2023年12月31日发(作者：洛阳二模数学试卷)
初一数学规律题应用知识汇总
“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，下面就此类题的解题方法进行探索：
一、基本方法——看增幅
（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)
6＝6n－2
例1、已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）．
（1）当n = 5时，共向外作出了 个小等边三角形
（2）当n = k时，共向外作出了 个小等边三角形（用含k的式子表示）．
n=3 n=4 n=5
……
例2、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含n的代数式表示）。
图1 图2 图3
（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差
天行健，君子以自强不息。
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数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
例1.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 。
妙题赏析：
规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往年“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，今年又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型，现将历年来中考规律类中考试题分析如下：
1、设计类
【例1】(2005年大连市中考题)在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。（1）请你利用这个几何图形求值为 。
的（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。
【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：
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（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。
解析：【例1】(1)（2）可设计如图1，图2， 图3，图4所示的方案：
【例2】（1），对应的图形是
（2）。
此类试题除要求考生写出规律性的答案外，还要求设计出一套对应的方案，本题魅力四射，光彩夺目，极富挑战性，要求考生大胆的尝试，力求用图形说话。考察学生的动手实践能力与创新能力，体现了“课改改到哪，中考就考到哪！”的命题思想。
3、数字类
【例5】(2005年福州市中考题)瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据是 。
解析：【例5】这列数的分子分别为3，4，5的平方数，而分母比分子分别小4，则第7个数的分子为81，分母为77，故这列数的第7个为
。
【例6】(2005年长春市中考题)按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），…，第5个数对是 。
天行健，君子以自强不息。
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解析：【例6】有序数对的 前一个数比后一个数小1，而每一个有序数对的第一个数形成等差数数列，1，4，7，故第5个数为13，故第5个有序数对为（13，14）。
【例7】(2005年威海市中考题)一组按规律排列的数：个数是
，，，，，…请你推断第9解析：【例7】中这列数的分母为2，3，4，5，6……的平方数，分子形成而二阶等差数列，依次相差2，4，6，8……故第9个数为1+2+4+6+8+10+12+14+16＝73，分母为100，故答案为
4、计算类
【例10】(2005年陕西省中考题)观察下列等。
式：
式可以表示为 。
解析：【例10】
，…… 则第n个等【例11】(2005年哈尔滨市中考题)观察下列各式：，，，……根据前面的规律，得： 。（其中n为正整数）
解析：【例11】
【例12】(2005年耒阳市中考题)观察下列等式：观察下列等式：4－1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，……这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示了自然数，用关于n的等式表示这个规律为 。
解析：【例12】5、 图形类
【例13】(2005年淄博市中考题)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点共有 个。
（n≥1，n表示了自然数）
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解析：【例13】第一个正方形的整点数为2×4-4＝4，第二个正方形的 正点数有3×4－4＝8，第三个正方形的整点数为4×4－4＝12个，……故第10个正方形的整点数为11×4-4＝40，
【例14】(2005年宁夏回自治区中考题) “”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物 株。
【例14】第一个图案中以乙中植物有2×2＝4个，第二个图案中以乙中植物有3×3＝9个，第三个图案中以乙中植物有4×4＝16个，……故第六个图案中以乙中植物有7×7＝49个.
【例15】(2005年呼和浩特市中考题)如图，是用积木摆放的一组图案，观察图形并探索：第五个图案中共有 块积木，第n个图案中共有 块积木。
【例15】第一个图案有1块积木，第二个图案形有1+3＝4＝2的平方，第三个图案有1+3+5＝9＝3的平方，……故第5个图案中积木有1+3+5+7+9＝25＝5的平方个块，第n个图案中积木有n的平方个块。
综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功。
2007•无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面-层有一个圆圈，以下各层均比上-层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n=
．
如果图1中的圆圈共有12层，
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；
天行健，君子以自强不息。
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（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
解析：（1）图3中依次排列为1，2，4，7，11……，如果用后项减前项依次得到1，2，3，4，5……，正好是等差数列，再展开原数列可以看出第一位是1，从第二位开始后项减前项得到等差数列，分解一下：1，1+1，1+1+2，1+1+2+3，1+1+2+3+4……,从分解看，第n个圆圈的个数应为1+(1+2+3+4+……n)，而1+2+3+4+……+n正好是连续自然数和的公式推导，上面已给出了公式: 1+2+3+…+n=
n项公式为1+
，则第，已知共有12层，那么求图3最左边最底层这个圆圈中的数应是12层的第一个数，那么1+11（11+1）/2=67.
解析：（2）已知图中的圆圈共有12层，按图4的方式填上-23，，-22，-21，……,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和？
第一层到第十二层共有多少个圆圈呢，运用等差数列求和公式得：（1+12）12/2=78个，那78个圆圈中有多少个负数，多少个正数呢，从已知条件可以看出，第一个数是-23，到-1有23个负数，1个0，78-24=54个正数， 1至54，所以分段求和，两段相加得到图4中所有圆圈的和。第一段：S=首项末项项数=（|-23|+|-1|）*23/2=276,第二段=（1+54）*54/2=1485，相加后得1761。
2例如、观察下列数表：
解析：根据数列所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为______ .（乐山市2006年初中毕业会考暨高中阶段招生统一考试）这一题，看上去内容比较多，实际很简单。题目条件里的数构成一个正方形。让我们求的是左上角至右下角对角线上第n个数是多少。我们把对角线上的数抽出来，就是1，3，5，7，……。这是奇数从小到大的排列。于是，问题便转化成求第n个奇数的表达式。即2n-1。
三、 要善于比较
“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
天行健，君子以自强不息。
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例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是
。”
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：0，3，8，15，24，……。
序列号： 1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n-1，第100项是100-1。
如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。
譬如，日照市2005年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式：
22① 1＝1；
② 13＋23＝32；
③ 13＋23＋33＝62；
④ 13＋23＋33＋43＝102 ；
…… ……
由此规律知，第⑤个等式是
32
．”
解析：这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第⑤个等式的左边是1＋2＋3＋4＋5。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为15。
四、要善于寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。
譬如，玉林市2005年中考数学试题：“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……
从第1个球起到第2004个球止，共有实心球
个。”
这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球。我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为2004÷10=200（余4）。所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。所以，一共有602个实心球。
六、要进行计算尝试
233333
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找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。
例如，汉川市2006年中考试卷数学“观察下列各式：0，x，x，2x，3x，5x，8x，……。试按此规律写出的第10个式子是
123456
。”
这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。
系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，……。
从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。
所以，原数列第10项是34x。
9一、数字排列规律题
1、下面数列后两位应该填上什么数字呢？2 3 5 8 12 17 __ __
2、请填出下面横线上的数字。 1 1 2 3 5 8 ____ 21
5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
7、一组按规律排列的数：21371321，，，，，…… 请你推断第9个数是 ．
49162536229、观察下列各式；①、1+1=1×2 ；②、2+2=2×3； ③、3+3=3×4 ；………请把你猜想到的规律用自然数n表示出来 。
10、观察下面的几个算式：①、1+2+1=4； ②、1+2+3+2+1=9；
③、1+2+3+4+3+2+1=16；④、1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，……根据你所发现的规律，请你直接写出第n个式子
12、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。
第1行 1
第2行 －2 3
第3行 －4 5 －6
第4行 7 －8 9 －10
第5行 11 －12 13 －14 15
………………（第13题）
13、已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 ．
14、观察下列各算式：
1+3=4=2的平方，1+3+5=9=3的平方，1+3+5+7=16=4的平方…
按此规律
（1）试猜想：1+3+5+7+…+2005+2007的值？
天行健，君子以自强不息。
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（2）推广： 1+3+5+7+9+…+（2n-1)+（2n+1)的和是多少 ？
（3）小凡在计算时发现，11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321，他从中发现了一个规律。你能根据他所发现的规律很快地写出 111111111×111111111=______吗? 答案是___________________________。
（4）四个同学研究一列数：1，－3，5，－7，9，－11，13，……照此规律，他们得出第n个数分别如下，你认为正确的是 （ ）
A.2n－1 B.1－2n C.(1)(2n1) D.(1)nn1(2n1)
（5）有一列数a1,a2,a3,,an,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a12，则a2007为___________.
（6）观察数列1，1，2，3，5，8，x，21，y，……，则2x-y=____________
1234567822,24,28,216,232,264,2128,2256, …，请你（7）观察下列各式：根据上述规律，猜想8的末位数字是_________.
（8）观察下列各式：
101312
1323321323336213233343102
333312310________ … … 猜想：15、观察数表，根据其中的规律，在数表中的 内填入适当的数。
1
1 -1
1 -2 1
1 -3 3 1
1 -4 6 -4 1
1 -5 -10 5 -1
1 -6 -20 15 -6 1
天行健，君子以自强不息。
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17. 观察下面一列有规律的数
123456,,,,,,， 根据这个规律可知第n个数是 （n是正整数）
3815243548
二、几何图形变化规律题
5、用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子
枚（用含有n的代数式表示）
………
6、观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形。
7、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．
观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了 块石子．
8、用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖4块；那么第(n)个图案中有白色地砖 块。
．．
10.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）. 继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到_ 条折痕 .如果对折n次，可以得到 条折痕 .
……
天行健，君子以自强不息。
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三、根据已知等式探究规律
2、观察下面的几个算式：
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____
4、观察下列等式：21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；26=64；27=128；……
用你发现的规律确定22007的个位数学数字是
分析：观察计算结果的末位数字，依次按2，4，8，6循环出现。而2007÷4=501……3，故22007的个位数字与23的个位数字相同，所以2的个位数字是 8
19.研究下列等式，你会发现什么规律？
1×3+1=4=22
2×4+1=9=32
3×5+1=16=42
4×6+1=25=52
…
设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来.
5、探索规律 可写成 , 可写成
可写成 ,可写成
（1）把这个规律用含有n的式子写出来；
（2）计算95．
2 6、观察：
…
计算：
．
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7、…，若10bb102符合前面式子的规律，则abaa。
9、一只小虫在数轴上原点处，第一次向右跳了1个单位，紧接着又向左跳了2个单位，第3次向右跳了3个单位，第4次向左跳了4个单位……按以上规律，它共跳了101次，你能确定小虫在数轴上的最后落点表示什么数吗？
④
③
②
①
10.观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，．．．，将这列数排成下列形式
按照上述规律排下去，那么第10行从左边第9个数是 .
-1
2-34
-56-7-9
10-1112-1314-151611.观察下列等式9-1=8
......第8题
16-4=12
25-9=16
36-16=20
…………
这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为.
前4次跳动图
四、与数阵有关的问题
1、]下图所示是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数]则：
（1）、a、c的关系是：________________ __；
（2）、当a＋b＋c＋d＝32时，a＝____ ______．
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 1819 20 21 22 2324 25 26 27 28日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
天行健，君子以自强不息。
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2、上面给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ）A．69 B．54 C．27 D．40
3、在如图所示的2003年1月份的日历中，用一个方框圈出任意3×3个数
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
(1) 从左下角到右上角的三个数字之和为45,那么这9个数的和是多少?这9个日期中最后一天是1月几日?
(2) 用这样的方框能否圈出总和为162的9个数?
五、与视图、展开图有关的问题
1、如图是几个小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的主视图为（ ）
2
1
1
2
C
D
A B
2、下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，在这个几何体中，小正方体的个数是（ ）
祝
你前似锦图(12)
A、 7 B、 6 C、 5 D、 4
程3、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如上图，是一个正方体的平面展开图，若图中“锦”为前面，“似”为下面，“前”为后面，则“祝”表示正方体的
面．
4、下图可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是
1
（A）、7
（B）、8
（C）、9
（D）、 10
6 2 4 5
3
5、如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为1的半圆后得到图形P2，然2,Pn,，记纸板Pn的后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3,P4,面积为Sn，试计算求出S2 ；S3 ；并猜想得到SnSn1
n2。
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（6）人们经常利用图形的规律来计算一些数的和. 如在边长为1的网格图1中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17面的规律：
1+3=22 ； 1+3+5=32 ； 1+3+5+7=42 ；1+3+5+7+9=52 ；……
请你按照上述规律，计算1+3+5+7+9+11+13的值，并在图1中画出能表示该算式的图形；
13579，它们有下图1
（2）请你按照上述规律，计算第n条黑折线与第n1条黑折线所围成的图形面积；
（3）请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形.
1+8=32 ；
1+8+16=52 ；
1+8+16+24=72 ；
1+8+16+24+32=92 .
图2
（7）观察图1-27中有几个三角形?由此你发现三角形的个数有什么规律呢?
一个三角形 3个三角形 ______个三角形 ______个三角形 _______个三角形(n个点)
（8）下图(1)表示1张餐桌和6张椅子(每个小半圆代表1张椅子)，若按这种方式摆
放20张餐桌需要的椅子张数是 。
天行健，君子以自强不息。
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天行健，君子以自强不息。
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