2018全国卷3文科数学试题及参考答案

2023年12月2日发(作者：新考高数学试卷)

绝密★启用前

试题类型：新课标Ⅲ

2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学参考答案

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合Ax|x10，B0,1,2，则AA．0B．1C．1,2D．0,1,2

【答案】C

【解析】A:x1，A【考点】交集

2．1i2i( )

A．3iB．3iC．3iD．3i

【答案】D

2【解析】1i2i2ii3i

B( )

B1,2

【考点】复数的运算

3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

1 / 13 俯视方向

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案至少能看见小长方体的左面和前面，D答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失

【考点】三视图

4.若sin1，则cos2( )

3A．8778B．C．D．

9999【答案】B

【解析】cos212sin2【考点】余弦的二倍角公式

5.某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )

A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7

【答案】B

【解析】10.450.150.4

【考点】互斥事件的概率

6.函数fx7

9tanx的最小正周期为( )

1tan2x2 / 13 A．B．C．D．2

42【答案】C

tanxtanxcos2x1fxsinxcosxsin2xxk【解析】，2221tanx1tan2xcos2xT2(定义域并没有影响到周期)

2【考点】切化弦、二倍角、三角函数周期

7.下列函数中，其图像与函数ylnx的图像关于直线x1对称的是

A．yln1xB．yln2xC．yln1xD．yln2x

【答案】B

【解析】采用特殊值法，在ylnx取一点A3,ln3，则A点关于直线x1的对称点为A\'1,ln3应该在所求函数上，排除A，C，D

【考点】函数关于直线对称

28．直线xy20分别与x轴、y轴交于点A,B两点，点P在圆x2y22上，则ABP面积的取值范围是( )

A．2,6B．4,8C．2,32D．22,32

【答案】A

【解析】A2,0,B0,2，AB22，可设P22cos,2sin，则dPAB42sin4

222sin2,32421ABdPAB2dPAB2,6

2SABP注：dPAB的范围也可以这样求：设圆心为O，则O2,0，故，而dOAB422，dPAB2,32

dPABd2,d2OABOAB2【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数)

3 / 13 429．yxx2的图像大致为( )

y1A.O1y1xB.O1xyC.1O1D.y1O1

xx【答案】D

32【解析】f12，排除A、B；y\'4x2x2x12x，故函数在0,除C

2单增，排2【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)

x2y210.已知双曲线的C:221a0,b0的离心率为2，则点4,0到C的渐近线的ab距离为

A．2B．2C．【答案】D

32D．22

2cb2【解析】e122ab

aa渐近线为xy0

故d4222

【考点】双曲线的离心率、渐近线之间的互相转化

4 / 13 222abc11.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ABC的面积为，则4C( )

A．B．C．D．

2346【答案】C

【解析】SABC1a2b2c2a2b2c2，而cosC

absinC242ab故absinC122abcosC1abcosC，C

424【考点】三角形面积公式、余弦定理

12.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC的体积最大值为( )

A．123B．183C．243D．543

【答案】B

【解析】如图，O为球心，F为等边ABC的重心，

易知OF底面ABC，当D,O,F三点共线，

OD即DF底面ABC时，三棱锥DABC的高最大，体积也最大. 此时：

FAECABC等边AB6，

SABC93在等边ABC中，BFB23BEAB23，

33在RtOFB中，易知OF2，DF6，故VDABCmax936183

【考点】外接球、椎体体积最值

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知向量a1,2，b2,2，c1,. 若c//2ab，则_______.

135 / 13 【答案】1

2【解析】2ab4,2，故24

【考点】向量平行的坐标运算

14. 某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方式有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方法是______.

【答案】分层抽样

【解析】题干中说道“不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异”，所以应该按照年龄进行分层抽样

【考点】抽样方法的区别

2xy30115.若变量x,y满足约束条件x2y40，则zxy的最大值是_________.

3x20【答案】3

【解析】采用交点法：(1)(2)交点为2,1，(2)(3)交点为2,3，(1)(3)交点为2,7

分别代入目标函数得到，3，，故最大值为3(为了严谨可以将最大值点2,3代入方程(1)检验一下可行域的封闭性)

本题也可以用正常的画图去做

【考点】线性规划

16. 已知函数fxln【答案】2

【解析】令gxln53131x2x1，fa4，则fa_______.

1x2x，则gxln1x2xgx，

faga14，而faga1ga12

【考点】对数型函数的奇偶性

6 / 13 三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17. (12分)

等比数列an中，a11,a54a3.

(1)求an的通项公式；

(2)记Sn为an的前n项和. 若Sm63，求m.

n1【答案】(1)an2或an2n1；(2)m6

n12n1【解析】(1)a54a3a3q，q2，an2或an2

(2) 当q2时，Sm1121mm63，解得m6

m当q2时，Sm综上：m6

112363，得2188无解

【考点】等比数列通项公式与前n项和公式

18. (12分)

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

第一种生产方式

9

7 6 5 4

2 1

6

7

8

9

第二种生产方式

8 9

2 3 4 5

5

9 8 7

8

7 6 2

3 3 2

1 0 0

5 5 6

0 1 2

1 4 4

0

6 6 8

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m 不超过m

7 / 13 第一种生产方式

第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

nadbc附：K，

abcdacbd22PK2k 0.050 0.010 0.001

k

3.841 6.635 10.828

【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；

【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min之间，而第一组数据集中在80min~90min之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上68727677798283838485868787888990909191928420同理E274.7，E2E1，故第二组生产方式效率更高

E1(2)由茎叶图可知，中位数m

第一种生产方式

第二种生产方式

798180，且列联表为：

2超过m

15

5

不超过m

5

15

(3)由(2)可知K24015252220202020106.635，

故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异

【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验

19．(12分)

如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是CD上异于C,D的点．

(1)证明：平面AMD平面BMC；

(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC//平面PBD？说明理由.

8 / 13 MDC

AB【答案】(1)见解析；(2)P为AM中点

ABCDCDMBCDCMBCDMBCCD【解析】(1)DMBMCADNBMC

MCDM(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)

(2)当P为AM的中点时，MC//平面PBD. 证明如下

连接BD，AC交于点O，易知O为AC中点，取AM中点P，连接PO，则PO//AC，又MC平面PBD，PO平面PBD，所以MC//平面PBD

MDPCO

AB【考点】面面垂直的判定、线面垂直、存在性问题

20. (12分)

x2y2已知斜率为k的直线l与椭圆C:1交于A,B两点，线段AB的中点为43M1,mm0.

(1)证明：k1；

2(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0. 证明2FPFAFB.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

9 / 13 x12y12143【解析】(1) 点差法：设Ax1,y1,Bx2,y2，则2相减化简可得：

2x2y2134y1y2y1y233，kOMkAB(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接x1x2x1x2443111m2用)，易知中点M在椭圆内，代入可得k或k，又m0，m，1，434k221k0，综上k

2x2y213联立法：设直线方程为ykxn，且Ax1,y1,Bx2,y2，联立4可得，

ykxn8knxx124k236n222yykxx2n，

4k3x8knx4n120，则1212224k3xx4n12124k234knx1M34k23，两式相除可得m，后续过程和点差法一样(如果用算的话比3n4kymM4k23较麻烦)

214m(2)

FPFAFB0，FP2FM0，即P1,2m，1，4337mm0k1,nmk，

44由(1)得联立后方程为7x214x10，

4ca2ca2cFAFBx1x22ax1x23(椭圆的第二定义)

acaacx12x21代入椭圆方程消掉y1 (或者FAx11yx1131422212同理FB2x2xx2，FAFB413)

22而FP3

210 / 13 FAFB2FP

【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、向量的坐标运算、利用椭圆方程消y1,y2

21. (12分)

ax2x1已知函数fx.

ex(1)求曲线yfx在点0,1处的切线方程；

(2)证明：当a1时，fxe0.

【答案】(1)2xy10；(2)见解析

【解析】(1)f\'xax22a1x2ex,f\'02

因此曲线yfx在点0,1处的切线方程为：2xy10

2x1ex(利用不等式消参) (2) 当a1时，fxexx1e2x1x1x1令gxxx1e则g\'x2x1e，g\'\'x2e0，

g\'x单调增，又g\'10，

故当x1时，g\'x0，gx单减；当x1时，g\'x0，gx单增；

故gxg10

因此fxe0

【考点】切线方程、导数的应用

(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. 选修44：坐标系与参数方程(10分)

xcos在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点0,2且ysin倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.

(1) 求的取值范围；

11 / 13 (2) 求AB中点P的轨迹的参数方程.

x2sin23,【答案】(1),；(2)2244cos2y22【解析】(1)当34,4

时，直线l:x0，符合题意；

22k12当2时，设直线l:ykx2，由题意得d1，即k,11,，又ktan，,423综上，,

4432,4

xtcos3(2)可设直线参数方程为4,4，代入圆的方程可得：

y2tsint222tsin10

tPt1t22sin

2x2sincos34,4

y22sinsin2sin2x,2即点P的轨迹的参数方程为y2cos234,4

(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况)

【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程

23. 选修45：不等式选讲(10分)

已知函数fx2x1x1.

(1)画出yfx的图像；

12 / 13 (2)当x0,时，fxaxb，求ab的最小值.

【答案】(1)见解析；(2)5

13x,x21【解析】(1)fxx2,x1，图象如下

23x,x1y321.5-0.5O1

x(2)由题意得，当x0时，axb的图象始终在fx图象的上方，结合(1)中图象可知，a3,b2，当a3,b2时，ab最小，最小值为5，

【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题

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