世界三大数学猜想

2023年12月10日发(作者：理科全国卷数学试卷及答案)

世界三大数学猜想

即费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。

费马猜想的证明于1994年由英国数学家安德鲁•怀尔斯(Andrew Wiles)完成，遂称费 马大定理；

四色猜想的证明于1976年由美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)

借助计算机完成，遂称四色定理；

哥德巴赫猜想尚未解决，目前最好的成果(陈氏定理)乃于1966年由中国数学家陈景润 取得。这三个问题的共同点就是题面简单易懂，内涵深邃无比，影响了一代代的数学家。

w费马大定理

内容

当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x\"n + y = z一无正整数解。

简介

怀尔斯和费马大定理

这个定理，本来乂称费马最后的定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之 为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，德国 佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸 引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地 下降。 但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁•怀尔 斯和他的学生理查•泰勒于1994年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的 椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。 而安德鲁•怀尔斯(Andrew Wiles)出于成功证明此定理，获得了

1998年的菲尔兹奖特别奖 以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。

发现

费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方 数分成两个立方数之和，或一个四次幕分成两个四次辱之和，或者一般地将一个高于二次的幕 分成两个同次事之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里 空白的地方太小，写不下。”(拉丁文原文：\"Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexio Hane marginis

exiguitas non capereto 〃)

毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一 猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。对很多不同的n,

费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二白年内仍对费马大定理一筹莫展。

莫德尔猜想

1983年，联邦德国数学家伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇 章，伐尔廷斯获得1982年菲尔兹奖。

伐尔廷斯于1954年7月28日生于联邦德国的杰尔森柯琛，并在那里渡过了学生时代，而 后就学于内斯涛德教授门下学习数学。1978年获得博士学位。他作过研究员、助教，现在是 波恩大学的教授。他在数学上的兴趣开始于交换代数，以后转向代数几何。

1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想。按其最初形式，这 个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多 只有有限个解。记这个多项式为f(x, y),猜想便表示：最多存在有限对数偶xi, yi£Q,使 得

f(xi, yi)=Oo

后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，乂 重新用代数曲线来叙述这个猜想了。因此，伐尔廷斯实际上证明的是：任意定义在数域K上， 亏格大于或等于2的代数曲线最多只有有限个K一点。

数学家对这个猜想给出各种评论，总的看来是消极的。1979年利奔波姆说：“可以有充 分理由认为，莫德尔猜想的获证似乎还是遥远的事。”

对于“猜想”，1980年威尔批评说：“数学家常常自言自语道：要是某某东西成立的话， \'这就太棒了\'(或者\'这就太顺利了\')。有时不用费多少事就能够证实他的推测，有时则 很快否定了它。但是，如果经过一段时间的努力还是不能证实他的预测，那么他就要说到‘猜 想‘这个词，既便这个东西对他来说亳无重要性可言。绝大多数情形都是没有经过深思熟虑 的。”因此对莫德尔猜想，他指出：我们稍许来看一下“莫德尔猜想”。它所涉及的是一个 算术家几乎不会不提出的问题；因而人们得不到对这个问题应该去押对还是押错的任何严肃的 启示。

然而，时隔不久，1983年伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，人们对它有了全新的看法。在伐尔 廷斯的文章里，还同时解决了另外两个重要猜想，即台特和沙伐尔维奇猜想，它们同莫德尔猜 想具有同等重大意义。

这里主要解释一下莫德尔猜想，至于证明就不多讲了。 所谓代数曲线，粗略一点说，就 是在包含K的任意域中，f(x, y)=0的全部解的集合。

令F(x, y, z)为d次齐次多项式，其中d为f (x, y)的次数，并使F(x, y, 1)=f (x, y),

那么f(x, y)的亏格g为

(d-1) (d-2) /2

当f(x, y)没有奇点时取等号。

费马多项式没有奇点，其亏格为(n-1) (n-2) /2。当n24时，费马多项式

满足猜想的条件。因此，xn+yn=zn最多只有有限多个整数解。

为什么猜想中除去了

f(x, y)的亏格为0或1的情形，即除去了

f(x, y)的次数d小于 或等于3的情形呢？我们说明它的理由。

d= 1时,f (x, y)=ax+by+c显然有无穷多个解。

d=2时，f(x, y)可能没有解，例如f(x, y)=x2+y2+l；但是如果它有一个解,那么必定 有无穷多个解。我们从几何上来论证这一点。设P是f(x, y)解集合中的一点，令1表示一 条不经过点P的直线(见上图)。对1上坐标在域K中的点Q,直线PQ通常总与解集合交于 另一点R。当Q在1上取遍无穷多个K一点时，点R的集合就是f(x, y)的K一解的无穷集合。 例如把这种方法用于x2+y2-1,给出了熟知的参数化解：

当F(X, Y, Z)为三次非奇异(即无奇点)曲线时，其解集合是一个所谓椭圆曲线。我们 可用几何方法做出一个解的无穷集。但是，对于次数大于或等于4的非奇异曲线F,这种几何 方法是不存在的。虽然如此，却存在称为阿贝尔簇的高维代数簇。研究这些阿贝尔簇构成了伐 尔廷斯证明的核心。

伐尔廷斯在证明莫德尔猜想时，使用了沙伐尔维奇猜想、雅可比簇、高、同源和台特猜想 等大量代数几何知识。莫德尔猜想有着广泛的应用。比如，在伐尔廷斯以前，人们不知道， 对于任意的非零整数a,方程y2=x5+a在Q中只有有限个

有限组互质

1983年,en:Gerd Faitings证明了

Mordell猜测,从而得出当n > 2时(n为整数)，只 存在有限组互质的a, b, c使得a\'n + b\'n=c*n。

Gerhard Frey

1986

年，Gerhard Frey

提出了 “ £-猜想\"：若存在

a, b, c

使得

a n + b n = c n,即

如果费马大定理是错的，则椭圆曲线/2 = x(x - £n)(x + bi)会是谷山-志村猜想的一个 反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形 式的密切关系。

怀尔斯和泰勒

1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这 一特例范围内，从而证明了费马大定理。 怀尔斯

怀尔斯证明费马大定理的过程亦其具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得 出了证明的大部分：然后于1993年6月在剑桥大学的一个讨论班上宣布了他的证明，并瞬即 成为世界头条。不过在审批证明的过程中，专家发现了一个缺陷。怀尔斯和泰勒然后用了近一 年时间改进了它，在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与 岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊(en：Annals of Mathematics)之上。

n = 3

欧拉证明了

n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。

n=4

费马自己证明了

n=4的情形。

n = 5

1825年，狄利克雷和勒让德证明了

n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯 一因子分解定理。

n=7

1839年，法国数学家拉梅证明了

\"7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧 妙工具，只是难以推广到n=ll的情形；于是，他乂在1847年提出了 “分圆整数”法来证明， 但没有成功。

理想数库默尔在1844年提出了 “理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n,费马 大定理成立，此一研究告一阶段。

n< 1,000,000

至1991年对费马大定理指数nl, 000, 000

没有被证明。

谷山——志村猜想

1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线一一模曲 线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山 ——志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使 一些学者搞不明白，但它乂使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。

两者关系

1985年，德国数学家弗雷指出了谷山一一志村猜想”和费马大定理之间的关系；他提出了 一个命题：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数A,B,C,使得A的n次方+B的

n次方二C的n次方（n>2）,那么用这组数构造出的形如y的平方=x（x+A的n次方）乘以（x-B

的n次方）的椭圆曲线，不可能是模曲线。尽管他努力了，但他的命题和“谷山一一志村猜想” 矛盾，如果能同时证明这两个命题，根据反证法就可以知道“费马大定理”不成立，这一假定 是错误的，从而就证明了 “费马大定理”。但当时他没有严格证明他的命题。

弗雷命题

1986年，美国数学家里贝特证明了弗雷命题，于是希望便集中于“谷山一一志村猜想”。

完成证明

1993年6月，英国数学家怀尔斯证明了：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山一一志 村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表 明了他最终证明了 “费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏洞，于是，维尔斯乂经过 了一年多的拼搏，于1994年9月彻底圆满证明了 “费马大定理”。

2四色定理

内容及提出

四色问题的内容是：“任何一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不 同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以 用1, 2,

3, 4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”

这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多 点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯•格思里来到一家科研单 位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使 得有共同边界的国家都被着上不同的颜色这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和 在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大 叠，可是研究工作没有进展。

求证历程

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德・摩尔根, 摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士 请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为［匕 问题也没有能够解决。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜 想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

1878〜1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文, 宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家 相遇于一点，这种地图就说是“正规的\"（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。 一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过 正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要 证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。

肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的 “极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一 张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规 五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了 “四色问题”，但是后来人们发现他错了。

不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是 “构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存 在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五 个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。

肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明 了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可 约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可 避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这 是相当复杂的。

11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普 在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。不久, 泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题一一五色定理。就是 说对地图着色，用五种颜色就够了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。 于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年, 美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的 构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了

22国以下的地图都可以用四色着色。1950

年，有人从22国推进到35国。1960年，有人乂证明了

39国以下的地图可以只用四种颜色着 色；随后乂推进到了

50国。看来这种推进仍然十分缓慢。

信息时代的成功

高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。从1936年就开始研究 四色猜想的海克，公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。他的学生丢雷写 了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约，而且描绘可约构形的方法 是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。

他把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来，除 首都（称为顶点）及铁路（称为弧或边）外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。 到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。 在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究 是个关键，也是证明四色定理的中心要素。

电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色 猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编 制一个很好的程序。就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上, 用了

1200个小时，作了

100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。

这是一仃多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发 表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了 “四色足够”的特制邮戳，以庆祝这 一难题获得解决。

“四色问题”的被证明不仅解决了一个历时.

100多年的难题，而且成为数学史上一系列新 思维的起点。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学 计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题” 在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。 不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明 方法。直到现在，仍由不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。

几何证明

在平面地图中，为了区分相邻的图形，相邻图形需要使用不同的颜色来上色，与这两个相 邻图形都有邻边的图形需要使用笫三种颜色，我们先假设四色定理成立，根据四色定理得出在 一个平面内最多有四个互有邻边的图形，而因为第四个与三个互有邻边的图形都有邻边的图形 有邻边的图形会包围一个图形，所以一个平面内互有邻边的图形最多有四个，所以四色定理成 立（互有邻边，举例：三个互有邻边的图形一一A和B有邻边C和AB都有邻边）

3哥德巴赫猜想

猜想

史上和质数有关的数学猜想中，最著名的当然就是“哥德巴赫猜想” 了。

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大 胆的猜想:

一、任何不小于4的偶数，都可以是两个质数之和（如：4=2+2）；

二、任何不小于7的奇数，都可以是三个质数之和（如：7=2+2+3） o

这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。显然，第二个猜想是第一个猜想的推论。因此, 只需在两个猜想中证明一个就足够了。

简述 猜想手稿

同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中，明确表示他深信哥德巴赫的这两个猜想都 是正确的定理，但是欧拉当时还无法给出证明。由于欧拉是当时欧洲最伟大的数学家，他对哥 德巴赫猜想的信心，影响到了整个欧洲乃至世界数学界。从那以后，许多数学家都跃跃欲试， 甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想。可是直到19世纪末，哥德巴赫猜想的证明也没有任何 进展。证明哥德巴赫猜想的难度，远远超出了人们的想象。有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为 “数学王冠上的明珠”。

我们从

6=3+3、8=3+5、10=5+5、 ... 、100=3+97=11+89=17+83 .....

这些具体的例子中，

可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一验证了

3300万以内的所有偶数，竟然没有 一个不符合哥德巴赫猜想的。20世纪，随着计算机技术的发展，数学家们发现哥德巴赫猜想 对于更大的数依然成立。可是自然数是无限的，谁知道会不会在某一个足够大的偶数上，突然 出现哥德巴赫猜想的反例呢？于是人们逐步改变了探究问题的方式。

1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特，在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为

23个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想” 堡垒，终于取得了辉煌的成果。

证明进程

20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和

法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈” 一样，逐步逼近最后的结 果。1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9+9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大 包围圈”。这个“9+9”是怎么回事呢？所谓“9+9”，翻译成数学语言就是：“任何一个足够 大的偶数，都可以表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之积。” 从这个“9+9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标就是“1+1”

了。

1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7+7” o很快,“6+6”、“5+5”、“4+4”和

“3+3”逐一被攻陷。1957年，中国数学家王元证明了

“2+3”。1962年，中国数学家潘承洞 证明了

“1+5”，同年乂和王元合作证明了

“1+4”。1965年，苏联数学家证明了

“1+3”。

1966年，中国著名数学家陈景润攻克了

“1+2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都 可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的积。”这 个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。

由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。但为了 实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，要想证明“1+1”， 必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。