高等数学A,B教学大纲

2024年1月24日发(作者：怎样写数学试卷检讨)

高等数学A,B教学大纲

《高等数学A、B》教学大纲

英文课程名称：Higher Mathematics

课程代码：

课程类别：专业基础课

学时：84+86；84+72

学分：5.0+5.5；5.0+4.0

开课学期：第一、第二学期

适用专业：理工科（非数学类）专业本科学生

考核方式：笔试

先修课程：初等数学

开课单位：数学科学学院

一、课程简介

高等数学是高等院校理工科类开设的一门公共专业基础必修课。主要内容包括函数、极限与连续、导数、微分、微分中值定理及导数的应用、不定积分、定积分及其应用、空间解析几何与向量代数、多元函数的微分法及应用、二重积分与三重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数及微分方程等，是后续数学课程和专业课程的重要基础。

二、教学基本要求与内容安排

（一）教学目与要求

通过本课程的教学，使学生获得一元微积分学、多元微积分学、空间解析几何与向量代数、无穷级数、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，具备应用高等数学的思想方法处理相应专业问题的能力，并具有一定的分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程和进一步学习其它课程奠定必要的数学基础。

第一章函数与极限

1.了解邻域的概念，巩固对函数概念的理解和函数性质的了解。

2.理解复合函数的概念，了解反函数及初等函数的概念。

3.会建立简单实际问题中的函数关系式。

4.理解极限的描述性概念及其意义、函数左右极限的概念及其关系。

5.掌握极限的运算法则，了解极限的性质，会用变量代换求简单复合函数的极限。

6.了解极限存在的两个准则，会用两个重要极限求极限。

7.了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。

8.理解函数连续的概念；了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。

9.了解初等函数的连续性，并会用初等函数的连续性求极限。

10.了解闭区间上连续函数的介值定理与最值定理，并会应用这些性质。

11.会利用极限知识解决一些实际应用问题。

第二章一元函数微分学

1.理解导数的概念及其几何意义、物理意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。

3.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。会求的复合函数导数

4.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。

5.了解高阶导数的概念，掌握简单函数一阶、二阶导数的求法。

6.了解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。

7.了解并会用罗尔定理和拉格朗日定理。

8.会用洛必达法则求不定式的极限。

9.掌握用导数判断函数的单调性、函数图形的凹凸性，会求拐点。

10.理解函数的极值概念，掌握用导数求极值的方法。会求解较简

单的最大值与最小值的应用问题。

11.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

第三章一元函数积分学

1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式以及求不定积分的换元法与分部积分法，并会求不定积分（淡化特殊积分技巧的训练，对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练）。

2.理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质和积分中值定理。理解变上限的积分作为其上限的函数，会求其导定理，掌握牛顿－莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式。

3.掌握求定积分的换元法与分部积分法，并会运用这些方法计算定积分。

4.掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式。

5.了解两类反常积分及其收敛性的概念，会计算反常积分。

6.了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）的思想。 第四章 常微分方程

1.了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。

2.掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法。

3.会解齐次方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的的思想。

4.会用降阶法求下列三种类型的高阶方程：()(),n y f x =(,)y f x y

\'\'=，

(,)y f y y \'\'\'=。

5.理解二阶线性微分方程解的结构。

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

7.会求自由项形如()x n P x e α，(cos sin )x e A x B x αββ+的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中()n P x 为实系数n 次多项式，,,,A B αβ为实数。

8.会通过建立微分方程模型，解决一些简单的实际问题。 第五章

向量代数与空间解析几何

1.加深对向量概念的理解，巩固向量的线性运算及数量积运算 。

2.理解方向余弦与投影的概念。

3.掌握向量的向量积几何与坐标运算。

4.会求平面方程及平面与平面的夹角。

5.会求空间直线方程及直线与直线、直线与平面的夹角，会求点到直线、点到平面的距离。并会利用它们的关系解决有关问题。

6.了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

7.识别常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转面的方程。

8.了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

第六章多元函数微分学

1.理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解二元函数偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。

4.掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数（对于求抽象复合函数的二阶导数，只要求作简单训练）。

5.会求隐函数（包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数）的一阶偏导数（对求二阶偏导数不作要求。

6.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

7.了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。

8.理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，掌握求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。

第七章重积分

1.理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。

2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），

3.了解三重积分的概念，会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标，*球面坐标）。

4.会利用知识计算曲面的面积、质心和转动惯量。

第八章曲线积分与曲面积分

1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关

系，会计算两类曲线积分（对于空间曲线积分的计算只作简单训练）。

2.掌握格林公式，会使用平面线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数，了解第二类平面线积分与路径无关的物理意义。

3.了解两类曲面积分的概念、相互联系及其计算方法。

4.了解高斯公式，斯托克斯公式（斯托克斯公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求）。

5.了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。

第九章 无穷级数

1.了解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。

2.理解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p -级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。

3.理解交错级数的莱布尼茨定理，会判定交错级数的收敛性。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。

4.了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求幂级数的和函数。

5.会利用x e ，sin x ，cos x ，ln(1)x +与(1)x α+的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成幂级数。

6.了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。

7.了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件，会将定义在(π,π)-和(,)l l -上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在

(0,)l 上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数。

（二）教学内容安排

（教学要求：A—熟练掌握；B—理解或掌握；C—了解或会）

注：第二学期72课时删去其中*号部分

三、成绩考核

该课程的考核方式为笔试；平时成绩占50%，期末成绩占50%；平时成绩评定包含出勤、课堂表现、作业、期中考核等方面。

四、推荐教材和主要参考书：

教材：同济大学数学系编，高等数学及其应用（上、下）册[M],北京：高等教育出版社，2008.06

主要参考书目：

[1]同济大学应用数学系主编，高等数学（第六版）[M]，北京：高等教育出版社，2006.

[2]Finney，Weir，Giordano,托马斯微积分(第10版)[M]，北京：高等教育出版社，2003.

[3]同济大学应用数学系：高等数学习题集[M]，北京：高等教育出版社，1996. 制订人（签字）：王国军审核人（签字）：杨慧卿日期：2013年1月