高中数学必修一函数题型方法总结

2023年12月11日发(作者：苏州2021高中数学试卷)

这份资料是全部内容已经完成的一部分，后续资料正在编写中。此资料是必修一函数部分的总结，希望对各位高中同学有所帮助。

部分题目给出了详细的答案，部分题目仅给出了简单思路。部分题目仅仅是题目。希望同学能仔细阅读给出答案的题目，总结这一类题目的思路与方法。活学活用。

第一部分 典型例题解析

一、函数部分

一、函数的值域：求函数值域的常用方法有（观察法、配方法、判别式、换元、分离常数法、方程法）。

1、函数y164x的值域是（ ）。A、[0,+∞)

B、[0,4) C[0,4] D（0,4）

解析：本题是指数函数与幂函数复合，我们可以直接求出各自的取值范围。所以本题我们用直接分析法。

4x＞016-4x＜16；要根号有意义，16-4x0。综上可知：016-4x＜1616-4x0,4

2、若函数yf(x)的值域是12,3，则函数F(x)f(x)1f(x)的值域是（ ）。

A.12,3B.2,103C.52,102D.103,3

解析：本题是复合函数求值域，可变形f(x)t,F(x)F(t)t1t,t12,3。

方法一：定义求单调区间

f(x)t,F(x)g(t)t11t,t2,3,令t2＞t1,g(t(t1112)g1)t2t(t1t)(t2t1)(1t).21t12t2＞t1，∴t2t1＞0。当1tt＞1时，求得t1t2＜112t1，t1

1＜2＜1。此时(1tt)＜0，函数递减。12当1t＜1时，求得t1t2＞1t1＞1，t2＞1。1t2此时(11tt)＞0，函数递增。12x12,1时,函数递减.x1,3时函数递增..g(1510102)2,g(1)2,g(3)3.F(x)2,3.方法二：学了不等式的话，我们可以由基本不等式求单调区间。

t＞0,t111t2tt2,此时ttt1.当t1时，函数取得最小值。然后判断

t12,t3时的函数值即可。3、函数y2x3x4的值域是（ ）

A.(,43)(43,) B.(,223)(3,) C.R

D.(,24

3)(3,)

方法一、

分离常数法。希望同学自己探究分离常数的方法。

y2x23x4389x12.89x120,y23.

y,2323,方法二、方程法。

y2x3x4.y(3x4)2x.x4y3y2.方程有解。3y20y23.

y22,33,4、函数yx1x22x2的值域是（ ）。

A.(112,12) B.,122,) C.112,2

D.1,1

方法一：方程判别式法。

原函数yx2(2y1)x2y10.x22x2x1210,xR,方程有意义。yx2(2y1)x2y10在R上有根。

=b24ac0.解得y112,2.注(讨论一元一次方程情况)方法二：y1，参考例题2两个方法。

(x1)1x15、定义域为R的函数yf(x)的值域为a,b，则函数 。

yf(xa)的值域为（ ）A.2a,ab B.a,b

55 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1

4411 C.0,ba

方法一：f(x)[(x2)]，参考值域部分例题A.最大值D.a,ab

解析：注意本题有套，不要被套住。请同学自己分析。

二、定义域问题。函数定义域注意要求两点：1、函数有意义。2、函数符合实际。对于复合函数的定义域，如f[g(x)]，即要求x满足g(x)的定义，有要求g(x)的值域满足f(x)定义。下面给出几道例题。

1、若f(x)1log，则f(x)的定义域为（ ）。

1(2x1)2A.12,0B.112,0C.2,D.0,

解析：本题有三点。对数函数有意义、根号有意义、分母有意义。

2、若函数yf(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)f(2x)x1的定义域是（ ）。

A.[0,1] B.[0,1) C.0,11,4 D.(0,1)

解析：

f(x)的定义域x[0,2].f(2x)中2x[0,2].解得x[0,1].且x10x1.x[0,1)

3、设f(x)lg2x2x，则f(x2)f(2x)的定义域为（ ）。

A.(4,0)(0,4) B.(4,1)(1,4)

C.(2,1)(1,2) D.(4,2)(2,4)

解析：本题先讨论f(x)lg2x2x的定义域x(2,2)。x然后令(2,2)22

x(2,2)三、最值问题。最值问题是值域问题的一种。可由求值域求得也可应用单调性求得。

1、已知x5x24x52，则f(x)2x4有（ ）。

2x22方法。

方法二：

yx24x52x4可化为x2(42y)x54y0,x52.所以x2(42y)x54y0在x52时,

函数有实数根，0,求得y1或y1.又x52时，y1.所以函数有最小值1.2、对于任意xR，函数f(x)表示x3,32x12,

x24x3中的较大者，则f(x)的最小值是（ ）。

A.2 B.3 C.8 D.-1

解析：本题画出三个函数的图像，由图像求最值。

3、已知函数y1xx3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为（ ）。

A.14 B.12 C.22 D.32

解析：首先求定义域3x1。

y2421xx342(1x)24，讨论在3x1上，函数最值即可。

四、求函数解析式。

1、已知f(x)是二次函数，且满足

f(0)1,f(x1)f(x)2x，则f(x)= 。

解析：已知二次函数，待定系数法与对应法。

设f(x)ax2bxc.f(0)1,所以c1.由f(x1)f(x)2x代入得a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)

2ax(ab)2xab0,a1.b1.f(x)x2x12、对于任意实数x，函数f(x)满足af(x)bf(1x)cx，(a,b,c0,a2b2),则f(x) 。

解析：把原式中x换作1得af(1)bf(x)cxxx。即可得af(x)bf(1)到方程组cxx，解方程组，即可求出af(1x)bf(x)cxf(x)。

3、已知f(x)是对除x0及x1以外的一切实数有意义的函数，且f(x)f(x1x)1x，求函数f(x)。

解析：本题类似上述例2中的方程组法。

令xtf(t)f(t1t)1t令xt1t11tf(t)f(2t11t)t

令x1111tf(1t)f(t)11t解上述三元方程组即可。

五、规律归纳问题。

1、若函数f(x)对任何R恒有

f(x1x2)f(x1)f(x2),

且f(8)3,则f(2) 。

解析

f(8)f(24)f(2)f(4)f(2)f(2)f(2)3f(2)3,解得f(2)1f(2)f(22)f(2)f(2)1

f(2)12、已知函数f(x)x221x2，那么f(1)f(2)

f(1112)f(3)f(3)f(4)f(4) 。

解析：探讨f(x)f(1x)的值找规律

3、已知函数f(x)满足：f(1)14,4f(x)f(y)=

f(xy)f(xy)(x,yR),则f(2001)= 。

解析由公式求f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)找规律。

六、对称与奇偶问题。

1、若二次函数

f(x)x2ax5对任意t都有f(t)f(4t)，且在闭区间m,0上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是 。

2、设函数yf(x)定义在实数集上，则函数yf(x1)与f(1x)的图像关于（ ）。

A.直线x=0对称 B.直线y=0对称

C.直线y=1对称 D.直线x=1对称

解析：方法一：

令x1t,则xt1,f(x1)f(t),f(1x)f(2t).需知yf(x)与yf(x)关于y轴对称.f(2t)=f[(t2)]

f(2t)由f(t)向右平移两个单位得到关于直线x1对称方法二：

yf(x1)由yf(x)向右平移一个单位yf(1x)f[(x1)]由yf(x)向右平移

一个单位得到，所以二者关于x=1对称。注意：本题与f(x)f(2ax)的对称有所不同。

3、若f(x)x1，则f(x1)关于直线x2对称的函数是 。

解析：方法一

f(x)与f(x)关于x0对称，f(x2)与f[(x2)]关于x2对称.f(x1)由f(x2)向左平移三个单位，为保持对称轴不变，

f[(x2)]应向右平移三单位得f[(x32)]f(5x)6x方法二：

f(x1)x2,设（a,b）在f(x1)上，x,y在目标函数上，关于x2对称,by,2xa2

a4x,将(a,b)代入f(x1)6x4、已知函数yf(2x1)是偶函数，则函数yf(x)的对称轴一定是 。 偶函数,f(2x1)f(2x1),解析：令2x1t,x1t2

f(t)f(2t)关于x1对称。七、性质综合

1、奇偶与周期。

1.1设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x),则f(52)= 。

1.2设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x2)，那么f(1)f(2)f(3)f(4)f(2012)等于 。

f(0)f(0),f(0)0.2为周期，解析：所以2n也是周期.f(0)f(02n)f(2n)0.f(1)f(1)f(12)f(1),

f(1)0,f(12n)01.3奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(T2)的值为

。

1.4若f(x)的最小正周期是2T，且函数关于x=T对称。则f(x)是（ ）。

A、奇函数B、偶函数C、既是奇函数又是偶函数

D、既不是奇函数又不是偶函数

1.5设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)＞1，f(2)2m3m1，则m的取值范围是（ ）。

A.m＜2223. B、m3且m1 C、1m3

D、m23或m1

1.6、函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则（ ）。A、f(x)是偶函数 B、f(x)是奇函数 C、f(x)f(x2) D、f(x3)是奇函数

解析：由奇函数得

f(x1)f(x1),f(x1)f(x1)，

∴函数f(x)关于点（1,0）和（-1,0）对称。（重点结论：函数关于两个点或轴对称可知函数为周期函数，周期为2mn）∴f(x)为周期为4的周期函数。

f(x3)f[(x2)1]f[(x2)1]所以f((x4)1)f(x3)

所以函数f(x3)为奇函数。

（本题较难，注意理解。关于结论证明我专门会讲）

2.奇偶与单调

2.1 若q(x),g(x)均为奇函数，

f(x)aq(x)bg(x)1，在(0,)上有最大值5，则在(,0)上f(x)有（ ）。

A.最小值—5 B.最小值－2 C.最小值﹣3 D.最大值﹣5

2.2 已知yf(x)是偶函数，且在[0,]上是减函数，则f(1x2)的单调递增区间是（ ）。

A.[0,] B.(,0) C.

[1,0][1,)D.[,1][0,1]

解析：本题三个考点：1、偶函数单调性的特征2、复合函数f[g(x)]单调性的特征3、二次函数单调性的特征。1、 偶函数左增右减或左减右增

2、 复合函数增增得增，渐渐地增，减增得减，增减得减3、 二次函数是初中知识

2.3 已知定义域为R的函数f(x)在(8,)上为减函数，且函数yf(x8)为偶函数，则（ ）

A.f(6)f(7) B.f(6f(9) C.f(7)f(9)D.f(7)f(10)

解析f(x8)是偶函数，∴f(x8)f(x8)，∴f(x)关于x8对称。其余请画草图研究大小。

2.4 定义域在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2[,0)(x1x2)，有

(x2x1)[f(x2)f(x1)]0，则（ ）。

A.f(3)f(2)f(1) B.f(1)f(2)f(3)

C．f(2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(2)

解析：若x2x1，则必有f(x2)f(x1)。所以函数在

[,0)上是增函数，所以函数在(0,]是增函数。其余请画草图研究大小。

2.5 设f(x)是连续的偶函数，且当x0时f(x)是单调函数，则满足f(x)f(x3x4)的所有x之和为（ ）。

A.﹣3 B.3 C.﹣8 D.8

解析：第一种情况自变量部分相等

第二种情况自变量部分互为相反数。

3、分段类奇偶函数。

3.1 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，

f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)=（ ）。

A.3 B.1 C.﹣1 D.﹣3

解析：求f(1)f(1)即可。请自行研究x0是函数的解析式。

3.2 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，函数解析式为f(x)2x2x，则f(1)= 。

解析：本题方法要求同3.1.

4、 抽象函数奇偶性的讨论。

4.1 若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则下列说法一定正确的是（ ）。

A.f(x)为奇函数 B.

f(x)为偶函数

C.

f(x)+1为奇函数 D.

f(x)+1为偶函数

解析：令x0，得f(0)f(0)f(0)1,f(0)1

f(xx)f(x)f(x)1f(0)1f(x)1f(x)1

∴f(x)+1为奇函数

4.2 已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f(52)的值是（ ）。

f(x1)x1f(x解析：

x)f(52)f(1

211)4.3 若f(x)得最小正周期是2T，且f(xT)f(Tx)对一切实数x恒成立，则f(x)是（ ）。

A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数

D既不是奇函数又不是偶函数

解析：f(xT)f(xT2T)f(xT)f[(Tx)]f(Tx)

∴函数为偶函数

5、 几道解答题

5.1 已知函数f(x)是定义在(0,)上的增函数，且满足f(xu)f(x)f(y),f(2)1。

（1）求f(1)；

（2）求满足f(x)f(x3)2的x的取值范围。

5.2设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)f(x)f(y).

（1）求证：f(1)0,f(xy)f(x)f(y)；

（2）若f(2)1，解不等式f(x)f(1x3)2。

5.3已知对于任意a,bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(0)0。

（1）求证：f(x)为偶函数；

（2）若存在正数m使f(m)0，求满足f(xT)f(x)的一个T值（T0）。

5.4 已知f(x)是定义在[1,1]上的奇函数，且f(1)1， 若a,b[1,1],ab0，有f(a)f(b)0成立。

ab（1）

ab1时，证明：f(x)不是奇函数；

（2）设f(x)是奇函数，求a,b的值。

3、熟用公式

3.1 已知xx1212（1）判断f(x)在[1,1]上的单调性，并证明；

（2）解不等式f(x)f(2121)；

x1（3）若f(x)m2am1对所有x∈[1,1]，a∈3，则xxx2的值为（ ）。

x2x23x3232[1,1]恒成立，求实数m的取值范围。

5.5 已知f(x)是定义在(,)上的不恒为零的函数，3.2 已知函数f(x)aa(a0,a1)，f(1)3，则f(0)f(1)f(2)的值为 。

且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足

f(xy)yf(x)xf(y)。

（1） 求f(1),f(1)的值；

（2） 判断f(x)的奇偶性，并说明理由。

二 基本初等函数

1 指数函数

1、对称与变换问题

1.1 函数f(x)4x12x的图像（ ）。

A关于原点对称 B关于直线yx对称

C关于x轴对称 D关于y轴对称

1.2 设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则有（ ）。Af(1)f(3)f(2) Bf(2)f(3)f(1323323)

Cf(23)f(13)f(33212) Df(2)f(3)f(3)

2、奇偶问题

2.1 若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则有（ ）

A、f(2)f(3)g(0) B、g(0)f(3)f(2)

C、f(2)g(0)f(3) D、g(0)f(2)f(3)

2.2 已知函数f(x)2xa2x1b

4、函数变型

函数f(x)2x234x，已知x2x0，则f(x)的最大值和最小值分别是（ ）。

5、规律归纳

如果f(x)4x4x2，那么

f(1231001)f(1001)f(1001)f(10001001)的值为 。

6、 复合函数的单调性

已知函数f(x)(1)ax24x33，

（1） 若a1，求f(x)的单调区间；

（2） 若f(x)有最大值3，求a的值。

2 对数函数

1、复合函数的奇偶与对称

1.1已知函数f(x)lg1x1x，若f(a)b，则f(a)等于 。

1.2 函数ylg2x2x的图像（ ）

A 关于原点对称 B 关于直线yx对称

C 关于y轴对称 D 关于直线yx对称

1.3 定义在R上的偶函数yf(x)在[0,)上递减，且f(12)=0，则满足f(log1x)0的x的集合为（ ）

4A

(,12)(2,) B

(12,1)(1,2)

C

(12,1)(2,) D

(0,12)(2,)

2、指数与对数关系

2.1 设2a5bm，且1a1b2，则m（ ）

A

10 B 10 C 20 D 100

2.2 若正实数a,b满足abba，且a1，则有（ ）

A

ab B

ab C

ab D 不能确定a,b的大小关系

abba,logbaalogaba解析：blogb,b

aaalogaalogab讨论a,b大小进行比较。

2.3 已知a5log23.4,b5log43.6,c(15)log30.3，则（ ）

A

abc B

bac C

acb

D

cab

解析：函数变型为5的次方在比较复合函数大小

3、比较大小问题

3.1

logn(n1)与log(n1)n(n2,nN)的大小关系为（ ）。

A

logn(n1)>log(n1)n B

logn(n1)

C

logn(n1)=log(n1)n D不能确定

解析：作商后利用基本不等式

3.2 若loga2logb20，则（ ）。

A

0ab1 B

0ba1

C

ab1 D

ba1

解析：两种方案：1、研究倒数大小

2、背过底数不同的图像

3.3 设alogb(log254,53),clog45，则（ ）

A

acb B

bca C

abc

D

bac

3.4 已知函数f(x)logm(x1)，且

m1,abc0，则f(a)f(ba,)b,f(c)c的大小关系是（ ）。

A

f(a)f(b)f(c)f(c)f(b)fabc B

cb(a)a

C

f(b)f(c)f(a)bca D

f(a)f(c)f(b)acb

解析：研究图像上点与原点连线的斜率大小

4、复合函数的讨论

4.1 函数ylog(x1)(54x)的定义域是（ ）。

A （﹣1,0）B

(0,log45) C

(1,log45)

D

(1,0)(0,log45)

x10解析：x10

54x04.2已知yloga(2ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）

A （0,1） B（1,2） C （0,2） D

[2,)

4.3 定义在R上的偶函数yf(x)在[0,)上递减，且f(12)0，则满足f(log1x)0的x的集合为（ ）

4A

(,12)(2,) B

(12,1)(1,2)

C

(12,1)(2,) D

(0,12)(2,)

4.4 函数f(x)axloga(x1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为 。

5、计算问题

5.1

(lg14lg25)10012 .

5.2 若lg(xy)lg(x2y)lg2lgxlgy，

则xy= 。

5.3

15(lg32log1114166lg2)5lg5

5.4 已知loga,18b1895，求log3645

6、代换变形问题

6.1 若xx1满足2x25，x2满足

2x2log2(x1)5，x1x2（ ）

A

57 B 3 C D 4

22解析：想办法凑出x1x2。

mx28xn6.2 已知函数f(x)log3的定义域为R，2x1值域为[0,2]，求m,n的值。

12xa4x6.3 设f(x)lg，其中aR，如果当3x(,1]时，f(x)有意义，求a的取值范围。

6.4设函数yf(x)，且lg(lgy)lg3xlg(3x)

（1）求f(x)的解析式与定义域

（2）求f(x)的值域

（3）试求f(x)的单调性

6.5 已知函数f(x)lg（1）求函数的定义域

（2）若函数f(x)在[10，+∞）上是增函数，求k的取值范围。

6.6 （1）已知logaxlogay2,求kx1,(kR,k0)

x111的最小值

xy（2）已知2x5y20,求lgxlgy的最大值

（3）已知x4y4，求xy的最大值。

22