2019年河南省普通专升本高等数学真题及答案

2023年12月3日发(作者：北师大五升六数学试卷)

2019年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共60分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数f(x)ln(1x2x)在定义域内是(A．不确定奇偶性C．非奇非偶函数【答案】D【解析】因为函数fx定义域为R，且1xx22fxlnln1xxln1xxfx，所以fx为奇函数．21xx22)B．偶函数D．奇函数2．函数f(x)的定义域为[1,e]，则f(ex)的定义域是(A．0,1【答案】BB．0,1)D．0,1C．0,1【解析】由题可知fex中有1exe，解得0x1，所以fex的定义域为0,1．3．曲线y1312xx6x1在(0,1)处的切线与x轴的交点坐标为(32)D．1,01A．(,0)6B．0,11C．(,0)6【答案】A【解析】切线斜率kyx0x2x6x06，则切线方程为y16x0,即y6x1，令y0得x11，故切线与x轴的交点坐标为(,0)．6614．当x0时，31ax21与A．【答案】A12x等价，则a(2)32B．232C．12D．23【解析】因为当x0时，1ax1~32312ax，则312ax321ax13limlima1，所以a．11x0x032x2x22232n4n2(5．极限lim2n3n5n4)B．A．1【答案】D34C．25D．43324232n4n4nnlim．【解析】lim254n3n5n4n332nn26．极限limA．sin4x(x05x)B．5415C．45D．1【答案】C【解析】limsin4x4x4lim．x0x05x5x527．当x0时，e2x1是x2的(A．高阶C．等价【答案】D【解析】当x0时，e2x22)无穷小B．低阶D．同阶非等e2x12x22，则limlim221，故当x0时，1~2x2x0x0xx22e2x1是x的同阶非等价无穷小．2alnx,x1()fx8．已知函数在x1处连续，则a(21,1axx)D．3A．1【答案】AB．1C．0【解析】因为函数fx在x1处连续，且limfxlimalnxaf1,limfxlim2ax12a1，x1x1x1x1所以2a1a，故a1．1x,x19．设f(x)，则x1是其(cos,1xx2)B．可去间断点D．第二类间断点A．连续点C．跳跃间断点【答案】A【解析】因为函数fx在x1处有定义，且x0，所以x1是函数的连续点．x1x1x1x12f(ax)f(ax)()10．函数f(x)在xa处可导，则limx0xlimfxlim1x0f1limfxlimcosA．2fa【答案】A【解析】B．0C．faD．1fa2faxfaxfaxf(a)faxf(a)limx0x0xxfaxfafaxfalimlimx0x0xxfafa2fa.lim11．已知f(x)A．1【答案】Ax，则f1(1)(12x)C．B．113D．133【解析】由fx应选A．1xx111，故，可得到其反函数f(x)，故f11212x12x12．已知yxex，则dy(A．xexdxxC．1xedx)B．exdxxD．exdx【答案】C【解析】yexxex1xex，故dy1xexdx．x213．y的垂直渐近线为(1x)C．y1D．y1A．x1【答案】BB．x1【解析】由题意可知，令1x0，可得x1为其无定义点，故由定义可知x2lim，所以垂直渐近线是x1，故选B．x11x14．方程3x2sinx0(x)的实根个数为(A．0【答案】BB．1C．2)D．无数个则fx32cosx，由于1cosx1,132cosx5，【解析】设fx3x2sinx，故fx0，fx在,内单调递增，又因为f00，所以函数fx只有一个零点，即方程3x2sinx0只有一个实根．15．y1312xx2x1的拐点为(32)C．(0,0)D．(0,1)A．x0【答案】DB．(1,1)【解析】函数y2x3x1的定义域为R，y6x21,y12x，令y0得x0，且x0时，y0；x0时y0，所以函数的拐点为0,1．416．可导函数fx和gx满足g(x)f(x)，则下列选项正确的是(A．g(x)f(x)C．g(x)f(x)C)B．(g(x)dx)(f(x)dx)D．g(x)dxf(x)dx【答案】C【解析】由gxfx两边同取积分得gxfxC，再积分得gxdxfxCdxfxdxCdxfxdxCx，两边求导得gxdxfxdxCxfxdxC，故选C．17．计算不定积分112xdx()A．12ln12xCB．12ln(12x)CC．12ln12xCD．12ln(12x)C【答案】C【解析】112xdx111212xd12x2ln12xC．18．dbdxacostdt()A．cosbcosaB．0C．sinbsinaD．sinasinb【答案】B【解析】定积分的结果是一个确定的常数，常数求导是0，故选B．19．当k为何值时，0kxedx收敛()A．k0B．k0C．k0【答案】C5D．k0【解析】因为0ekx01dx发散,k0,1dx1收敛,k0,kx0ekk发散,k0,所以当k0时，0ekxdx发散；当k0时0ekxdx收敛，故选C．15120．若f(x)在(1,5)上可积，1f(x)dx1，1f(x)dx2，则53f(x)dx()A．2【答案】CB．2C．3D．3【解析】由定积分的性质，可知51fxdx11fxdx51fxdx，故f(x)dx1，即15153f(x)dx3f(x)dx313．5121．平面x2y7z10和平面5xyz50的位置关系为(A．重合C．平行【答案】BB．垂直D．相交但不垂直)【解析】平面x2y7z10的法向量n11,2,7，5xyz50的法向量n25,1,1，因为n1n20，所以两平面垂直．22．若a(6,x,4),b(y,2,2)，已知a//b，则x,y的值分别是()D．4,3A．4,3【答案】D【解析】因为a//b，所以B．3,4C．3,46x42，故x4,y3．y222z(23．已知zxln(xy)，则xy)A．xxy26B．yxy22xyC．xy2【答案】Bx2yD．xy2zx2z1xylnxy,【解析】．xxyxyxyxy2xy224．一元函数在某点处极限存在是在该点可导的(A．必要【答案】AB．充分)条件C．充要D．无关【解析】一元函数在某点处极限存在但在该点不一定可导；反之一元函数在某点处可导则在该点一定连续，进而在该点极限一定存在．2nnx的收敛区间为(25．级数n2n1)11A．,44【答案】B11B．,22C．1,1D．2,2an12nn2n1n22n2x的limlim2，所以级数【解析】因为limnann32nnn3n2nn1收敛半径R1111，故收敛区间为,．22226．已知L为xy0上从点(2,2)到点(2,2)上的一段弧，则A．2sin2【答案】A【解析】L:yx,x:22，则原式cosydx(L)B．2sin2C．2cos2D．cos2cosydxcosxdxsinxL22222sin2．27．已知(u2n1u2n)收敛，则(n1)limun0B．n7A．un收敛n0C．un敛散性不确定n0D．un发散n0【答案】C【解析】收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和.如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如，级数111111收敛于零，但级数1111却是发散的．28．yCex是yy0的(A．解【答案】A【解析】微分方程yy0的特征方程为r210，特征根为r11,r21，则微分方程的通解为yC1exC2ex．又因为yCex，yCex，yCex，所以把y,y代入方程可知，yCex满足微分方程yy0，即yCex是微分方程的解，但yCex只有一个任意常数，则yCex不是通解，不是特解，也不是所有解，故选A．29．若y2exx2x1，则y(520)(A．520ex【答案】B【解析】y2ex2x1，y2ex2，y2ex，，y(520)2ex，故选B．30．x2y21表示的二次曲面是(A．椭圆柱面C．双曲柱面【答案】C【解析】由方程特点可知，x2y21表示双曲柱面．)B．抛物面D．单叶双曲面B．2ex)C．2e520xD．0)C．特解D．所有解B．通解二、填空题(每小题2分，共20分)8331．极限lim1________．x3xx【答案】e333【解析】lim1lim1xx3x3xx3x3x33xex3xlim3xe3．32．微分方程y10y9y0的通解是________．【答案】yC1exC2e9x，C1,C2为任意常数【解析】特征方程为r210r90，特征根r11，r29，故通解为yC1exC2e9x，其中C1,C2为任意常数．33．设f(x1)2x3，则f(f(x)3)________．【答案】4x3【解析】f(x1)2x32(x1)1，f(x)2x1，故f(f(x)3)f(2x2)4x3．34．若f(x)(t1)dt，则f(x)的单调增区间是________．0x【答案】(1,)【解析】f(x)[(t1)dt]x1，令f(x)0，解得x1，故f(x)的单调增区间是x0(1,)．35．不定积分x1x2dx________．【答案】1x2C【解析】112dx(1x)2d(1x2)1x2C．221xx36．(x6sinxx2)dx________．23【答案】3【解析】因为x6sinx在区间[,]上为奇函数，x2在区间[,]上为偶函数，所以9由偶倍奇零，可得(xsinxx)dx216201xdx2x332023．337．交换积分次序dx0x20f(x,y)dy________．【答案】0dy11yf(x,y)dx2【解析】积分区域(x,y)0x1,0yx(x,y)0y1,yx1，则交换积分次1x211y序dx00f(x,y)dy0dyf(x,y)dx．38．zx2y2的全微分dz________．【答案】2xdx2ydy【解析】dz39．将f(x)【答案】n0zzdxdy2xdx2ydy．xy1展开成x2的幂级数为________．2x1n14(x2)n，x(6,2)【解析】1x211111()(x2)n,，其中1x21，1n2x4(x2)41x24n04n0444即x(6,2)．n1cos3txdy2________．的导数40．参数方程1dxysin3t2【答案】tantdy32sintcostdydt2tant．【解析】dxdx3cos2t(sint)dt2三、计算题(每小题5分，共50分)41．求不定积分xcosxdx．【答案】xsinxcosxC10【解析】xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC．12xxln42．求极限lim1．xx【答案】121t，则x111tlim11．t02(1t)2t2zz，．yx【解析】令tln(1t)11ln(1t)limxx2ln1limlimlimt0xt0xt0tt2t243．设方程xyxyz2x4y所确定的隐函数zz(x,y)，其中xy0，求zyyz2zxxz4【答案】，xxyyxy【解析】令F(x,y,z)xyxyz2x4y，则Fxyyz2，Fyxxz4，Fzxy，由于xy0，故FyFzyyz2zxxz4x，．xFzxyyFzxy32x,x0，求f(x2)dx．44．已知f(x)1x,x0【答案】253【解析】令x2t，则xt2，dxdt，当x1时，t3，当x3时，t1，故原式13f(t)dt03f(t)dt10f(t)dt032tdt10tdtt2032t2331025．33x2y10(9,8,5)且与直线平行的直线方程．45．求过点2yz10【答案】x9y8z5236ijk【解析】设所求直线的方向向量为s，由题意知s3202i3j6k(2,3,6)，02111又由于直线过点(9,8,5)，故所求直线的方程为x9y8z5．23646．计算xdxdy，其中D是由y1，yx，x2所围成的闭区域．D【答案】56【解析】由题意可知，积分区域D(x,y)1x2,1yx，故2x213122()xdxdydxxdyxxdxxx11123D215．6xn47．求幂级数n的收敛区间（不考虑端点）．n15(n1)【答案】(5,5)1an15n(n1)1limn1，所以收敛半径R5，故收敛区间【解析】因为limnan5(n2)5n(5,5)．48．求方程xyycosx(x0)的通解．【答案】y1(sinxC)，C为任意常数x1cosxy，由公式可得xx(sinxC)，C为任意常数．cosxdxC1x【解析】方程可化简为y111xdxcosxxdxedxC故yexx1332149．求yxx2x的极值．323【答案】在x1时，取得极大值11，在x2时取得极小值23【解析】函数的定义域为R，yx23x2(x1)(x2)，令y0，得x11，x22．列表，定义域被分为3个区间xyy(,1)10极大值12(1,2)20极小值(2,)综上，函数在x1时，取得极大值11，在x2时取得极小值．2350．求椭球面x22y23z29在点(2,1,1)处的切平面方程．【答案】2x2y3z90【解析】令F(x,y,z)x22y23z29，则Fx2x，Fy4y，Fz6z，所以切平面的法向量n(4,4,6)2(2,2,3)，又由于切平面过点(2,1,1)，故切平面的方程为2(x2)2(y1)3(z1)0，即2x2y3z90．四、应用题(每小题7分，共14分)51．曲线yx2，x2，y0所围图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．【答案】325yx2【解析】联立方程，解得交点(2,4)，由题意可知，x2Vx(x2)2dx025x52032．552．已知血液浓度C关于时间t的函数为C(t)0.03t0.04t20.004t3，求时间t为多少时血液浓度最大？（提示：0.007840.0885）【答案】7.02【解析】由题意可知，C(t)0.030.08t0.0012t2(t0)，令C(t)0.030.08t0.012t20，得t10.35(舍)，t27.02．故t7.02为唯一的驻点．又由于C(7.02)0.080.0127.020，故在t7.02处，取得极大值，由实际意义可知，在t7.02处，可取得最大值，即在t7.02处，血液浓度最大．五、证明题(6分)53．函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，f(a)a，f(b)b且f(x)0，证明：在(a,b)内至少存在一点，使得f()f()．【解析】令F(x)x，则F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(x)13F(x)f(x)xf(x)abF(a)1F(b)1，，又因为，f(a)f(b)[f(x)]2由罗尔定理知，至少存在一个点(a,b)，使得F()0，又f()0，所以f()f()0，即f()f()．14