工程数学试题1及答案

2023年12月10日发(作者：初二数学试卷英文版)

工程数学试题1及答案

一、填空题（5*4分=20分）：

D10351、设D，D2510

D

0D31220012、四阶方阵A、B，已知A，且B2A1(2A)1，则B

163453、三阶方阵A的特征值为1，-1，2，且BA35A2，则B的特征值为 。

4、若n阶方阵A满足关系式A23A2E0，若其中E是单位阵，那么A1 。

5、设1(1,1,1)，2(1,2,3)，1(1,3,t)线性相关，则t 。

二、单项选择题（5*4=20分）：

1、若方程x130x2x2x123614成立，则x是（）

（A）-2或3 （B）-3或2 （C）-2或-3 （D）3或2

2、设A、B均为n阶方阵，则下列正确的公式为（）

（A）(AB)3A33A2B3AB2B3 （B）(AB)(AB)A2B2

（C）(AE)(AE)A2E （D）(AB)2A2B2

3、设A为可逆n阶方阵，则(A*)*=（）

（A）AE （B）A （C）AA （D）A4、设A为n阶实方阵且为正交矩阵，则有（）

（A）A=E (B)相似于B （C）A2E （D）A合同于E

5、若1，2，3，4是线性方程组AX0的基础解系，则1234是AX0的（）

（A）解向量 (B) 基础解系 （C）通解（D）A行向量

1

nn2A 三、计算题（60分）

123，B301。解矩阵方程XAB。

2211、（10分）设A123343x12x2x3x412、（12分）a为何值时，线性方程组有解，并求x1x2x33x442x3x2x2xa2341通解。

3、（13分）设向量组1,2,3线性相关，而向量组2,3,4线性无关。问：1能否由2,3线性表示？4能否由1,2,3线性表示？为什么？

223x34x2x3为4、（13分）求一个正交变换P，化二次型f(x1,x2,x3)2x123x2标准形。

5、（12分）设A为mn矩阵，且RAn，判断ATA是否为正定阵？证明你的结论。

工程数学答案

1233011、设A221，B。解矩阵方程XAB。

123343解：由|A|20，A可逆。于是由XAB知，XBA1。而

2641*1A1A365，

|A|222226413011820144107

365于是

XBA110022002123222x12x2x3x412、a为何值时，线性方程组x1x2x33x44有解，并求通解。

2x3x2x2xa2341

2 11211112113 解：(A|b)11134~01042322a0104a2

1101771211~01043~01043

0000a50000a5当a50，即a5时，R(A)R(A|b)2，方程组有解。

求解方程组：

x17x37x4

x34x421704x310令，得其导出组的一个基础解系1,2。再令10x4010173x30*。所以方程组的通解为k11k22*，，得其一个特解0x400k1,k2任意常数。

1,2,3线性相关，而向量组3、设向量组2,3,4线性无关。问：1能否由2,3线性表示？4能否由1,2,3线性表示？为什么？

2,3,4线性无关，所以2,3线性无关，但1,2,3线性相关，故1解：因能由2,3线性表示。

1,2,3线性表示。这是因为：假设4能由1,2,3线性表示，4不能由由于1能由2,3线性表示，则4能由2,3线性表示，这样2,3,4就线性相关，与已知条件矛盾。

223x34x2x3为标准形。 4、求一个正交变换P，化二次型f(x1,x2,x3)2x123x2

3 200解：二次型f对应的矩阵A032

023

AE(2)[(3)24]

所以A的特征值为12,21,35。

1(1,0,0)T；解方程组(A2E)x0，得对应于特征值12的一个特征向量，解方程组(AE)x0，得对应于特征值11的一个特征向量2(0,1,1)T；解方程组(A5E)x0，得对应于特征值15的一个特征向量3(0,1,1)T。

因1,2,3互不相同，所以1,2,3相互正交。将1,2,3单位化组成一个矩阵011得正交矩阵P0201201。

212225y3令xPy，则f2y12y2。

5、设A为mn矩阵，且RAn，判断ATA是否为正定阵？证明你的结论。

解：ATA为正定矩阵。

证明：由ATATATA知ATA为对称矩阵。对任意的n维向量0，由2RAn得A0，

TATA=A0，由定义知ATA是正定矩阵。

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