的基础解系中只有2个向量，则A*的秩是( )。

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：A

参考解析：

因为Ax=0的基础解系中只有2个向量，所以4-r（A）=2，则r（A）=2．

所以r(A*)=0，故选A项。

8[单选题]设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且|A|=4，则二次型xTAx的规范形为()．

A.B.C.D.正确答案：C

参考解析：

设λ为A的特征值，由A2+A=2E得λ2+λ=2，

解得λ=-2或1，所以A的特征值是1或-2．

又因为|A|=4，所以A的三个特征值为1，-2，-2，所以二次型xTAx的

规范形为9[填空题]

参考解析：

4e2

【解析】

，故选C项。

10[填空题]

在参考解析：

【解析】

对应点处的切线在y轴上的截距为_______．

11[填空题]

设函数f(u)可导，

参考解析：

【解析】

12[填空题]

函数y=lncosx(0≤x<)的弧长为（ ）。

参考解析：

【解析】

13[填空题]

已知函数

参考解析：

【解析】

14[填空题]

，Aij表示|A|中(i,j)的代数余子式，则A11-A12=_______．

参考解析：

-4【解析】

15[简答题]

参考解析：

16[简答题]

参考解析：

17[简答题]

(I)求y(x)；

(Ⅱ)设平面区域D={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤y(x)}，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

参考解析：

18[简答题]

参考解析：

(x2+y2)3=y4的极坐标方程为r=sin2θ，由对称性知

19[简答题]

设n是正整数，记S-xn为y=esinx(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积，求求．

参考解析：

Sn，并

设区间[kπ，(k+1)π](k=0，1，2，…，n-1)上所围的面积记为uk，则

20[简答题]

已知函数u(x，y)满足

，求a，b的值，使得在变换u(x，y)=v(x，下，上述等式可化为函数v(x，y)的不含一阶偏导数的等式。

参考解析：

y)eax+by之

21[简答题]

已知函数f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且(I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0；

(Ⅱ)存在η∈(0，1)，使得f”(η)<-2．

参考解析：

(I)设f(x)在ξ处取得最大值，则由条件f(0)=0,f(1)=1，可知f(ξ)>1，于是0<ξ<1，

由费马引理得f\'(ξ)=0．

(II)若不存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2，

则对任何x∈(0，1)，有f”(x)≥-2，

由拉格朗日中值定理得

f(x)-f(ξ)=f\'C．(x-ξ)，C介于x与ξ之间，

不妨设x<ξ，f\'(x)≤-2(x-ξ)，

，证明：

于是f(ξ)-f(0)<1，即f(ξ)<1，

这与f(ξ)>1相矛盾，故存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2．

22[简答题]

参考解析：

由等价的定义可知β1，β2，β3都能由α1，α2，α3线性表示，则有

r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)．

对(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换可得：

当a=-1时，有r(α1，α2，α3)

当a=1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2；

当a≠1且a≠-1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3；

则当a=1或a≠1且a≠-1时，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示．

此时，要保证α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，

对(β1，β2，β3，α1，α2，α3)作初等行变换可得

综上所述，当a≠-1时，向量组α1，α2，α3与向量组β1，β2，β3可相互线性表示．

23[简答题]

(I)求x，y；

(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP=B．

参考解析：

(I)因为相似矩阵有相同的特征值，所以