2023年12月3日发(作者：上蔡县高考数学试卷)

深圳市沙井中学第二学期期末考试

高二数学试卷

第Ⅰ卷 （满分60分）

参考临界表

一、 选择题（共12个小题,每题5分,共60分）

1.“a1”是“复数z(a21)2(a1)i（aR）为纯虚数”的 （ ）

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

2. 在用反证法证明命题“已知a,b,c0,2，求证a2b，b2c，c2a不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( )

A．假设a2b，b2c，c2a都小于1

B．假设a2b，b2c，c2a都大于1

C．假设a2b，b2c，c2a都不大于1

D．以上都不对

3 ．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8,0.7，那么此系统的可靠性为( )

1 A．0.504 B．0.994 C．0.496

2D．0.06

4.为虚数单位，1iz1i，则z= （ ）

A. 1 B. 2 C.

2 D.

22

5. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为（ ）

A．14824 B. C. D.

15155156.下列说法:

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;

ˆ3-5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位; ②设有一个回归方程ｙ＝ˆˆ必过（x,y)

ˆbx+a③回归方程ｙ＝④有一个2×2列联表中,由计算得k2=13.079,则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系.其中错误的个数是( )

(A)0 ( B)1 (C)2 (D)3

7．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为( )

A． B．16335 C． D．

10568.函数f(x)excosx在点(0,f(0))处的切线斜率为（ ）

2 A．0 B．1 C． 1 D．

2

216ax－的展开式中含x29. 设a为函数y＝sin

x＋3cos

x(x∈R)的最大值，则二项式x项的系数是( )

A．192 B．182 C．－192 D．－182

10. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36

11.已知结论：在△ABC中，各边和它所对角的正弦比相等，即asinA＝bsinB＝csinC，若把该结论推广到空间，则有结论：在三棱锥A－BCD中，侧棱AB与平面ACD、平面BCD所成的角为α、β，则有( )

BCS△BCDS△ACDS△ACDS△BCD＝ B.＝ C.＝ D.＝

sinαsinβsinαsinβsinαsinβsinαsinβ

第Ⅱ卷 （满分90分）

二、 填空题（共计4题，每题5分，共20分）

13.设nN,x3n展开式的所有项系数和为256，则其二项式系数的最大值为_______.（用数字作答）

14.某水稻品种的单株稻穗颗粒数X服从正态分布N(200,102)，则P(X190)=__________．

(附：若Z～N(,2)，则P(Z)=0.6826，P(2Z2)=0.9544.)

15. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_______．

16下列命题中正确的序号是______

3 1；②若f(x)(x1)(x2)L(x10)，则f(2)8!；

x12③若f(x)为可导函数，其导函数f(x)为偶函数，则原函数为奇函数；④4x2dx3

13三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

①若f(x)ln(2x)，则f(x)17. （本小题满分12分）观察以下5个等式：

11

132

1353

13574

135795

……

照以上式子规律：

．．．．．．．（Ⅰ）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（nN）

（Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立。（nN

18. （本小题满分12分）

班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.

（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）

（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60,65,70,75,80,85,90,95，物理分数从小到大排序是：72,77,80,84,88,90,93,95.

①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；

②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：

根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关

4 关系的强弱.如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由.

参考公式：相关系数r(xx)(yy)iii1n；回归直线的方程是：ybxa，其中对应的2(xx)(yy)2iii1i1nn回归估计值b(xx)(yy)iii1n(xx)ii1n，aybx，yi是与xi对应的回归估计值.

2x77.5，y84.875，参考数据：(xix)1050，(yiy)457，(xix)(yiy)688，22i1i1i1888105032.4，45721.4，55023.5.

19. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐x2cos3标系，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的极坐标方程为y2sin12cos.

（I）求曲线C1的极坐标方程；

（II）若射线6(0)交曲线C1和C2于A、B（A、B异于原点）,求AB.

20．当前，网购已成为现代大学生的时尚。某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.

（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；

（2）用,分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X，求随机变量X

的分布列与数学期望E(X)

21. （本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数 f (x)的单调性；

（2）若对任意的a [1,2)，都存在 (0,1]使得不等式成立，

5 求实数m 的取值范围.

22. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知f(x)x1．

（I）求不等式f(x)3的解集A；

（II）当m,nA时，证明：4|mn||mn16|.

6 第二学期期末考试高二数学参考答案

一、选择题

1-5ABBCA 6-10 BBCCB 11-12 CB

二、填空题

13． 6 14 0.8413

15． 1/6 16. ①②④

三、解答题

17. 解：（Ⅰ）第6个等式为13579116 ………………（2分）

第n个等式为1357L1n2n11nn……（4分）

n（Ⅱ）下面用数学归纳法给予证明：1357L12n11nn

（1）当n1时，由已知得原式成立； ……………………………………（5分）

（2）假设当nk时，原式成立，

即1357L1k2k11kk…………………（6分）

k那么，当nk1时，左边1357L12k112k1

k1k11k1kk12k11k2k11k1。

nk1故nk1时，原式也成立。…………………（11分）

由（1）（2）知，1357L12n11nn成立。………（12分）

18.

7 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关. ...............9分

设y与x的线性回归方程是ybxa，根据所给数据，可以计算出b6880.66，

1050a84.8750.6677.533.73，所以y与x的线性回归方程是y0.66x33.73. .......12分

19. (Ⅰ) 由x2cos3x32cos 得

y2sin1y12sin

C2的直角坐标方程是(x3)2(y1)24，即x2y223x2y0…………2分

由xy,xcos,ysin得

曲线C2的极坐标方程22(3cossin)………………………………4分

4cos(2226)………………………………………………………………6分

8 (Ⅱ) 设A(1,1)，B(2,2)

将6代入曲线C1的极坐标方程4cos(6)得

14……………………8分

同理将6代入曲线C2的极坐标方程2cos 得23………………10分

所以

AB

1243……………………………………………………12分

20.

21．解：

9 （1），

令所以f(x)在

（2）因为a

[1，2)，所以得：函数的定义域为，

令得：

上单调递增，在单调递减。

，

(0，1]使得不等式

成立，由（1）知函数f(x)在(0， 1]单调递增，所以故问题等价于：对任意的a

[1，2)，都存在即恒成立。令所以所以

，单调递增，

22．

（I）解

f(x)3即

x13

3x13

2x4……………………2分

解得：4x4, 所以A[4,4]……………………………………………………4分

22……………………6分

（II）要证4|mn||mn16| 即证（（4mn））（mn16）4mn））(mn16)16m16nmn256 因为

（（(m216)(16n2)…………………………………………………………8分

因为m,nA，所以m16,n16

(m16)(16n)0

22

所以，（（4mn））（mn16）2222222222所以，

4|mn||mn16|…………………………………………………10分

10 深圳市沙井中学2016——2017学年度第二学期期末考试

高二 年级 理科数学 试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合Axx2，Bxx22x30，则AB ( )

A.

2,3 B.

1,2 C.

2,1 D.

1,2

2．已知复数z3i

错误!未找到引用源。，其中i错误!未找到引用源。为虚数单位，则复1i数z的共轭复数z所对应的点在（

）

A.

第一象限 B.

第二象限 C.

第三象限 D.

第四象限

3.函数f(x)x34x5的图象在x1处的切线在x轴上的截距为( )

A．10 B．5 C．1

4、若f′（x0）＝6，则3D．

7等于（ ）

1A．－3 B．3 C．-2 D．

35.某种节能灯能使用800小时的概率是0.8，能使用1000小时的概率是0.5，问已经使用了800小时的节能灯，还能继续使用到1000小时的概率是（ ）

A.

3254 B. C. D.

105856、下列判断错误的个数有（ ）

ˆxaˆbˆ，此直线必经过样（1）由一组样本数据x1,y1,x2,y2,,xn,yn得到回归直线方程y本点中心

2n2n1(n2 nN*)的过程中，第一步归（2）用数学归纳法证明等式12322n纳基础，等式左边的式子是1+2

(3)

关于实数x的不等式关系x12恒成立

x

11 (4)“am2＜bm2”是“a＜b”的必要不充分条件

A. 4 B .3 C .2 D. 1

7． 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（ ）

A．20个 B． 40个 C．80个 D．120个

8、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是（ ）。

A．[0.4,1） B.（0,0.6] C.（0,0.4] D. [0.6,1）

9. 曲线y22x和直线yx4所围成图形的面积（ ）

A.21 B.16 C.18 D.20

210. 二项式3x23(nN*)展开式中含有常数项，则n的最小取值是( )

xnA. 8 B. 7 C. 6 D. 5

11．分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数。1可以分拆为若干个不同的单位分数之和：11，…依此类推可得：，1，12362461225612211，其中，m、nN*，则mn12612mn3132156（ ）

A．228 B．240 C．260 D． 273

12.x表示不超过x的最大整数，若fx是函数fxlnx导函数，设gxfxfx，则函数ygxgx的值域是（ ）

A．{1,0} B．{0,1} C．{0} D．{偶数}

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

0122nnn13．已知Cn2Cn2Cn2Cn729，则x3的二项式系数的和 .

14. 在(x21)(x2)7的展开式中x5的系数是 ；

12 15.

若曲线fxaxex存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__ ____．

16.已知数列A:a1,a2,a3,a4,a5错误!未找到引用源。，其中ai1,0,1,i1,2,3,4,5，错误!未找到引用源。则满足条件：a1a2a3a4a53错误!未找到引用源。的不同数列A一共有 个

三．解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.

（本小题满分12分）（1）已知复数z3bi错误!未找到引用源。，（b错误!未找到引用源。为正实数），且z2错误!未找到引用源。为纯虚数.

若w2iz

错误!未2找到引用源。求复数w错误!未找到引用源。的模

错误!未找到引用源。.

（2）有以下三个不等式：

18. （本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(用频率估计概率，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

(i)利用该正态分布，求P(187.8

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求E（X）.

附：150≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，则p(μ－σ

错误!未找到引用源。；

错误!未找到引用源。．

请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．

错误!未找到引用源。；

13 p(μ－2σ

19. （本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球.

（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

20、（本小题满分12分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元．设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4x万元，且每万件国家给予补助2e是一个常数．）

（I）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式；

（Ⅱ）当月生产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量（万件）．（注：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本）．

21. （本小题满分12分）已知函数fx（Ⅰ）求fx的解析式；

2elnx1万元．（e为自然对数的底数，exxmx

m,nR在x1处取到极值2.

2xna（Ⅱ）设函数gxlnx，若对任意的x11,1，总存在x21,e（e为自然对数的底数），x

14 7使得gx2fx1，求实数a的取值范围.

2

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（本小题满分10分）

x2cos1 (为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴y3sin22.已知曲线C的参数方程为为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)若直线l的参数方程为

xt其中t为参数，求直线l被曲线C截得的弦长．

y3t23.已知函数f(x)x32xt,tR．

（1）当t1时，解不等式f(x)5；

（2）若存在实数a满足f(a)a32，求t的取值范围.

15 16 中山市高二级第二学期期末统一考试

高二数学试卷

本试卷共4页，22小题， 满分150分． 考试用时120分钟．

注意事项：

1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 若复数z满足z2iiz，则z

A．1i B．1i C．1i D．1i

2．设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是

A．0.2 B．0.8 C．0.2或0.8 D．0.16

3．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：

学习成绩优秀

学习成绩不优秀

总计

附表：

使用智能手机 不使用智能手机

总计

4

16

20

8

2

10

12

18

30

P(K≥k0)

0.15

0.10

0.05

2.072

2.706

3.841

20.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001

10.828

k0

2经计算K的观测值为10，，则下列选项正确的是( )

A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响

B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响

17 C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响

D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响

4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程axbxc0(a0)有有理数根，那么a,b,c中至少有一个是偶数．下列假设正确的是

A．假设a,b,c都是偶数； B．假设a,b,c都不是偶数

C．假设a,b,c至多有一个偶数 D．假设a,b,c至多有两个偶数

5．函数f(x)xlnx的单调递减区间是

A.

0,2222 B.

,222222 C.

,，0,2 D.2,2

26．已知X的分布列为

X

P

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为

－1

1

20

1

31

1

67A. B．4 C．－1 D．1

37．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )

1121A. B. C. D.

84528．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布

N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为

附：若X～N(μ，σ)，则P(μ－σ

2

A．1 193

B．1 359

C．2 718

D．3 413

9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是( )

6

4.5

x

y

3

2.5

4

5

4 t

18 A. 产品的生产能耗与产量呈正相关

B．t的值是3.15

C．回归直线一定过(4.5,3.5)

D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨

10. 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是

A. 150 B. 210 C. 240 D. 300

11. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、n21,n为奇数24、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：an2，如果把n,n为偶数2（m,n）这个数列{an}排成如图形状，并记A表示第m行中从左向右第n个数，（10,4）则A的值为

A．1200 B．1280 C．3528 D． 3612

12． 已知函数fx的导函数为fx，且fxfx对任意的xR恒成立，则下列不等式均成立的是

A．fln22f0,f2e2f0 B．fln22f0,f2e2f0

C.

fln22f0,f2e2f0 D．fln22f0,f2e2f0

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）

13. 直线y14.

1xb是曲线ylnx的一条切线，则实数b的值为

210x22xdx

523515. 已知(1x)a0a1xa2xa3xa4x4a5x,则(a0a2a4)(a1a3a5) 的值等于 .

216. 已知函数fxx2xa,gxlnx2x,，如果存在x1,2，使得对任意的x2,2，2211都有fx1gx2成立，则实数a的取值范围是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

1在2x的展开式中，求：

x(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x的项．

19

26 18．（本小题满分12分）

设正项数列an的前n项和为Sn，且Sn11(an)，

2an(1)求a1,a2,a3，并猜想数列an的通项公式

(2)用数学归纳法证明你的猜想．

19.（本小题满分12分）

为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①yC1x2C2与模型；②yeC3xC4作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系.

温度x/C

产卵数y/个

o20

6

400

22

10

484

24

21

576

26

24

676

28

64

784

30

113

32

322

tx2

900 1024

zlny

1.79 2.30 3.04 3.18 4.16 4.73 5.77

x

26

t

692

y

80

z

3.57

(xx)(yy)iii17(t

i17it)(yiy)

i(zi177iz)(xix)

2i(zi177iz)(tit)

i(xx)ii172(ti17t)2(xx)i1(ti1t)21157.54

20.43 0.32 0.00012

1717其中tixi，tti，zilnyi，zzi，

7i17i1

20 附：对于一组数据(1,1)，(2,2)，……(n,n)，其回归直线v的斜率和截距的最小二乘估计分别为：(i1nni)(i)，．

i(i1)2o（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30C时的产卵数.（C1,C2,C3,C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65104.58,e4.85127.74,e5.05156.02）

22（2）若模型①、②的相关指数计算分别为R10.82,R20.96.，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.

20. （本小题满分12分）

某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是2，且每题正确完成与否互不影响.

3（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；

（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？

21.（本小题满分12分）

对于命题P：存在一个常数M，使得不等式成立.

（1）试给出这个常数M的值；

（2）在（1）所得结论的条件下证明命题P；

（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q：“存在一个常数M，使得不等式abab对任意正数a，b恒M2ab2baa2bb2aabcabc对任意正数a，b，c恒成立．”观察命题P与命M3ab3bc3caa3bb3cc3a

21 题Q的规律，请猜想与正数a，b，c，d相关的命题．

22. （本小题满分12分）

1 已知函数f(x)xlnxax2x3a34a2a2(aR)存在两个极值点．

2 （Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设x1和x2分别是f(x)的两个极值点且x1x2，证明：x1x2e2．

22 中山市高二级第二学期期末统一考试

高二数学试卷答案

一、选择题： CCABA ABBBA DA

二、填空题：

13．ln21； 15．三、解答题：

17.解(1)第3项的二项式系数为C615， ………………………………… 2分

221； 15．256； 16．(，ln2].

44124又T3C6(2x)240x，所以第3项的系数为240. …………… 5分

x1k6kk6kk3k(2)Tk1C6(2x)(1)2C6x，

x令3kk22，得k1. 所以含x2的项为第2项，且T2192x2 ……… 10分

11(a1)，∴a11或a11(舍,an0). ……… 1分

2a118.解(1)当n1时，a1 当n2时，a1a211(a2)，∴a221． ……… 2分

2a211(a3)，∴a232． ……… 3分

2a3 当n3时，a1a2a3 猜想：annn1. ………4分

(2)证明：①当n1时，显然成立． ………5分

②假设nk时，akkk1成立，

1111(ak1)(ak),

2ak12ak 则当nk1时，ak1Sk1Sk

即ak1 ∴ak1111(ak)(kk1)2k

ak1akkk1k1k. ………11分

* 由①、②可知，nN，annn1. ………12分

2219.解：（1）对于模型①：设tx，则yC1xC2C1tC2

23 其中C1(ti17it)(yiy)0.43， ……………………… 1分

i(ti127t)2C2yC1t800.43692217.56 …………………… 3分

所以y0.43x217.56， ………………… 4分

2当x30时，估计产卵数为y10.4330217.56169.44 …… 5分

对于模型②：设zlny，则lnyC3xC4

其中C3(zi177iz)(xix)0.32，………………………………… 6分

2i(xx)i1C4zC3x3.570.32264.75 ……………………… 8分

所以ye0.32x4.75， ………………………………… 9分

0.32304.75e4.85127.74………… 10分 当x30时，估计产卵数为y2e22（2）因为R1R2，所以模型②的拟合效果更好 ………………………………… 12分

20. 解：（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3……………1分

122130C4C21C4C23C4C1P13；P23；P332；…………4分

c65c65c65应聘者甲正确完成题数的分布列为

1 2 3

P

131

555131E1232 ………………………………………5分

555设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0，1，2，3……………………………6分

1112P0C;P1C33273033161，

327328211232……………………………9分

P2C32,P3C33327327

24

2应聘者乙正确完成题数的分布列为：

P

0 1 2 3

16128

27272727E0161281232.

2727272722∴E32） …………10分

332（或∵:B3,（2）因为D121312222232，

55552

3

Dnp(1p) 所以DD……………………………………………11分

综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；

从做对题数的方差考查，甲较稳定；

从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大………………12分

21. 解：（1）令ab得：（2）先证明222M，故M； ……3分

333ab2.

2ab2ba3 ∵a0，b0，要证上式，只要证3a(2ba)3b(2ab)2(2ab)(2ba)，

即证a2b22ab 即证(ab)20，这显然成立.

∴ab2. ……6分

2ab2ba3 再证明2ab.

3a2bb2a ∵a0，b0，要证上式，只要证3a(2ab)3b(2ba)2(a2b)(b2a)，

即证a2b22ab 即证(ab)20，这显然成立.

∴2ab. ……9分

3a2bb2a（3）猜想结论：存在一个常数M，使得不等式

abcdabcd对任意正数a，b，c，d恒成M4ab4bc4cd4daa4bb4cc4dd4a立. ……12分

25

22. 解：（Ⅰ）由题设函数f(x)的定义域为(0,)，f(x)lnxax， ……… 1分

故函数f(x)有两个极值点等价于其导函数f(x)在(0,)有两个零点．

当a

= 0时f(x)lnx，显然只有1个零点x01．

当a≠0时，令h(x)lnxax，那么h(x) ……………………… 2分

11ax．

axx若a < 0，则当x > 0时h(x)0，即h(x)单调递增，所以h(x)无两个零点. … 3分

若a > 0，则当0x11时h(x)0，h(x)单调递增；当x时h(x)0，h(x) 单调递减，所以aa1111h(x)h()ln1. 又h(1)a0，当x→0时→，故若有两个零点，则h()ln10，得aaaa0a1． ……………………………………… 5分

e1综上得，实数a的取值范围是(0,)． ……………………………………… 6分

e（Ⅱ）要证x1x2e2，两边同时取自然对数得lnx1lnx2lne22． ……… 7分

lnxax10lnx1lnx2lnx1lnx2由f(x)0得1，得a.

lnxax0x1x2x1x222所以原命题等价于证明lnx1lnx2(x1x2)(lnx1lnx2)2．

x1x2………… 8分

x11)2(x1x2)x1x2因为x1x2，故只需证lnx1lnx2，即ln0．…… 9分

x1x1x2x21x22(令tx12(t1)，则0t1，设g(t)lnt(0t1)，只需证g(t)0．… 10分

x2t114(t1)2而g(t)0，故g(t)在(0,1)单调递增，所以g(t)g(1)0．

t(t1)2t(t1)2综上得x1x2e2．……………………………………………………………… 12分

26


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