2010年全国大学生数学建模竞赛A题获奖论文—储油罐的变位识别与罐容表

资源大全更新时间:2025-02-23 17:29:34

2023年12月9日发(作者：贾汪区二模数学试卷分析)

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：江西师范大学

参赛队员 (打印并签名) ：1. 洪情

2. 杨玉花

3. 袁定欢

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：教练组

日期： 2010 年 9 月 12 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

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阅

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评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）摘要

本文通过对储油罐中油位高度及变位参数之间的不同情形的储油量进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中先利用投影法、截面法及微元法得出储油量与油位高度及变位参数的函数关系。再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。

对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。

对于问题二中的储油罐，我们先将问题进行简化考虑，得出了储油罐水平卧放时油量与浮油子高度的函数关系；再考虑储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）的一般情况，在该过程中，我们进行近似处理，利用投影法和截面法得出了储油量关于油位高度及变位参数的函数关系；并在固定的横向偏转角度条件下，就纵向倾斜角度的变化进行分成三类讨论，这三类又可以分成八种情形，得到了每一种情形下实际储油罐罐内储油量与油位高度的函数关系。

在模型的改进中，我们就问题二储油量与油位高度及变位参数的一般情况进行了仔细的考虑，将含油部分的体积分成四个部分，每一个部分将上述所提到的积分方法相结合，得到了各个部分的储油量与油位高度及变位参数的函数关系，从而可得总储油量与油位高度及变位参数的函数关系；并据此利用Matlab编程和实际测量的数据求得和值；与此同时我们可以得出在固定、值时各高度下的理论储油量；根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

【关键词】投影法截面法微元法 Matlab编程

§1 问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为4.1的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。（以上涉及的图1~4均在附录中）

§2 模型的假设与符号的约定

§2.1 模型的假设与说明

（1）在储油罐倾斜的情况下，忽略油浮子高度为0时油所占的体积；

（2）在储油罐倾斜的情况下，假设当油浮子高度达到最大后不再进油；

（3）油的挥发速度很慢，忽略因油的挥发而造成储油量的减少；

（4）储油罐的材料为钢体，忽略因渗出油而造成储油量的减少；

（5）储油罐管理妥当，不会因特殊情况而造成储油量的变化。

§2.2符号的约定与说明

V表示储油罐中油的体积;

L表示储油罐圆柱体部分的长度;

a表示任一椭球截面的长半轴;

—1—

b表示任一椭球截面的短半轴;

a1表示油浮子在圆柱体高方向上投影至两端的较小值;

h表示油浮子到圆柱体高方向的距离;

h1表示储油罐接地一端油面到地面得距离;

表示纵向倾斜角度;

表示横向倾斜角度;

h0表示球冠高;

b0表示球冠底半径;

§3 问题的分析

§3.1 问题一的分析

当储油罐无变位时，储油罐圆柱体的接地一端为原点，以圆柱体高方向为z轴，建立笛卡尔坐标系，利用微元法得到体积关于h的公式，代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。利用附件1实验数据中得到储油罐中的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差，判断误差所服从的分布，利用相对误差进行误差分析。

当储油罐发生变位时，以储油罐圆柱体的接地一端为原点，圆柱体高方向为z轴，建立笛卡尔坐标系。根据储油罐中油量的多少分成三类，然后就每一类利用微元法得到体积关于h的公式，代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。利用附件1实验数据中得到储油罐中的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差，判断误差所服从的分布，利用相对误差进行误差分析。

由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式可以给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。

§3.2 问题二的分析

对于实际储油罐，我们首先将问题进行简化考虑，得出了当实际储油罐水平卧放时实际储油罐中油量与浮油子高度的函数关系；

然后我们先考虑实际储油罐罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）的一般情况，在该过程中，我们进行近似处理，利用投影法和截面法得出了储油量关于油位高度及变位参数的函数关系，再在固定的横向偏转角度条件下，就纵向倾斜角度的变化进行分类讨论，一共有三种情形，得到了每一种情形下实际储油罐罐内储油量与油位高度的函数关系。

最后我们先利用附件2中的少量实际数据得出了附件2所处状态下的纵向倾斜角度和横向偏转角度，再利用附件2中给定各高度进行代人，得到实际储—2—

油罐理论的储油量，与实际储油量进行比较，求出误差及相对误差。

由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式可以给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。

§4 模型的建立与求解

§4.1 问题一

§4.1.1 模型一

当储油罐体无变位时，储油罐圆柱体的接地一端为原点，以圆柱体高方向为z轴，建立笛卡尔坐标系，如图4-1所示，在高度为h时，利用微元法过垂直z轴的方向做截面S(z)，对S(z)关于z进行积分，得到体积关于h的公式。

图4- 1

x2y2a2由221xby2.

abbS(z)2ah22bydy0b

ahb1(hb)2bhh2b2arcsinb2bb2dVS(z)dz

VS(z)dz0Lahb12L(hb)2bhh2b2arcsinbbb2—3—

Vahb12L(hb)2bhh2b2arcsinb

bb2利用Matlab中的命令subs代人附件1实验数据中的各高度得到储油罐中的理论油量V。

由附件1实验数据中进油量、出油量及储油罐罐内油量初值可以得到储油罐中的实际储油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差。

由附录中的程序youliang1，我们得到了理论储油量，误差及相对误差。

进油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图4-2所示：

图4- 2

出油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图4-3所示：

—4—

图4- 3

无变位进油和无变位出油的储油理论量和储油实际量及误差和相对误差的数据如表4-1所示：

表4- 1

无变位进油无变位出油

储油量实储油量储油量实际储油量i(误差)

相对误差

(误差)

相对误差

际值理论值值理论值

i312

362

412

462

512

562

612

662

712

762

812

862

912

962

1012

1062

1112

1162

1212

1262

1312

1362

1412

1462

1512

1562

1612

1662

1712

1762

1812

1862

1912

1962

322.9

374.6

426.4

478.1

529.9

581.6

633.4

685.1

736.8

788.6

840.3

892.1

943.8

995.5

1047.3

1099.1

1150.8

1202.6

1254.3

1306.0

1357.8

1409.5

1461.2

1513.0

1564.7

1616.5

1668.2

1720.0

1771.7

1823.5

1875.2

1927.0

1978.7

2030.4

10.88

12.63

14.36

16.13

17.85

19.61

21.35

23.08

24.85

26.58

28.33

30.06

31.80

33.54

35.30

37.05

38.81

40.55

42.29

44.03

45.77

47.49

49.24

50.98

52.74

54.49

56.24

57.98

59.73

61.46

63.19

64.95

66.68

68.43

3.37%

—5—

3916.2

3866.2

3816.2

3766.2

3716.2

3666.2

3616.2

3566.2

3516.2

3466.2

3416.2

3366.2

3316.2

3266.2

3216.2

3166.2

3116.2

3066.2

3016.2

2966.2

2916.2

2866.2

2816.2

2766.2

2716.2

2666.2

2616.2

2566.2

2516.2

2466.2

2416.2

2366.2

2316.2

2266.2

4052.8

4001.0

3949.3

3897.6

3845.8

3794.1

3742.3

3690.6

3638.8

3587.1

3535.4

3483.6

3431.9

3380.1

3328.4

3276.6

3224.9

3173.2

3121.4

3069.7

3017.9

2966.2

2914.4

2862.7

2811.0

2759.2

2707.5

2655.7

2603.9

2552.2

2500.5

2448.7

2397.0

2345.3

136.61

134.86

133.13

131.38

129.65

127.88

126.16

124.39

122.65

120.92

119.17

117.43

115.70

113.94

112.18

110.45

108.70

106.96

105.22

103.46

101.73

100.00

98.23

96.50

94.76

93.02

91.26

89.51

87.76

86.03

84.30

82.53

80.80

79.07

3.37%

3.37% 2012

2062

2112

2162

2212

2262

2312

2315.8

2365.8

2367.1

2417.1

2467.1

2517.1

2567.1

2617.1

2667

2668.8

2718.8

2768.8

2818.8

2868.8

2918.8

2968.8

3018.8

3068.8

3118.8

3168.8

3168.9

3218.9

3268.9

3318.9

3368.9

3418.9

3468.9

3518.9

3568.9

3618.9

3668.9

3718.9

3768.9

3818.9

3868.9

3918.9

3968.9

2082.2

2134.0

2185.7

2237.4

2289.2

2340.9

2392.7

2396.6

2448.4

2449.6

2501.4

2553.1

2604.9

2656.6

2708.3

2760.0

2761.9

2813.7

2865.4

2917.2

2968.9

3020.7

3072.4

3124.1

3175.9

3227.6

3279.4

3279.5

3331.2

3382.9

3434.7

3486.4

3538.2

3589.9

3641.7

3693.4

3745.1

3796.9

3848.6

3900.4

3952.1

4003.9

4055.6

4107.4

70.20

71.95

73.67

75.43

77.16

78.89

80.67

80.78

82.54

82.56

84.34

86.05

87.82

89.53

91.28

93.03

93.11

94.83

96.59

98.34

100.09

101.84

103.58

105.31

107.06

108.80

110.55

112.27

114.03

115.76

117.52

119.26

121.01

122.76

124.51

126.23

127.98

129.74

131.48

133.23

134.95

136.70

138.45

3.37%

—6—

2216.2

2166.2

2116.2

2066.2

2016.2

1966.2

1916.2

1866.2

1816.2

1766.2

1716.2

1666.2

1616.2

1566.2

1516.2

1466.2

1416.2

1366.2

1316.2

1266.2

1216.2

1166.2

1116.2

1066.2

1016.2

966.2

916.2

866.2

816.2

766.2

716.2

666.2

616.2

566.2

516.2

466.2

416.2

366.2

316.2

266.2

2293.5

2241.7

2190.0

2138.3

2086.5

2034.8

1983.0

1931.3

1879.5

1827.8

1776.1

1724.3

1672.6

1620.8

1569.1

1517.3

1465.6

1413.8

1362.1

1310.4

1258.6

1206.9

1155.1

1103.4

1051.6

999.9

948.2

896.4

844.6

792.9

741.2

689.4

637.7

585.9

534.2

482.5

430.7

379.0

327.2

275.5

77.32

75.55

73.84

72.08

70.32

68.60

66.85

65.12

63.35

61.61

59.88

58.12

56.37

54.64

52.87

51.14

49.42

47.65

45.91

44.18

42.42

40.68

38.94

37.19

35.43

33.71

31.96

30.20

28.45

26.71

24.99

23.25

21.51

19.74

18.02

16.28

14.50

12.77

11.02

9.28

3.37%

由上述的表格可以得出相对误差稳定，不会随高度发生变化。

当储油罐体发生变位时，我们就油面及油浮子的位置与倾斜角度的变化情况分成将该问题三类，然后就每一类进行分析，找出了储油罐中油的体积与油浮子位置的函数关系，其立体图如图4-4所示：

图4- 4

（1）当油浮子的高度在0hh1ztan时，如图4-5所示，截面图如图4-6所示

图4- 5

截面面积为：

h1ztana2S(z)2b(yb2)dy0bah1ztan()b2b(h1ztan())(h1ztan())2

bahztan()b12b2arcsin1bbb2图4- 6截面图

所以油罐体积为：

—7—

Vf(h1)0h1tanh1tan0S(z)dzah1ztan()b2b(h1ztan())(h1ztan())2 （1.1）

ba2h1ztan()b12barcsinbbb20h1tan将hh1atan代入公式（1.1）

令ha1tanztanbt，则公式（1.1）bb112Vabhatanb(t1tarcsint)dttan12b2ha1tanbha1tanbha1tanbab2

arcsin1tanbbb23/2ab1ha1tan()b1ha1tan()b1tan()2b3b2（2）当油浮子的高度在ltanh2ba1tana时，如图4-7所示，

图4- 7

截面面积为：

—8—

h1ztana2S(z)2b(yb2)dy0bah1ztan()b2b(h1ztan())(h1ztan())2 错误！未找bahztan()b12b2arcsin1bbb2到引用源。

所以油罐装油的体积为；

VSzdz0Lh+a1tan()-ztan()-bh+a1tan()-ztan()-b1abarcsindz2bb20L错误！未找到引用源。

将h=h1-a1tan()公式错误！未找到引用源。，令公式(2.2)化为

：

h+a1tan()-ztan()-bt

b-ab21 V(h)=tan()(h+a1tan(a)-b)/b(h+atan(a)-Ltan(a)-b)/B12t1-tarcsin(t)dt

2将积分下限令为p,积分上限令为q，则

ha1tan()b,bh+a1tan()-Ltan()-b

bp=qab21V(h)tan()321q2311qqsin(q)321p2psin(p)31p232ab1ha1tan()b1tan()3b（3）当油浮子的高度Ltanh2b时，如图4-8所示，

—9—

图4- 8

hh1hh12batan,其中，，此时截面面积为：

hltanh.2h2ztana2S(z)2b(yb)2dy0ba2h(za1)tan()b2b(h(za1)tan()b)h(za1)tan()bbah(za1)tan()b12b2arcsinbbb2所以油罐装油的体积为

V(h)Ltan()h2ba1tan()tan()Ls(z)dz

h(za1)tan()bh(La1)tan()b2h2a1tan()3bLtan(),p,qbbb则上式公式变为：

令t=ab212V(h)t1-tarcsin(t)dttan()p2ab21tan()3q1q2311qqsin(q)321p23psin(p)1p2

利用Matlab中的命令subs代人附件1实验数据中的各高度得到储油罐中的理论油量V。

由附件1实验数据中进油量、出油量及储油罐罐内油量初值可以得到储油罐—10—

中的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差。

由附录中的程序youliang2，我们得到了理论油量，误差及相对误差。

倾斜时进油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图4-9所示：

图4- 9

倾斜时出油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图4-10所示：

—11—

图4- 10

将倾斜进油和倾斜变位出油的储油理论值和储油实际值及误差和相对误差的数据如表4-2所示：

表4- 2

倾斜变位进油倾斜变位出油

储油量储油量实际储油量理相对误i(误差)

相对误差

i(误差)

理论值值论值差

1010.0 7.19 4.67% 3464.7 3523.1 58.37 1.66%

1058.3 45.47 4.30% 3414.7 3478.1 63.35 1.82%

1118.0 55.19 4.94% 3364.7 3430.4 65.67 1.91%

1167.5 54.67 4.68% 3314.7 3382.0 67.28 1.99%

1222.1 59.29 4.85% 3264.7 3330.9 66.19 1.99%

1279.2 66.34 5.19% 3214.7 3289.4 74.69 2.27%

1327.5 64.63 4.87% 3164.7 3234.5 69.77 2.16%

1382.6 69.82 5.05% 3114.7 3188.9 74.17 2.33%

1433.6 70.81 4.94% 3064.7 3137.3 72.57 2.31%

1485.0 72.23 4.86% 3014.7 3088.9 74.11 2.40%

1536.1 73.35 4.78% 2964.7 3040.1 75.40 2.48%

1591.9 79.14 4.97% 2914.7 2989.2 74.48 2.49%

1645.1 82.42 5.01% 2864.7 2947.7 82.98 2.82%

1697.4 84.67 4.99% 2814.7 2891.1 76.36 2.64%

1749.9 87.16 4.98% 2764.7 2845.4 80.62 2.83%

—12—

储油量实际量

962.9

1012.9

1062.9

1112.9

1162.9

1212.9

1262.9

1312.8

1362.8

1412.7

1462.7

1512.7

1562.7

1612.7

1662.7 1712.7

1762.7

1812.7

1862.7

1912.7

1962.7

2012.7

2062.7

2112.7

2162.7

2212.7

2262.7

2312.7

2362.7

2412.7

2462.7

2512.7

2562.7

2612.7

2662.7

2712.7

2762.7

2812.7

2862.7

2912.7

2962.7

3012.7

3062.7

3112.7

3162.7

3212.7

3262.7

3312.7

3362.7

3412.7

3462.7

3512.7

3514.7

1796.6

1848.8

1900.0

1952.7

1999.2

2052.7

2103.2

2148.4

2202.3

2252.7

2303.7

2352.2

2402.7

2452.2

2497.9

2548.7

2599.6

2644.7

2696.3

2748.8

2798.9

2847.2

2895.9

2942.1

2992.6

3044.2

3089.6

3140.8

3189.7

3234.0

3284.1

3334.6

3379.0

3423.5

3473.2

3517.7

3569.5

3573.2

83.89

86.08

87.32

90.01

86.48

89.97

90.50

85.72

89.54

90.01

91.01

89.44

90.02

89.51

85.17

85.93

86.83

81.96

83.55

86.11

86.14

84.49

83.13

79.34

79.84

81.48

76.91

78.10

76.99

71.32

71.39

71.88

66.29

60.82

60.46

54.93

56.73

58.49

4.67%

4.66%

4.60%

4.61%

4.33%

4.38%

4.30%

3.99%

4.07%

4.00%

3.95%

3.80%

3.75%

3.65%

3.41%

3.37%

3.34%

3.10%

3.13%

3.08%

2.97%

2.87%

2.70%

2.67%

2.68%

2.49%

2.41%

2.21%

2.17%

2.16%

1.96%

1.78%

1.74%

1.56%

1.59%

1.64%

2714.7

2664.7

2614.7

2564.7

2514.7

2464.7

2414.7

2364.7

2314.7

2264.7

2214.7

2164.7

2114.7

2064.7

2014.7

1964.7

1914.7

1864.7

1814.7

1764.7

1714.7

1664.7

1614.7

1564.7

1514.7

1464.7

1414.7

1364.7

1314.7

1264.7

1214.7

1164.7

1114.7

1064.7

1014.7

964.7

2794.0

2747.5

2695.8

2644.5

2598.1

2547.1

2500.2

2451.9

2402.9

2349.7

2298.8

2256.0

2204.4

2156.6

2106.7

2053.1

2005.6

1953.5

1905.1

1852.8

1801.5

1752.7

1699.3

1645.9

1602.0

1544.1

1492.6

1444.1

1392.3

1333.4

1280.5

1230.6

1175.1

1124.7

1067.8

1011.8

79.31

82.72

81.07

79.78

83.33

82.38

85.47

87.11

88.14

84.97

84.11

91.29

89.66

91.83

91.97

88.35

90.81

88.78

90.39

88.02

86.77

87.99

84.55

81.18

87.27

79.35

77.89

79.41

77.56

68.62

65.78

65.91

60.37

59.97

53.10

47.05

2.84%

3.01%

3.02%

3.21%

3.23%

3.42%

3.55%

3.67%

3.62%

3.66%

4.05%

4.07%

4.26%

4.37%

4.30%

4.53%

4.54%

4.74%

4.75%

4.82%

5.02%

4.98%

4.93%

5.45%

5.14%

5.22%

5.50%

5.57%

5.15%

5.14%

5.36%

5.14%

5.33%

4.97%

4.65%

由上述的程序还可以描绘出倾斜时储油量的误差随罐内油位高度的变化情况，如图4-11所示：

—13—

图4- 11

由上述图我们可以知道倾斜时不管是进油后储油量的误差还是出油后储油量的误差均随罐内油位高度的变化呈正态分布，说明该模型建立得贴合实际。

由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们可以给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格），如表4-3所示：

表4- 3罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值

高度（h）体积（v）高度（h）体积（v）高度（h）体积（v）高度（h）体积（v）

cm L cm L cm L cm L

1

2

3

4

5

6

7

3.531

6.2635

9.9748

14.7563

20.6908

27.8542

36.3163

26

27

28

29

30

31

32

461.5

494

527.1

560.9

595.2

630.1

665.6

—14—

51

52

53

54

55

56

57

1413.9

1456

1498.4

1540.9

1583.5

1626.3

1669.2

76

77

78

79

80

81

82

2491.3

2534

2576.6

2619.1

2661.4

2703.6

2745.5 8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

46.1424

57.3935

70.127

84.3968

100.2541

117.7475

136.923

157.8246

180.4939

204.971

228.9

254.9

281.9

309.8

338.5

368.1

398.5

429.7

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

701.5

738

774.9

812.2

850

888.2

926.7

965.7

100.5

1044.6

1084.5

11248

1165.3

1206.2

1247.2

1.2886

1330.1

1371.9

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

1712.2

1755.3

1798.5

1841.8

1885.1

1928.5

1971.9

2015.4

2058.8

2102.3

2145.7

2189.1

2232.5

2275.8

2319.1

2362.3

2405.4

2448.4

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

2787.2

2828.7

2870

2911.1

2951.8

2992.3

3032.5

3072.4

3112

3151.2

3190.1

3228.6

3266.7

3304.4

3341.7

3378.5

3414.9

3450.7

§4.2 问题二

我们一开始考虑当储油罐水平放置时油量与浮油子高度的函数关系。

当储油罐水平放置无横向与纵向倾斜时，设油高为h，所建立的空间直角建立坐标系如图4-12所示：

图4- 12

储油罐中储油的体积可分为两部分，圆柱体中储存油的体积与两端的球罐体中油的体积，根据对称性，两端的球罐体中油的体积相等。用垂直于z轴的平面截储油罐，根据截面法求体积公式可求出储油的体积。

第一种情况：当0hb0时

—15—

1、对于圆柱体部分：截面圆的方程为x2(yb0)2b02

由x2(yb0)2b02xb02(yb0)2

h截面s(z)20b02(yb0)2dyhyb2yb01b2220

2b0(yb0)arcsinb022b040hb012(hb0)b02(hb0)2b02arcsinb0b02体积 v1s(z)dz0L0

hb012L0(hb0)b0(hb0)L0b0arcsinb0L0b022222、对于两端的球冠体，根据对称性，两端的球冠体储油体积相等，如图4-13所示：

图4- 13

由图4-13可看出，根据几何关系：

222图4- 14

R=(Rh3)b0h32b02

R2h3用平面zz截球罐体，设截得小圆半径为r1，所图4-14所示，根据几何关—16—

系得：

r12R2(d\'z)2 d\'R2b02

rR-212Rb0z222r1R-2Rb0z222

截面圆的油高为h\'，h\'r1(b0h)

h\'截面 S(z)2\'h\'r112

(hr1)r(hr1)rarcsinr1r1221\'2210r12(yr1)2dyh3RR2b02

V22h3h3hb00h3h3S(z)dz(hb0)Rh3h3hb0220hb0Rb0z22(hb)dz220202Rh3h3hb0222Rb0zarcsin2R-hb0Rb0z222dz0

积分解得：

V2R-2Rb0zdz222hR22h333h32R2R32hh222h3Rhh3h3Rarctan2hRh2h263333h3hRh323Rarctan2hRh2h2333—17—

 VV12V2hR4hL0b02h2hb02h2R2b0233R2b22022222L0b0Rb02Rb0arctanb2h2302h34hR2b203Rarctan3Rb2h20

第二种情况：当b0h2b0时

对于圆柱体的部分同第一种情况

V1S(z)dz0L0

hb012L0(hb0)b0(hb0)L0b0arcsinb0L0b02222对于球罐体体积

截面圆的油高为h\'S(z)2h\'h\'r1(hb0)

\'hr121(h\'r1)r12(h\'r1)2r12arcsinr1r120r12(yr1)2dy这种情况与第一种情况相同，因此与第一种情况相同。

模型的建立：

V与h的函数关系为：

VV12V2R2b220L0b02R2b022R2b02arctanb2h230hR

我们就油所占的体积进行初步讨论,建立笛卡尔坐标系如图4-15,可以得出球冠体的球面方程为:

b02h02b02h0222xyz(h3)

2h02h0—18—

224hR2b20R3arctan3Rb2h202h34hL0b02h2hb02h2R2b0233 圆柱体部分的方程：

x2y2b02；

图4- 15

如图4-15所示，油罐体中所含油的部分分成两份，分别计算它们的体积。

x0h1\'b0x0h1\'b0因为tan

bxl2h300h0b0x0h1\'1.5tan

x071.5xx0h1\'1.570tan

1.51.5x01.5h1\'2.2510.5x0tan10.5tanx0tan

1.5h1\'2.2510.5tan(tan1.5)x0

1.5h1\'2.2510.5tanx0

tan1.5—19—

h1h1\'b0cosb0且cosmaxb0h1bharccos01

b0b0右半部分的体积V1利用投影法可以由以下约束公式算出

222222bh0bh0x2y2z(h30)02h02h02xy2b02

22b0h0zh32h0xx0由上述第一个公式可以得出曲顶柱体的盖面方程为

b02h02b02h0222

zxyh32h02h02V122b02h02b02h0222xydxdyh32h02h01.253.35xy6dxdy232222xyb02xx0x2y2.25xx02

x2y22.25xx0x2y21.256.625dxdy左半部分的体积V2近似利用截面法可以由以下公式算出，由图4-15可以得出A点的坐标为((h1\'b0),0,0)；过垂直于x轴做截面，设过x的截面面积为S(x)；由x2y2b02yb02x2l42y2b02x2

xh1\'b0h2l3b0x0b0x0h2由图4-15可知而且lh0

3x0h1\'b0l2h3l3h0b0b0—20—

xh1\'b0b0x0h2h0

h3\'x0h1b0b0过x的截面面积为S(x)近似可表示如下：

\'b0x0122xh1b0S(x)l4h2b0xh0

h32x0h1\'b0b0xh1\'1.51.5x02.25x6

x0h1\'1.51.52x0xh1\'1.52.25x7

x0h1\'1.51.52V2x0\'1.5h1S(x)dx

0\'x02xh11.52.25x7dx\'x0h11.51.51.5h1\'x有上述的V1,V2可以得到储油罐中油量与油位高度及变位参数的函数关系：

VV1V22xy22.25xx00\'x0222xh11.5xy1.256.625dxdy2.25x7dx\'xh1.51.51.5h1\'01x

以下为在固定的横向偏转角度条件下，就纵向倾斜角度的变化进行分类讨论。

令2a3m,a22m,a31m;

情形Ⅰ．当arctan2a时，

l1（1）当h1l1tan时,该情况的图4-16所示：

—21—

图4- 16

由图4-16可知hl1a2,(xasin)2(yacos)2a2.

h1l1y0h1tanzy0,S(z)2(asina2(yacos)2)dy

0h1tanh1V1h1tan0S(z)dzh1tan0y002(asina2(yacos)2)dydz

令A1.5m,B1.5m,C1m.

x2(yB)2A21x2Byy

22ABB(yB)2z2C21z2Byy

22BCBV0(2xl1xz)dy0h12lxdyxzdy00h1h1

x和z式代入V0式，得：

h11ACA22V02B(yB)dy2Byy22Byy2dy0BB0B2hBh1BAC213hB1AB12Bh1h1arcsinB2B3BBh

—22—

2V0ABh1Bh1BAC213hBV212Bh1h1

arcsin22BB2B3B由此可得：

VV1V2h1tan0y002(asina2(yacos)2)dydz

2h1BAC213ABh1BhB12Bh1h1arcsin2BB2B3B（2）当l1tanh12a时,该情况如图4-17所示：

图4- 17

S(z)2(asina2(yacos)2)dy

0y0V1S(z)dz0l1l10y002(asina2(yacos)2)dydz

同上可得

2h1BAC213ABh1BhBV212Bh1h1

arcsin2BB2B3BVV1V2l10y002(asina2(yacos)2)dydz

2h1BAC213ABh1BhB12Bh1h1arcsin2BB2B3B—23—

（3）当h12a且h2a时,该情况如图4-18所示：

图4- 18

令h0l1tan,hhh2

l1a2h22a(l1a2)\'2a(l1a2)

h2,h1h0hl1tanhl12al1l1y0\'h1\'tanzy0\'\',S(z)2(asina2(yacos)2)dy

\'0h1tanh1V0\'1h1\'tanS(z)dz0h1\'tany0\'02(asina2(yacos)2)dydz

2h\'Bh1\'BAC\'21\'3ABhB\'1V212Bh1h1

arcsin2BB2B3B设实际储油罐总体积为V全，

2(Rh0)2(3b0Rh0)V全RL032RL0R2L022(b0b0R2)2(3b0b0b0R2)32(b0b0R2)2(2b0b0R2)3

—24—

\'VV全V‘V12V全0h1\'tany0\'02(asina2(yacos)2)dydz

2h1\'BAC\'21\'3ABh1\'BhB12Bh1h1arcsin2BB2B3B情形Ⅱ．当arctanl2a2a时，

arctan1l12a（1）当h12a时,该情况的图示如下：

图4- 19

y0hl1a2h1tanzy0,,S(z)2(asina2(yacos)2)dy

0h1l2h1tanh1V1h1tan0S(z)dzh1tan0y002(asina2(yacos)2)dydz

2V0ABh1Bh1BAC213hBV212Bh1h1

arcsin22BB2B3BVV1V2h1tan0y002(asina2(yacos)2)dydz

2h1BAC213ABh1BhB12Bh1h1arcsin2BB2B3B—25—

（2）当h12a且h2a-l1a2时,该情况如图4-20所示：

tan

图4- 20

S(z)2(asina2(yacos)2)dy

0y0V1S(z)dz0l1l10y002(asina2(yacos)2)dydz

2h1BAC213ABh1BhBV212Bh1h1

arcsin2BB2B3BVV1V2l10y002(asina2(yacos)2)dydz

2h1BAC213ABh1BhB12Bh1h1arcsin2BB2B3B（3）当2a-l1a2

tan

图4- 21

—26—

令h0l1tan,hhh2

l1a2h22a(l1a2)\'2a(l1a2)

h2,h1h0hl1tanhl12al1l1y0\'h1\'tanzy0\'\',S(z)2(asina2(yacos)2)dy

\'0h1tanh1V0\'1h1\'tanS(z)dzh1\'tan00y0,y0\'02(asina2(yacos)2)dydz

2h\'Bh1\'BAC\'21\'3ABhB\'1V212Bh1h1

arcsin2BB2B3B\'VV全V‘1V2V全0h1\'tany0\'02(asina2(yacos)2)dydz

2h1\'BAC\'21\'3ABh1\'BhB12Bh1h1arcsin2BB2B3B情形Ⅲ．当arctanl12a时，

2a（1）当h12a时,该情况如图4-22所示：

图4- 22

—27—

y0hl1a2h1tanzy0,,S(z)2(asina2(yacos)2)dy

0h1l2h1tanh1V1h1tan0S(z)dzh1tan0y002(asina2(yacos)2)dydz

2V0ABh1Bh1BAC213hBV212Bh1h1

arcsin22BB2B3BVV1V2h1tany0002(asina2(yacos)2)dydz

ABh21BhBh1BAC2132B1BarcsinB2B2Bh13h1（2）当h12a且h2a时,该情况如图4-23所示：

图4- 23

S(z)y02(asina2(yacos)20)dy

Vl1l110S(z)dz0y002(asina2(yacos)2)dydz

2VABh1BhBh1BAC213221BBarcsinB22BBh13h1—28—

VV1V2l10y002(asina2(yacos)2)dydz

2h1BAC213ABh1BhB12Bh1h1arcsin2BB2B3B§5 模型的进一步讨论

就第二问我们在上述讨论一般情况分析的基础上对左半部分进行了详细的分析。

222xyb0S1:,z(x,y):zctgx(h1b0)

(h1b0)xctg(h1b0)V1ctgx2y2b02(h1b0)xctg(h1b0)ctgx(h1b0)dxdyx2y2b2(h1b0)xctg(h1b0)xdxdyctg(h1b0)S1

因arcsinx0

b01所以阴影部分面积2b0x0cosb02b0x0cos2b02

2x02xxb0x0122b02arcsin0x0b02x022b02arcsin0

b0b0b0S1(h1b0)b02(h1b0)2b02arcsinh1b0b0222ctgh1b0b0ctgh1b02b0arcsinctgh1b0b02x222ctgh1b0b0

因x2y2b02(h1b0)xctg(h1b0)xdxdyh1b0xdxb0xdyctgh1b0h1b0b02x2dx2322b02x33ctgh1b022

h1b032222222b(hb)bctg(hb)01001033以下方程用来求x0：

—29—

b02h02b02h022ctgx0(h1b0)

x0l2h02db02h02b02h022ctgx0(h1b0)lx02h2h00

b02h02令ctg(h1b0)l02h0b02h0222cscx02ctgx00

2h0222b0h022222ctg4ctg4csc2h0x02csc22222

b02h022ctgctgcsc2h0csc22222332222222V1ctgb0(h1b0)b0ctg(h1b0)3ctgh1b0hbctg(h1b0)(h1b0)b02(h1b0)2b02arcsin10b02arcsinbb002ctg(h1b0)ctgh1b0b0ctgh1b02

首先我们求出截面和球冠体的交线：

截面zctgx0(h1b0)222222bhbh22000)0球面方程xyz(h3

2h2h00zl—30—

§6 模型的优缺点

§6.1 优点

（1）对于问题一，从储油罐无变位与变位两个方面建立了模型，求得的储油量理论值与储油量实际值吻合得较好，相对误差小；特别是水平时相对误差稳定，符合要求，因此能准确的预测出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于问题二，先就一般情况考虑，再细分成8种情形，思维缜密，考虑周到。利用Matlab软件求出值，求得各高度下的储油量理论值与储油量实际值吻合得较好，相对误差小，符合要求，因此能准确的预测出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

（3）模型实用性好，具有很强的现实应用指导意义，数学推导严谨，理论性强。

§ 6.2缺点

模型的假设不够充分，对误差的检验不够详细，没有从多方面进行误差诊断。

§7 参考文献

[1]韩中庚.数学建模竞赛-获奖论文精选与点评[M].北京：科学出

社,2007.

[2]王文波.数学建模及其基础知识详解[M].武汉：武汉大学出版社，2006.

[3]王庚，王敏生.现代数学建模方法[M].北京:科学出版社,2006.

[4]赵静,但琦.数学建模与数学实验[M].北京:高等教育出版社,2007.

[5]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社,2003.

[6]冯杰,黄力伟,王勤,尹成义.数学建模原理与案例[M].北京:科学出版

社,2007.

§7 附录

§7.1 附件１

表7-1无变位进油

流水号油罐号

11 1

12 1

累加进油量/L

50

100

油位高度/mm

159.02

176.14

—31—

采集时间

2010-08-18 10:32:18

2010-08-18 10:33:18 13 1

14 1

15 1

16 1

17 1

18 1

19 1

20 1

21 1

22 1

23 1

24 1

25 1

26 1

27 1

28 1

29 1

30 1

31 1

32 1

33 1

34 1

35 1

36 1

37 1

38 1

39 1

40 1

41 1

42 1

43 1

44 1

45 1

46 1

47 1

48 1

49 1

50 1

51 1

52 1

53 1

54 1

55 1

56 1

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250

1300

1350

1400

1450

1500

1550

1600

1650

1700

1750

1800

1850

1900

1950

2000

2050

2053.83

2103.83

2105.06

2155.06

2205.06

192.59

208.5

223.93

238.97

253.66

268.04

282.16

296.03

309.69

323.15

336.44

349.57

362.56

375.42

388.16

400.79

413.32

425.76

438.12

450.4

462.62

474.78

486.89

498.95

510.97

522.95

534.9

546.82

558.72

570.61

582.48

594.35

606.22

618.09

629.96

641.85

653.75

665.67

677.63

678.54

690.53

690.82

702.85

714.91

—32—

2010-08-18 10:34:18

2010-08-18 10:35:18

2010-08-18 10:36:18

2010-08-18 10:37:08

2010-08-18 10:38:08

2010-08-18 10:39:08

2010-08-18 10:40:08

2010-08-18 10:41:08

2010-08-18 10:41:58

2010-08-18 10:42:58

2010-08-18 10:43:58

2010-08-18 10:45:18

2010-08-18 10:46:08

2010-08-18 10:47:08

2010-08-18 10:48:08

2010-08-18 10:49:08

2010-08-18 10:49:58

2010-08-18 10:50:58

2010-08-18 10:51:58

2010-08-18 10:52:48

2010-08-18 10:53:48

2010-08-18 10:54:48

2010-08-18 10:55:48

2010-08-18 10:56:38

2010-08-18 10:57:38

2010-08-18 10:58:38

2010-08-18 10:59:28

2010-08-18 11:00:28

2010-08-18 11:01:18

2010-08-18 11:02:18

2010-08-18 11:03:18

2010-08-18 11:04:08

2010-08-18 11:05:08

2010-08-18 11:05:58

2010-08-18 11:06:58

2010-08-18 11:07:58

2010-08-18 11:08:48

2010-08-18 11:09:48

2010-08-18 11:10:48

2010-08-18 11:11:18

2010-08-18 11:12:18

2010-08-18 12:36:18

2010-08-18 12:37:18

2010-08-18 12:38:18

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

1

2255.06

2305.06

2355.06

2404.98

2406.83

2456.83

2506.83

2556.83

2606.83

2656.83

2706.83

2756.83

2806.83

2856.83

2906.83

2906.91

2956.91

3006.91

3056.91

3106.91

3156.91

3206.91

3256.91

3306.91

3356.91

3406.91

3456.91

3506.91

3556.91

3606.91

3656.91

3706.91

727.03

739.19

751.42

763.7

764.16

776.53

788.99

801.54

814.19

826.95

839.83

852.84

866

879.32

892.82

892.84

906.53

920.45

934.61

949.05

963.8

978.91

994.43

1010.43

1026.99

1044.25

1062.37

1081.59

1102.33

1125.32

1152.36

1193.49

2010-08-18 12:39:18

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注：（1）罐体无变位进油，罐内油量初值262L；

（2）第三列累加进油量是每次加入一定量油后的累加值；

（3）第四列是原罐内初始油量加入相应油量后油位高度值。

表7-2无变位出油

流水号

111

112

113

114

115

油罐号

1

累加出油量/L

52.72

102.72

152.72

202.72

252.72

油位高度/mm

1150.72

1123.99

1101.15

1080.51

1061.36

—33—

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117 1

118 1

119 1

120 1

121 1

122 1

123 1

124 1

125 1

126 1

127 1

128 1

129 1

130 1

131 1

132 1

133 1

134 1

135 1

136 1

137 1

138 1

139 1

140 1

141 1

142 1

143 1

144 1

145 1

146 1

147 1

148 1

149 1

150 1

151 1

152 1

153 1

154 1

155 1

156 1

157 1

158 1

159 1

302.72

352.72

402.72

452.72

502.72

552.72

602.72

652.72

702.72

752.72

802.72

852.72

902.72

952.72

1002.72

1052.72

1102.72

1152.72

1202.72

1252.72

1302.72

1352.72

1402.72

1452.72

1502.72

1552.72

1602.72

1652.72

1702.72

1752.72

1802.72

1852.72

1902.72

1952.72

2002.72

2052.72

2102.72

2152.72

2202.72

2252.72

2302.72

2352.72

2402.72

2452.72

1043.29

1026.08

1009.54

993.57

978.08

962.99

948.26

933.84

919.69

905.78

892.1

878.61

865.3

852.15

839.14

826.27

813.52

800.87

788.33

775.88

763.51

751.21

738.98

726.81

714.7

702.64

690.61

678.63

666.68

654.75

642.84

630.96

619.08

607.21

595.35

583.48

571.61

559.72

547.82

535.9

523.95

511.97

499.96

487.9

—34—

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161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

1

1.00

2502.72

2552.72

2602.72

2652.72

2702.72

2752.72

2802.72

2852.72

2902.72

2952.72

3002.72

3052.72

3102.72

3152.72

3202.72

3252.72

3302.72

3352.72

3402.72

3452.72

3502.72

3552.72

3602.72

3652.72

3702.72

475.8

463.65

451.43

439.15

426.8

414.36

401.84

389.22

376.49

363.64

350.67

337.55

324.27

310.82

297.18

283.33

269.24

254.88

240.21

225.21

209.81

193.94

177.54

160.48

142.62

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注：（1）罐体无变位出油；

（2）第三列的累加出油量是每次抽出一定量油后的累加值；

（3）第四列是从罐内抽出相应油量后油位高度值。

表7-3倾斜变位进油

流水号

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

油罐号

1

累加进油量/L

747.86

797.86

847.86

897.86

947.86

997.86

1047.86

1097.79

1147.79

1197.73

1247.73

1297.73

油位高度/mm

411.29

423.45

438.33

450.54

463.9

477.74

489.37

502.56

514.69

526.84

538.88

551.96

—35—

采集时间

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229

230

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232

233

234

235

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238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

1

1347.73

1397.73

1447.73

1497.73

1547.73

1597.73

1647.73

1697.73

1747.73

1797.73

1847.73

1897.73

1947.73

1997.73

2047.73

2097.73

2147.73

2197.73

2247.73

2297.73

2347.73

2397.73

2447.73

2497.73

2547.73

2597.73

2647.73

2697.73

2747.73

2797.73

2847.73

2897.73

2947.73

2997.73

3047.73

3097.73

3147.73

3197.73

3247.73

3297.73

3299.74

564.4

576.56

588.74

599.56

611.62

623.44

635.58

646.28

658.59

670.22

680.63

693.03

704.67

716.45

727.66

739.39

750.9

761.55

773.43

785.39

796.04

808.27

820.8

832.8

844.47

856.29

867.6

880.06

892.92

904.34

917.34

929.9

941.42

954.6

968.09

980.14

992.41

1006.34

1019.07

1034.24

1035.36

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2010-08-19 16:01:27

注：（1）罐体纵向倾斜变位进油，纵向倾斜角4.1°，罐内油量初值215L；

（2）第三列累加进油量是每次加入一定量油后的累加值；

（3）第四列是原罐内油量加入相应油量后油位高度值。

—36—

表7-4倾斜变位出油

流水号

油罐号

311 1

312 1

313 1

314 1

315 1

316 1

317 1

318 1

319 1

320 1

321 1

322 1

323 1

324 1

325 1

326 1

327 1

328 1

329 1

330 1

331 1

332 1

333 1

334 1

335 1

336 1

337 1

338 1

339 1

340 1

341 1

342 1

343 1

344 1

345 1

346 1

347 1

348 1

349 1

350 1

351 1

累加出油量/L 油位高度/mm

50 1020.65

100 1007.73

150 994.32

200 980.96

250 967.1

300 956.01

350 941.54

400 929.69

450 916.44

500 904.14

550 891.9

600 879.23

650 868.99

700 855.13

750 844.02

800 831.64

850 820.47

900 808.16

950 796

1000 785.04

1050 773.07

1100 762.09

1150 750.81

1200 739.42

1250 727.09

1300 715.32

1350 705.43

1400 693.52

1450 682.5

1500 671.02

1550 658.68

1600 647.74

1650 635.76

1700 624.61

1750 612.53

1800 600.69

1850 589.4

1900 577

1950 564.58

2000 554.33

2050 540.76

—37—

采集时间

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353

354

355

356

357

358

359

360

361

1

2100

2150

2200

2250

2300

2350

2400

2450

2500

2550

528.65

517.19

504.87

490.78

478.06

465.97

452.4

439.98

425.83

411.73

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注：（1）罐体纵向倾斜变位出油，纵向倾斜角4.1°；

（2）第三列累加出油量是每次抽出一定量油后的累加值；

（3）第四列是原罐内油量抽出一定量油后的油位高度值。

§7.2附件2

表7-5实际储油罐的采集数据

流水号油罐号

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

进油量显示油量容积出油量/L 显示油高/mm

/L /L

0

60.00

149.09

68.45

199.27

70.05

136.36

232.74

107.97

49.24

80.65

120.29

108.24

83.46

2632.23

2624.30

2620.67

2610.29

2606.61

2599.59

2587.60

2582.05

2579.57

2575.44

2569.46

2564.12

2559.83

—38—

采集时间

2010-08-01