大学高等数学全公式-大一到大四通用

2023年12月11日发(作者：滨海新区高三二模数学试卷)

高等数学公式

导数公式：

2(tgx)secx(arcsinx)211x2(ctgx)cscx(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(a)alna(logaxx(arccosx)(arctgx)11x211x2x)1xlna(arcctgx)11x2基本积分表：

tgxdxctgxdxsecaxalncosxClnsinxCcossindx2xxseccsc2xdxtgxCxdxctgxCdx22xdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx2secxtgxdxcscxctgxdxaxsecxCcscxCCxdxadxxdx221a1arctglnlnxaCCCxaxaaxaxxadxaxlna222a12ashxdxchxdx2chxCshxCln(xxa)C2222ax2arcsinCdxxa222Insin02nxdxcosxdx0nn1naaa2In2xa)CxaxaC22222u1uxadxxadxaxdx22222x2x2x2xaxaax22222222ln(xlnxarcsin22C2三角函数的有理式积分：

sinx，　cosx21u1u2，　utg2x2，　dx2du1u2 一些初等函数： 两个重要极限：

ee2ee2shxchx2xxxx双曲正弦:shx双曲余弦:chx双曲正切:thxarshxln(xarchxln(xarthx12ln1x1xlimsinxx1xx01)e2.7182818284xlim(1xeeeexxxxx1）x1)2

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

-α

90°-α

90°+α

180°-α

180°+α

270°-α

270°+α

360°-α

360°+α

sin cos tg

-tgα

ctg

-ctgα -sinα cosα

cosα

cosα

sinα ctgα tgα

-sinα -ctgα -tgα

-ctgα

ctgα

sinα -cosα -tgα

-sinα -cosα tgα

-cosα -sinα ctgα tgα

-cosα sinα -ctgα -tgα

-sinα cosα

sinα cosα

-tgα

tgα

-ctgα

ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1tgtgctgctg1ctgctgsinsin2sinsinsin2cos2cossin222coscos2coscoscos2sin2cossin2ctg()22 ·倍角公式：

sin22sincoscos22cos112sincossinctg2tg2ctg12ctg2tg1tg222222sin33sin4sincos34cos3costg33tgtg13tg2333

·半角公式：

sintg21cos21cos1cosasinA　　　　　　　　　　1cossinbsinB　　cos　　ctg21cos21cos1cos1cossinsin1cos2sin1cos2

·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx2arccosx　　　arctgxcsinC2R ·余弦定理：cab2abcosC

2222arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

n(uv)u(n)Ck0knu(nk)v(k)(n)vnu(n1)vn(n1)2!u(n2)vn(n1)(nk1)k!

u(nk)v(k)uv(n)中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f()F()拉格朗日中值定理。f(b)f(a)F(b)F(a)

当F(x)x时，柯西中值定理就是曲率： 弧微分公式：平均曲率：Kdss1ydx,其中ytg.:从M点到M点，切线斜率的倾角变sddsy(1y)232化量；s：MM弧长。M点的曲率：直线：K0;Klims0.

半径为a的圆：K1a.定积分的近似计算：

b矩形法：f(x)abban(y0y1yn1)梯形法：f(x)abba1[(y0yn)y1yn1]n2ba3n[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]

抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：

功：WFs水压力：FpA引力：Fkm1m2r2,k为引力系数1bab

函数的平均值：y1babaf(x)dx均方根：af(t)dt2空间解析几何和向量代数： 空间2点的距离：向量在轴上的投影：dM1M2(x2x1)(y2y1)(z2z1)222PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1a2)Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量两向量之间的夹角：cosk,axbxaybyazbzaxayazbxbybz222222icabaxbxjaybyaz,cabsin.例：线速度：bzaybycyazbzczvw向量的混合积：[abc](ab)cbxcx代表平行六面体的体积。abccos,为锐角时，

平面的方程：1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)AxByCzD0xaybzc1dAx0By0Cz0DABC空间直线的方程：2222、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：xx0mtxx0yy0zz0t,其中s{m,n,p};参数方程：yy0ntmnpzzpt02222二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：xaxa2222xa222yb2zc1xy2p2qz（,p,q同号）ybyb2222zczc22221（马鞍面）1

多元函数微分法及应用 全微分：dzzxdxzydy　　　duuxdxuydyuzdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法zdzfx(x,y)xfy(x,y)y：dzzuzvzf[u(t),v(t)]　　　　dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]　　　　xuxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，duuxdxuydy　　　dvvxdxvydy　隐函数的求导公式：FFFdydydy隐函数F(x,y)0，　　x，　　2(x)＋(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)0，　，　　xFzyFzFF(x,y,u,v)0(F,G)隐函数方程组：　　　JuG(u,v)G(x,y,u,v)0uuxuy1(F,G)v1(F,G)　　　　J(x,v)xJ(u,x)1(F,G)v1(F,G)　　　　J(y,v)yJ(u,y)FvFuGGuvFvGv2

微分法在几何上的应用：

x(t)xx0yy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：(t0)(t0)(t0)z(t)在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FzGzGz,FzFxGx,FxGxFyGyFyF(x,y,z)0,则切向量T{GyG(x,y,z)0}曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0xx0Fx(x0,y0,z0)yy0Fy(x0,y0,z0)zz0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度： 函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中为x轴到方向l的转角。l的方向导数为：flfxcosfysin函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)它与方向导数的关系是单位向量。l多元函数的极值及其求法：

f是gradf(x,y)在l上的投影。ffijxyf：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的l设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值ACB0时，　　　　　　无极ACB20时,　　　　　　　不确定

重积分及其应用：

Df(x,y)dxdyDf(rcos,rsin)rdrdzz1dxdyxy22曲面zf(x,y)的面积ADx平面薄片的重心：xMMx(x,y)dD(x,y)dD,　　yMMyDDy(x,y)d(x,y)dD平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于Fxf对于x轴IxDy(x,y)d,　　对于y轴Iy2x(x,y)d2xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：，　　Fyf3D(x,y)xd222D(x,y)yd222，　　Fzfa3D(x,y)xd3(xya)2(xya)2(xya)2222柱面坐标和球面坐标： xrcos柱面坐标：yrsin,　　　f(x,y,z)dxdydzzz其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)F(r,,z)rdrddz,xrsincos2球面坐标：yrsinsin，　　dvrdrsinddrrsindrddzrcos2r(,)f(x,y,z)dxdydz1MF(r,,)rsindrdd1M2dd00F(r,,)rsindr02重心：x转动惯量：xdv,　　yydv,　　z1M2zdv，　　其中Mx22dvIx(yz)dv，　　Iy22(xz)dv，　　Iz2(xy)dv曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(t),则：y(t)Lf(x,y)dsxt22f[(t),(t)](t)(t)dt　　()　　特殊情况：y(t)第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为标的曲线积分）：x(t)，则：y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：(D系：PdxQdyL(PcosLQcos)ds，其中和分别为的方向角。)dxdyQxPyPdxQdy格林公式：(LDQxPy)dxdy12PdxLQdyQP当Py,Qx，即：2时，得到D的面积：Axy·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在Qx＝Py注意方向相反！：，且Qx无关的条件：DdxdyxdyLydx＝Py。注意奇点，如(0,0)，应时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设(x0,y0)x0y00。

曲面积分：

对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：f(x,y,z)dsDxyf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)zy(x,y)dxdy22P(x,y,z)dydzDxyQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，其中：号；号；号。QcosRcos)dsR(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正DyzP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(Pcos高斯公式： (PxQyRz)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式的物理意义——通量与散度：div0,则为消失...PQR散度：div,即：单位体积内所产生的流体质量，若xyz通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

(RyQz)dydz(PzRx)dzdx(dzdxyQQxPy)dxdycosxPPdxQdyRdzcoszR上式左端又可写成：dydzxPdxdyzRRycosyQ空间曲线积分与路径无ixPjyQ关的条件：kzRQPRQP，　，　zzxxy

旋度：rotA向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzAtds常数项级数：

等比数列：1qqq等差数列：123n调和级数：112131n2n11qn1q(n1)n2

是发散的级数审敛法： 1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：设：limnn1时，级数收敛un，则1时，级数发散1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛Un1设：lim，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发n

散。交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法如果交错级数满足unun1limu0，那么级数收敛且其和nn——莱布尼兹定理：su1,其余项rn的绝对值rnun1。绝对收敛与条件收敛：

(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：　　级数：1nn发散，而收敛；ｐ１时发散　　p1时收敛收敛级数；(1)为条件收敛级数。n

(1)n收敛；12　　p级数：1np幂级数： 1xxxx　　23nx1时，收敛于x1时，发散11x对于级数(3)a0a1x　a2xanx，如果它不是仅在原点xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使2n收敛，也不是在全xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定0时，R求收敛半径的方法：设liman1an，其中an，an1是(3)的系数，则1n0时，R时，R0函数展开成幂级数：

函数展开成泰勒级数：余项：Rnf(n1)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)n1f(x0)2!(xx0)2f(n)(x0)n!(xx0)n()(n1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f(0)2!2充要条件是：limRn0nx00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxf(n)(0)n!xn一些函数展开成幂级数：

(1x)m1mxx3m(m1)2!xn12m(m1)(mn1)n!x　　　(1x1)nsinxx3!x55!(1)x2n1

(2n1)!　　　(x)欧拉公式：

ixixeecosx2cosxisinx　　　或

ixixsinxee2eix三角级数：

f(t)A0An1nsin(ntn)a02(an1ncosnxbnsinnx)其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积上的积分＝0。在[,]

傅立叶级数： f(x)a02(an1ncosnxbnsinnx)，周期21an其中1bn1　122f(x)cosnxdx　　　(n0,1,2)f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)13214215216228112221332144226（相加）224121212122（相减）12正弦级数：an0，bn20f(x)sinnxdx　　n1,2,3　f(x)ba02nsinnx是奇函数余弦级数：bn0，an0f(x)cosnxdx　　n0,1,2　f(x)ancosnx是偶函数

周期为2l的周期函数的傅立叶级数： f(x)a02n1(ancosnxlbnsinnxl)，周期2ll1nxaf(x)cosdx　　　(n0,1,2)nlll其中l1nxbnf(x)sindx　　　(n1,2,3)lll

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：可分离变量的微分方程g(y)dyyxf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。程可以写成dudx，ududxdydxf(x,y)(x,y)，即写成dxxduyx的函数，解法：yx代替u，齐次方程：一阶微分方设u，则dydxux(u)，(u)u分离变量，积分后将即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程：dydxP(x)yQ(x)P(x)dxyCe当Q(x)0时,为齐次方程，当Q(x)0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：dydxy(Q(x)enP(x)dxdxC)eP(x)dx

P(x)yQ(x)y，(n0,1)全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：u(x,y)C应该是该全微分方程的通解。u分方程，即：uP(x,y)，Q(x,y)

xy二阶微分方程：

dydx22P(x)dydxQ(x)yf(x)，f(x)0时为齐次f(x)0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()rprq0，其中r，r的系数及常数项恰好是2、求出()式的两个根r1,r222(*)式中y,y,y的系数；3、根据r1,r2的不同情况，按下表写r1，r2的形式

出(*)式的通解：

(*)式的通解

两个不相等实根(p24q0)

两个相等实根(p24q0)

一对共轭复根(p24q0)

r1i，r2iyc1er1xc2er2x

y(c1c2x)eyexr1x(c1cosxc2sinx)

p2，4qp22

二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)ePm(x)型，为常数；f(x)e[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型xx