2024年3月31日发(作者：今年安微高考数学试卷)

数学选修2-2导数及其应用知识点

1．函数的平均变化率是什么？

f(x

2

)f(x

1

)f(x

1

x)f(x

1

)

yf

答：平均变化率为



x

2

x

1

x

xx

注1：其中

x

是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？

答：函数在

xx

0

处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，

即=.

3.平均变化率和导数的几何意义是什么？

答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？

答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式有哪些？

函数 导函数 不定积分

yc

y\'

0

————————

yx

n

nN

*

ya

x

a0,a1

ye

x



y\'nx

n1

y\'a

x

lna

y\'e

x

x

n1

xdx

n1

a

x

x

adx

lna

n

xx

edxe

ylog

a

x

a0,a1,x0

y\'

ylnx

ysinx

1

xlna

1

y\'

x

y\'cosx

y\'sinx

————————

1

x

dxlnx

cosxdxsinx

ycosx

sinxdxcosx

6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

答：若

f

x

，

g

x

均可导（可积），则有：

和差的导数运算

积的导数运算

f(x)g(x)

f

\'

(x)g

\'

(x)

\'

f(x)g(x)

f

\'

(x)g(x)f(x)g

\'

(x)

特别地：

Cf

x

\'Cf\'

x

f(x)

f

\'

(x)g(x)f(x)g

\'

(x)

(g(x)0)

g(x)

2



g(x)

\'

\'

商的导数运算

复合函数的导数

微积分基本定理

和差的积分运算

积分的区间可加性

1

g\'(x)

特别地：

\'

2

g

x

g

x

y

x

y

u

u

x

f

x

dx

（其中

F\'

x

f

x

）

a

b

特别地：

6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？

答：①求函数

f

(

x

)的导数

f\'(x)

②令

f\'(x)

>0,解不等式，得

x

的范围就是递增区间.

③令

f\'(x)

<0,解不等式，得

x

的范围，就是递减区间；

注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数

f

(

x

)的极值的步骤是什么？

答：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数

f

(

x

)的导数

f\'(x)

(3)求方程

f\'(x)

=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，

并列成表格，检查

f

/

(x)

在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么

f

(

x

)在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么

f

(

x

)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么

f

(

x

)在这个根处无极

值

8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？

答：求

f(x)

在

a,b

上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求

f(x)

在

a,b

上的极值；

⑵将

f(x)

的各极值与

f(a),f(b)

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？

答：分割

近似代替

求和

取极限 （“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质有哪些？

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1

1dxba

a

b

性质5 若

f(x)0,x

a,b

，则

f(x)dx0

a

b

①推广：

[f

1

(x)f

2

(x)

L

f

m

(x)]dx

f

1

(x)dx

f

2

(x)dx

L

f

m

(x)

aaaa

bbbb

②推广:

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx

L

f(x)dx

aac

1

c

k

bc

1

c

2

b

11定积分的取值情况有哪几种？

答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等

于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识有哪些？

答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。

（2）力的积分为功。

推理与证明知识点

13.归纳推理的定义是什么？

答：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

．．．．．．．

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

．．．．

14.归纳推理的思维过程是什么？

概括、推广 猜测一般性结论

答：大致如图：

实验、观察

15.归纳推理的特点有哪些？

答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，

它不能作为数学证明的工具。


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