新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元学习评价卷【含答案】

2024年1月15日发(作者：转本2015数学试卷)

苏科新版八年级上册数学《第3章

勾股定理》单元学习评价卷

一．选择题

1．直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（ ）

A．4

B．5

C．6

D．10

2．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（ ）

A．1：2：1

B．1：：1

C．1：4：1

D．12：1：2

3．已知四个三角形分别满足下列条件：

①一个内角等于另外两个内角之和；

②三个内角之比为3：4：5；③三边长分别为7，24，25；

④三边之比为5：12：13．

其中能判定是直角三角形的有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．下列各组数是勾股数的是（ ）

A．3，4，5

B．1.5，2，2.5

C．32，42，52

D．，，

5．两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）

A．100cm

B．50cm

C．140cm

D．80cm

6．在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（ ）

A．25°

B．55°

C．65°

D．75°

7．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若ab＝8，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

8．如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（ ）

A．30°

B．40°

C．50°

D．60°

9．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）

A．a＝2，b＝3．c＝4

C．a＝5，b＝12，c＝13

B．a＝5，b＝6，c＝8

D．a＝7，b＝15，c＝12

10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（ ）

A．20°

二．填空题

B．30°

C．40°

D．50°

11．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为24，则AD的长为

．

12．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为

cm2．

13．如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯

米．

14．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为

°．

15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B＝

．

16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B＝

．

17．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为

度．

18．把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另C，D在同一直线上，一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B，若AB＝则BD＝

．

，

19．已知直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，将满足a2+b2＝c2的一组正整数称为“勾股数组”，记为（a，b，c），其中a≤b＜c．事实上，早在公元前十一世纪，中国古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为（3，4，5）．类似的勾股数组还有很多…．例如：（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61）84，85），（13，，…．如果a＝2n+1（n为正整数），那么b+c＝

．（用含n的代数式表示）

20．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为

cm2．

三．解答题

21．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．

22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC延长线上一点，AD＝AB，求证：∠BAD＝2∠ACB．

23．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．

（1）求∠DCE的度数．

（2）若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC．

24．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．

（1）当t为何值时，M、N两点重合；

（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．

①当t为何值时，△AMN是等边三角形；

②当t为何值时，△AMN是直角三角形；

（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．

25．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了

证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任

选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有

个；

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）

①a2+b2+c2+d2＝

；

②b与c的关系为

，a与d的关系为

．

26．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论．

27．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．

（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．

，则

参考答案与试题解析

一．选择题

1．解：由勾股定理得：斜边长为：故选：B．

2．解：设三个角的度数分别为x，2x，x，

∴根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45°，45°，90°，

∴这个三角形是等腰直角三角形，

∴斜边等于直角边的倍，

：1．

＝5．

∴相对应三边之比为1：故选：B．

3．解：①设两个较小的角为x，则2x+2x＝180°，则三角分别为45°，45°，90°，故是直角三角形；

②设较小的角为3x，则其于两角为4x，5x，则三个角分别为45°，60°，75°，故不是直角三角形；

③因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

④因为52+122＝132符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．

所以有三个直角三角形，故选：C．

4．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；

B、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；

C、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形，故不是勾股数；

D、（）2+（）2＝（

）2，不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数．故选：A．

5．解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，

∵正北方向和正东方向构成直角，

∴由勾股定理得∴其距离为100cm．

故选：A．

6．解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，

＝100，

∴另一个锐角的度数是90°﹣25°＝65°．

故选：C．

7．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，

∵每一个直角三角形的面积为： ab＝×8＝4，

∴4×ab+（a﹣b）2＝52，

∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，

∵正方形的边长a﹣b＞0，

∴a﹣b＝3，

故选：C．

8．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠A＝30°，

∵CD∥AB，

∴∠1＝∠A，

∴∠1＝30°，

故选：A．

9．解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

B、∵52+62≠82，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

C、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；

D、∵72+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．

故选：C．

10．解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝20°，

∴∠ABC＝40°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，

∵CD∥AB，

∴∠ACD＝∠A＝50°，

故选：D．

二．填空题

11．解：由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、BG、CH的中点，

且AE＝EH＝DH＝HG＝CG＝FG＝BF＝EF＝BE，

∴S△AEH＝S△DHG＝S△CGF＝S△BFE＝∴S阴影＝3×S正方形EFGH＝24，

∴S正方形EFGH＝8，

∴EH＝DH＝∴DE＝2EH＝4，

，

，

又∠AED＝90°，

∴故答案为：2＝．

＝＝．

12．解：设三边分别为5x，12x，13x，

则5x+12x+13x＝60，

∴x＝2，

∴三边分别为10cm，24cm，26cm，

∵102+242＝262，

∴三角形为直角三角形，

∴S＝10×24÷2＝120cm2．

故答案为：120．

13．解：根据勾股定理，楼梯水平长度为则红地毯至少要12+5＝17米长，

故答案为：17．

14．解：连接AC，

由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，

BC2＝22+12＝5，

AB2＝12+32＝10，

∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，

∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°，

＝12米，

故答案为：45．

15．解：∵∠C＝90°，∠A＝65°，

∴∠B＝90°﹣65°＝25°．

故答案为：25°．

16．解：∵∠C＝Rt∠，∠A＝70°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．

故答案为：20°．

17．解：设较小锐角为x度．

由题意：4x+x＝90，

解得x＝18，

故答案为18．

18．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，

在Rt△ABC中，∠B＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝BC＝1，

∵两个同样大小的含45°角的三角尺，

∴AD＝BC＝2，

在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝∴BD＝BF+DF＝1+故答案为：1+．

，

＝，

19．解：方法1：观察“勾股数组”（a，b，c），当a为奇数时，c＝b+1，

又a＝2n+1（n为正整数），

由勾股定理可得：c2﹣b2＝（2n+1）2，即（b+1）2﹣b2＝（2n+1）2，

解得b＝2n2+2n，

∴c＝2n2+2n+1，

∴b+c＝4n2+4n+1，

故答案为：4n2+4n+1．

方法2：观察“勾股数组”（a，b，c），当a为大于1的正奇数时，有如下规律：32＝4+5，52＝12+13，72＝24+25，…，a2＝b+c，

∴当a＝2n+1时，b+c＝（2n+1）2．

20．解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，

则由勾股定理得：a2+b2＝c2，

则分别以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2＝7cm2+8cm2＝15cm2，

以斜边c为边长的正方形的面积是S＝c2＝a2+b2＝15cm2，

故答案为：15．

三．解答题

21．证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝90°＝∠ACB．

∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，

∴∠ACD＝∠B．

22．证明：∵AD＝AB，

∴∠B＝∠D，

设∠B＝∠D＝α，

∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣α，

∴∠BAD＝2∠ACB．

23．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB于D，

∴∠DCB＝90°﹣∠B＝60°．

∵CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，

∴∠ECB＝∠ACB＝45°，

∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝60°﹣45°＝15°；

（2）∵∠CEF＝135°，∠ECB＝∠ACB＝45°，

∴∠CEF+∠ECB＝180°，

∴EF∥BC．

24．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，

x×1+6＝2x，

解得：x＝6，

即当M、N运动6秒时，点N追上点M；

（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，

AM＝t，AN＝6﹣2t，

∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形

∴t＝6﹣2t，

解得t＝2，

∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．

②当点N在AB上运动时，如图3，

若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，

∴AN＝6﹣2t，

∵∠A＝60°，

∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，

解得t＝；

如图3，若∠ANM＝90°，

由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，

解得t＝．

s时，△AMN是直角三角形；

综上所述，当t为或（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，

由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图4，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN＝AM，

∴∠AMN＝∠ANM，

∴∠AMC＝∠ANB，

∵AB＝BC＝AC，

∴△ACB是等边三角形，

∴∠C＝∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，

∴△ACM≌△ABN（AAS），

∴CM＝BN，

∴t﹣6＝18﹣2t，

解得t＝8，符合题意．

所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．

25．解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．

（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）

②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．

即c2＝ab×4+（b﹣a）2，

化简得：a2+b2＝c2．

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，

化简得：a2+b2＝c2．

在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．

即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，

化简得：a2+b2＝c2．

（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；

故答案为3；

②结论：S1+S2＝S3．

∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，

∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，

∴a2+b2＝c2．

∴S1+S2＝S3．

（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；

②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．

故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．

26．解：（1）点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系是OA＝OB＝OC；

（2）△OMN的形状是等腰直角三角形，

证明：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，

∴OA＝OB＝OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，

∴∠AOB＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠BAO＝∠CAO＝45°，

∴∠CAO＝∠B，

在△BOM和△AON中

∵，

∴△BOM≌△AON（SAS），

∴OM＝ON，∠AON＝∠BOM，

∵∠AOB＝∠BOM+∠AOM＝90°，

∴∠AON+∠AOM＝90°，即∠MON＝90°，

∴△OMN是等腰直角三角形．

27．解：（1）是．

理由：∵AM2+BN2＝22+（2∴AM2+NB2＝MN2，

∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．

故点M、N是线段AB的勾股分割点．

（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，

①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，

即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；

）2＝16，MN2＝42＝16，

②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．

即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝综上所述BN的长为或．

．