2024年1月10日发(作者：皖南五校联考数学试卷分析)

第一讲 求极限的各种方法

教学

目的

通过教学使学生掌握求极限的各种方法，重点掌握用等价无穷小量代换求极限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求limf(x)数列极限转化成函数极限求解

1．用等价无穷小量代换求极限

g(x)极限 ；利用Taylor公式求极限；重

点

难

点

2．用罗必塔法则求极限

3．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

4．利用Taylor公式求极限

5．数列极限转化成函数极限求解

教

学

提

纲

1．约去零因子求极限

2．分子分母同除求极限

3．分子(母)有理化求极限

4．应用两个重要极限求极限

5．用等价无穷小量代换求极限

6．用罗必塔法则求极限

7．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

8．数列极限转化成函数极限求解

9．n项和数列极限问题

10．单调有界数列的极限问题

1

第一讲 求极限的各种方法

求极限是历年考试的重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题出现，说明极限作为微积分的基础，地位有所加强。数学二、三一般以大题的形式出现。

用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求limf(x)零因子是解题的重要技巧。

1．约去零因子求极限

g(x)极限是重点，及时分离极限式中的非x41例1：求极限lim

x1x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。

(x1)(x1)(x21)lim(x1)(x21)6 【解】limx1x1x12．分子分母同除求极限

x3x2例2：求极限lim

x3x31【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

11x3x21x【解】lim

limx3x31x313x3【评注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；

0mnnn1axan1xa0 (2)

limnmmn

m1xbxbxbmm10anmnbn3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限lim(x3x2x21)

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】lim(x3x2x1)lim0

2(x23x21)(x23x21)x3x122x

lim2x3x122x例4：求极限limx01tanx1sinx

3x【解】limx01tanx1sinxtanxsinx

lim33x0xx1tanx1sinx

2

limx0tanxsinx1tanxsinx1lim

33x0x024xx1tanx1sinxlim1【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键

．．．．．．．．．．．．．4．应用两个重要极限求极限

11sinx两个重要极限是lim第一个重要极限1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，xnx0x0xnx过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

x1x1例5：求极限lim

xx1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑1，最后凑指数部分。

X2x11xx22122x12lim1lim11e【解】lim

x1xx1xxx1x121x2a例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。

xxxax5．用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,

xxx1cosx~12bx,1ax1~abx；

2(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；

．．limsinxxxx＝lim＝0是不正确的

x0tan3xx0x３(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

．．．．．xln(1x)

x01cosxxln(1x)xx【解】

limlim2.

x01cosxx012x2sinxx例8：求极限lim

x0tan3x21sinxxcosx11sinxx2xlimlimlim【解】lim

322x0x0x0x0tan3x6x3x3x例7：求极限lim

3

sinxsinsinxsinx.

x0x4cosxcos(sinx)cosx(sinxsinsinx)sinxsinxsinsinx【解】

lim

limlimx0x0x03x2x4x3cosx(1cos(sinx))sin(sinx)cosxsinx1limlimlim

x0x0x06x3x26x6例9：求极限lim6．用罗必塔法则求极限

lncos2xln(1sin2x)例10：求极限lim

2x0x0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。

02sin2xsin2x2lncos2xln(1sin2x)cos2x1sinx 【解】limlim2x0x0x2xsin2x21lim3

x02xcos2x1sin2x【说明】例11：求

limxcos(t2)dt02x2x0sinxx2210.

x2【说明】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

【解】limxcostdt0102x0sinxx1018x1cosx412lim

lim

88x0x0105x5xg(x)7．用对数恒等式求limf(x)极限

x02xlimxcost2dt022x2xcosx4lim

9x010x例12：极限lim[1ln(1x)]

x0【说明】（１）该类问题一般用对数恒等式降低问题的难度

（２）注意x0时，ln(1x)~x

【解】

lim[1ln(1x)]=limex0x02x2ln[1ln(1x)]x=ex0lim2ln[1ln(1x)]xex0lim2ln(1x)xe2.

1例13：求极限lim3x0x2cosxx1.

32cosxlne13

lim【解】 原式limx0x0x2x3cosx1ln（1）cosx113

lim

lim22x0x03x6x2cosxxln3【又如】

lim

(1x)e

x0xx4

1x

8．数列极限转化成函数极限求解

1

nn【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若例14：极限limnsin转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

n21【解】考虑辅助极限limxsinxxx2limex1x2xsin1xlimey011siny12yye

161所以，limnsinnnn2e

169．n项和数列极限问题

n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法

(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算；

(2)利用两边夹法则求极限。

111例15：极限lim22nn222n2n2n1

【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。lim11fnnn2fn1nff(x)dx

0n111【解】原式＝lim22nn1211nn11121

dxln022211x111例16：极限lim2nn22n2nn1【说明】

(1)该题与上一题类似，但是不能凑成lim1

2n1n

112nfff的形式，因而用两边夹nnnnn法则求解；

(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

1112nn22n2nn1n11因为

222nnn1n2nnlim1 又

lim22nnnnn1【解】lim

5



1nn2nn12

1112nn22n2nn12n12nnn22

例17：求

limnn111nn2n所以

lim【解】

＝１

【说明】该题需要把两边夹法则与定积分的定义相结合方可解决问题。

1n2nnnn12221(222)(2n2n2n)

11nn1nn1nn2n12n12nn1n1lim(22n2n)lim(2n2n2n)

nn1nnn12x11x2dx|0

0ln2ln22n12nnn221

limnn111ln2nn2n10．单调有界数列的极限问题

例18：已知x11，xn11n2nnn12nxn1,n2，证明limxn存在，并求该极限

n1xn1【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.

【解】

1xn1xn12

1xn1xn1xn1xnxxnxn111n1(xnxn1)

1xn1xn1(1xn1)(1xn)919n1(x2x1)0

nn该数列单调增加有上界，所以limxn存在，设

limxn＝Ａ

对于xn1即

limxn＝xn115A,令n，A!

,得Ａ＝1xn121A15

n2例19：设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,)

1xn1xn2（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；（Ⅱ）计算lim.

nnxn【解】 （Ⅰ）因为0x1，则0x2sinx11.

可推得

0xn1sinxn1,n1,2,

，则数列xn有界.

6

于是

xn1sinxn1，sinxx）（因当x0时，， 则有xn1xn，可见数列xn单调减少，xnxnn故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.

设limxnl，在xn1sinxn两边令n，得

lsinl，解得l0，即limxn0.

nn11x（Ⅱ） 因

limn1nxn122xnsinxnxn2，由（Ⅰ）知该极限为1型，

limnxn11sinx12xxsinxx21xlimsinxlimex0xx0lime10x2xnx3e16 (使用了罗必塔法则)

1x故

limn1nxn1sinxnxn2lime6.

nxn

7

第二讲 无穷小与函数的连续性

教学

目的

通过教学使学生掌握无穷小量及无穷小量，无穷大量的概念。无穷小量与无穷大量之间的关系，函数的连续性的判定及函数的间断点的求法。

重

点

难

点

教

学

提

纲

1．用等价无穷小量代换求极限

2．函数的连续性的判

3. 间断点的求法

１. 无穷小

如果lim0,就说在这个极限过过程中是无穷小量。

２.无穷大

｜｜，就说在这个极限过过程中是无穷大量。

lim＋，lim－，lim

３无界量

4.函数的连续性

定义1 函数yfx在点x0的某一领域内有定义，如果

limfx存在； (1)极限xx(2)limfxfx0。

xx0那么就称yfx在点x0连续。

５、函数的间断点

第一类间断点 左右极限相等（可去间断点）

间断点 （左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点（左右极限至少有一个不存在

0

8

第二讲 无穷小与函数的连续性

无穷小量、函数的连续性、间断点的判定等问题的实质是极限问题，理解这些问题的概念，熟练运用求极限的方法是解决这类问题的关键。

１. 无穷小

如果lim0,就说在这个极限过过程中是无穷小量。

【说明】（1）说一个函数（数列）是无穷小量，必需指明在哪个极限过程中。在这个极限过程中是无穷小量，在另一个极限过程中不一定是无穷小量。x0时，sinx是无穷小量，但x1时，sinx不是无穷小量；

（2）0是唯一可作为无穷小的常数；

23（3）x3x作为无穷小量（x0），主要看低次方项；作为无穷大量（x），主要看高次方项；

在同一变化过程中

0,就说是比高阶的无穷小,记作;

如果lim,就说是比低阶的无穷小.

如果limc0,就说与是同阶无穷小;

如果limkc0,k0,就说是关于的k阶无穷小，O(k).

如果lim1,就说与是等价无穷小,记作~.

如果lim2例1：当x0时，(x)kx与(x)1xarcsinxcosx是等价无穷小，则求k.

【解】 由题设，lim(x)1xarcsinxcosx

lim2x0(x)x0kxxarcsinx1cosxkx(1xarcsinxcosx)2 =limx0

=1xarcsinx1cosx3lim1，

2x02k4kx

9

得k3.

4例2：x0时无穷小量x0costdt,tantdt,sint3dt，排列起来，使排在后面002x2x的是排在前面的一个的高阶无穷小量。排列顺序是（ ）

a)

,,． b)

,,． c)

,,． d)

,,．

【说明】（1）无穷小量的阶主要看它和哪个x同阶，然后再x阶排定顺序；

（2）无穷小量求导数后阶数降低一阶。

kk＝2xtanx(2阶)，＝【解】＝cosx(0阶)，212xsin(x)3(1阶)，应选 Ｂ。

例3：设函数f(x)在x＝０的某邻域具有二阶连续导数，且f(0),f(0),f(0)0．证明：存在惟一的一组实数a,b,c，使得当h0时，

af(h)bf(2h)cf(3h)f(0)o(h2)．

【分析】条件告诉我们lim因而

af(h)bf(2h)cf(3h)f(0)0

x0h2limaf(h)bf(2h)cf(3h)f(0)x0f(x)连续limaf(0)bf(0)cf(0)f(0)0

x0f(0)0,abc10

af(h)bf(2h)cf(3h)f(0)罗af(h)2bf(2h)3cf(3h)limlim0

x0x02hh2同上af(0)2bf(0)3cf(0)0，f(0)0,a2bb3c0

。。。。。。。。。。。。。

【证】略

２.无穷大

｜｜，就说在这个极限过过程中是无穷大量。

lim＋，lim－，lim定理：当自变量在同一变化过程中时，

1为无穷小量。

f(x)1（２）若f(x)为无穷小量，且f(x)0，则为无穷大量。

f(x)lnnnnkan(a1)nn(n) 【说明】常见无穷大量的阶　（１）若f(x)为无穷大量，则３无界量

10

如不存在M0使，对xI，都有|f(x)|M，则称f(x)在I上无界

limf(x)，则(a,a)上无界，limf(x)，则(a,)上无界

xax例4：x０时，变量

11是( C )

sin2xxa)无穷小 b) 无穷大；c)无界，但不是无穷大； d)有界，但不是无穷小．

4.函数的连续性

函数yfx在点x0的某一领域内有定义，如果

limfx存在； (1)极限xx(2)limfxfx0。

xx0那么就称yfx在点x0连续。

如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,则称f(x)在开区间(a,b)内连续;如果函数0f(x)在开区间(a,b)内连续,在点a右连续,在点b左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续。

如果limfxfx0,就说函数fx在点xx0x0x0左连续。

如果limfxfx0,就说函数fx在点xx0右连续。

1etanx,x0,x在x0连续，则a=(2)。 例５：f(x)arcsin22xx0,ae,【解】

limfx－2，limfxa，a2

xx0xx0５、函数的间断点

设函数fx在点x0的某去心领域内有定义.在此前提下,如果函数fx有下列三种情形之一:

在xx0没有定义;

虽在xx0有定义,但limfx不存在;

虽在xx0有定义,且limfx存在,但limfxfx0;

则函数fx在点x0为不连续,而点x0称为函数fx的不连续点或间断点.

间断点x0的分类:

xx0xx0xx0可去间断点:

fxfx，(补充定义使之连续)

跳跃间断点:fxfx，

第二类间断点: 左极限fx及右极限fx至少有一个不存在，

第一类间断点:左极限fx0及右极限fx0都存在，

000000

11

无穷间断点:

limfx，

xx0 第一类间断点 左右极限相等（可去间断点）

间断点 （左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）

例6：求f(x)lnxx23x2的间断点，并指出它的类型。

【分析】由于初等函数在定义域内都是连续的，所以间断点必定是无定义的或分段函数的分点。

【解】limf(x)limx0lnx2x3x2lnx1/x

limf(x)lim2lim1，x1是第一类间断点

x1x1x3x2x12x3lnx

limf(x)lim2，x2是第二类间断点

x2x2x3x2x0，x0是第二类间断点

例7：f(x)limsinttxsinxxsintsinx，求f(x)的间断点，并指出其类型．

sint1)limsinxtxsintsinxx(costlimsinxtxcostx【解】

f(x)esintxln11sinxlimtxsintsinxeeexsinx

x0可去间断点，x2k(k0)第二类间断点，

ln(1ax3)xarcsinx例8：f(x)6eaxx2ax1xxsin4x0x0,a=？时,f(x)在x=0点连续，x=0是可去间断点。

x0ln(1ax3)ax3lim【解】

f(00)limf(x)lim

x0x0xarcsinxx0xarcsinx3ax23ax23ax26a. =lim=limlim2x0x0x0111x1x2121x2eaxx2ax1f(00)limf(x)lim

x0x0xxsin4eaxx2ax1aeax2xa24lim2a4. =4lim2x0x02xx2令f(00)f(00)，有

6a2a4，得a1或a2.

当a=-1时，limf(x)6f(0)，即f(x)在x=0处连续.

x0

12

当a=-2时，limf(x)12f(0)，因而x=0是f(x)的可去间断点.

x0exb例5：确定a,b的值，使得f(x)有第二类间断点x0及可去间断点x1。

(xa)(x1)exbA 常数lim【解】limf(x)lim（exb）0，be

x1x1(xa)(x1)x1exelimf(x)limx0x0(xa)(x1) ，a0

13

第三讲 导数与微分法研究

教学

目的

通过教学使学生掌握导数的定义，导数的几何意义及微分的概念，熟练掌握导数的各种求导方法。

1．隐函数的导数求法

2．参数方程确定的函数的导数求法

3．形如yf(x)g(x)的函数的导数求法――取对数求导法

４. 变动上线的积分表示的函数的导数

重

点

难

点

教

学

提

纲

一、基本概念

1．导数及其变形

2．分段函数的导数通过左右导数来求

３.导数的几何意义

4.微分的定义

二、求导方法

１.求导公式及其应用

２.复合函数求导法

３．隐函数的导数求法

4．参数方程确定的函数的导数求法

5．极坐标方程表示的的函数的导数求法

６．形如yf(x)g(x)的函数的导数求法――取对数求导法

７．分段函数的导数

８．变动上线的积分表示的函数的导数

14

第三讲 导数与微分法研究

一元函数的导数与微分是微积分的基础，经常出选择题与填空题，可作为求极限、求驻点、求拐点、求多元函数的偏导数与全微分等问题的基础。重点掌握分段函数的导数、隐函数的导数、参数（极坐标）方程确定的函数的导数。变动上限的积分表示的函数的导数每年都考。

一、基本概念

1．导数及其变形

xx0limf(x)f(x0)f(x0x)f(x0)f(x0h)f(x0)limlim

x0h0xx0xh例1：设f(x)在x0可导，求

f(x03h)f(x0)f(x02h)f(x02h)， (2)lim

h0h0hh11(3)limn[f(x0)f(x0)]

n0n2n(1)lim2．分段函数的导数通过左右导数来求

例2：设f(x)|xa|(x),(x)在xa连续，文在什么条件下f(x)在xa可导？

f(x)f(a)lim(x)(a)

xaxaxaf(x)f(a)

limlim(x)(a)

xaxaxa当(a)(a)，即(a)0时，f(x)在xa可导。

2【讨论】f(x)|x|，f(x)x|x|，f(x)x(x1)(x1)|x1|分别有几个不可导点。

【解】limx2x1例3：已知函数f(x)处处可导，试确定a、b的值。

axbx1【解】(1)欲使f(x)在x1处可导，必先在x1处连续，

故有limf(x)limf(x)f(1)，即ab1

x1x1（2）又f(x)在x1处的左、右导数分别为

(1x)21f(1)lim2x0x，

a(1x)b1axf(1)limlimax0x0xx，

故a2，从而b1，所以，当a2，b1时f(x)处处可导。

３.导数的几何意义

设函数yf(x)在点x0的导数存在，为f\'(x0)，则导数值为函数yf(x)上一点（x0，f(x0)）yy0f\'(x0)(xx0)；yy0处的切线的斜率。此时，切线方程为：法线方程为：

15

1(xx0)。

f\'(x0)

例4：求yx的切线方程，使此切线与直线yx1的斜率相同。

【解】设切点为（x0，y0），则有：y0x0，

由已知，切线斜率与yx1相同，则y\'|x01，

2211，y0

24111切线方程为：yx 即yx。

4244例5：函数yf(x)由方程xy2lnxy确定，求yf(x)在(1,1)处的切线方程。【解】略

可解得：x04.微分的定义

设函数yfx在某区间内有定义，x0及x0x在这区间内，如果因变量的增量yfx0xfx0可表示为yAx0x，其中A是不依赖于x的常数，而0x是那么称函数yfx在点x0是可微的。而Ax叫做函数yfx在x0时比x高阶的无穷小，点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy。即dyAx。

二、求导方法

１.求导公式及其应用(略)２.复合函数求导法（略）３．隐函数的导数求法

d2y1例6：求由方程xysiny0所确定的隐函数yfx的二阶导数

22dxy【解】两边对x求导得：1ycosy0 ………………………… （*）

22sinyy2d2yd24sinyy由此得

2232cosydx2cosy2cosydx2cosy1yycosyysinyy02方法二：对（*）式再两端求导得：

212sinyysiny22cosyysiny4siny

y2312cosy2cosy2cosy1cosy24．参数方程确定的函数的导数求法

（1）若参数方程2xt确定x与y之间函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数。

yt（2）计算导数的方法

dyd2yddxdytdtt，

dxdxtdttdx2

16

tdyd2yxsinudua例7:函数yf(x)由参数方程确定，求 ，

2dxdxysint【解】dxsintdtdycostdtdycott

dxd2y1dy2

d()csctdt

23dxsintdxxt22t例8:函数yf(x)由方程2tysiny1【解】略

5．极坐标方程表示的的函数的导数求法

设极坐标方程为＝()，化为直角坐标例9: 函数yf(x)的极坐标方程为＝e2d2y确定，求

2dxx()cos，进一步转化为直角坐标求解。

y()sindy

dx，求xe2cos【解】

2yesindxe2(2cossin)d

2dye(2sincos)ddy2cossin

dx2sincos６．形如yf(x)g(x)的函数的导数求法――取对数求导法

，求dy

dx【解】lny＝cosxln(sinx1)

方程两边关于x求导

1cos2xy＝sinxln(sinx1)

ysinx1例10:y＝(sinx1)cosxy＝(sinx1)cosxcos2xsinxln(sinx1)

sinx17．分段函数的导数

分段函数的导数在分段点通过左右倒数来讨论。

g(x)exx0，g(x)有二解连续的导数，g(0)1,

g(0)1,求f(x) 例11:设f(x)xx00【解】 当x0时

[g(x)ex]xg(x)exf(x)

x2当x0时

17

g(x)exg(x)exg(x)exg(0)1f(0)limlimlim

x0x0x02x22x28.变动上线的积分表示的函数的导数

f(x)连续，若F(x)例12：求导数

xaf(t)dt，则F(x)f(x)

dx（1）cos(2t)etdtcos(2x)ex

dxad3t2x（2）

cos(2t)edt2cos(4x)e2xdxdx2t2x22x（3）

cos(2t)edt2xcos(x)e2cos(2x)edx2xxdxddxtt（4）xcos(2t)edt[xxcos(2t)edt]cos(2t)etdtxcos(2x)ex

dxadxadxad1（5）f(x)是连续函数，求f(tx)dt

dx011x令ytx,则f(tx)dtf(y)dy

0x0d11x1所以，f(tx)dtf(y)dyf(x)

dx0xx20例13：设f(x)可导，f(x)xf(x1)4，并且10f(xt)dtf(t1)dt

0xx3x22x 求f(x)

1x【解】令ytx,则f(tx)dtf(y)dy

0x01代入得

10x0f(xt)dtf(t1)dtx3x22x

0xf(t)dtxf(t1)dtx4x32x2 两边两次求导

02x

f(x1)6x3x

f(x)6x215x9

例14：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限limx0x0(xt)f(t)dtx0.

xf(xt)dt【解】 由于x0f(xt)dtxtu0xf(u)(du)f(u)du,于是

0xx00xlimx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dtlimxf(t)dttf(t)dtxf(u)du0xx0

18

xf(１).x0xf()xf(0)２linf(0)1.

=limx0x0f(t)dtxf(x)xf(x)x=limx0x0f(t)dt0f(u)duxf(x)x0=

f(u)duxf(x) =

第四讲 微积分中存在性问题的证明方法

19

教学

目的

通过教学使学生掌握微积分中存在性问题证明的一般方法，熟练掌握用介值定理或根的存在性定理证明存在性问题；用中值定理证明存在性问题；用泰勒公式证明存在性问题

1．用介值定理或根的存在性定理证明存在性问题

2．用中值定理证明存在性问题

3．用泰勒公式证明存在性问题

1．基本结论

(1)有界性；最值性；零点定理；介值性定理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

2．证明思路

(1)设f(x)在[a,b]上连续，条件中不涉及到导数或可微，证明存在[a,b]，使得重

点

难

点

教

学

提

纲

f(x)c，一般用介值定理或根的存在性定理。

(2) 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在(a,b)，使得结论中包含和一阶导数的等式成立，一般用中值定理。

(3) 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上二阶可微，证明存在(a,b)，使得结论中包含和二阶导数的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。

(4)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上三次（或以上）可导，证明存在(a,b)，使得结论中包含和三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。

(5)条件中包含f(c)baf(x)dx时，要首先使用积分中值定理处理，得到f(c)f()，作为其他证明的条件。

3.存在性证明中辅助函数的构造方法

20

第四讲 微积分中存在性问题的证明方法

微积分中存在性问题的证明问题涉及闭区间上连续函数的性质、微分中值定理、积分中值定理和泰勒公式，是历年考试的重点，一定熟练掌握。这一问题的突破点是选择正确的解题思路并合理构造辅助函数，有时辅助函数需要借助微分方程来寻找寻找。

1．基本结论

(1)有界性：若f(x)C[a,b]M0,x[a,b],f(x)M。

(2)最值性：若f(x)C[a,b]，则f(x)在[a,b]能取到最大值和最小值。

(3)零点定理：若f(x)C[a,b]，且f(a)f(b)0，则在(a,b)内至少存在一点c，使f(c)0。

(4)介值性：若f(x)C[a,b]，M,m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，则[m,M]，在[a,b]至少存在一点c，使f(c)。

(5)罗尔定理 如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等，即在该点的导数等于零，即f(a)f(b) 那么在(a,b)内至少在一点(ab)  使得函数f(x)f\'()0

(6)拉格朗日中值定理 如果函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 那么在(a,b)内至少有一点(ab) 使得等式

f(b)f(a)f\'()(ba)

(7)柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F(x)在\'(a,b)内每一点均不为零，那末在(a,b)内至少有一点(ab),使等式2．证明思路

f(b)f(a)f\'()成立

\'F(b)F(a)F() (1)设f(x)在[a,b]上连续，条件中不涉及到导数或可微，证明存在[a,b]，使得f(x)c，一般用介值定理或根的存在性定理。

(2) 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在(a,b)，使得结论中包含和一阶导数的等式成立，一般用中值定理。

(3) 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上二阶可微，证明存在(a,b)，使得结论中包含和二阶导数的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。

(4)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上三次（或以上）可导，证明存在(a,b)，使得结论中包含和三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。

(5)条件中包含f(c)baf(x)dx时，要首先使用积分中值定理处理，得到f(c)f()，作为其

21

他证明的条件。

3.存在性证明中辅助函数的构造方法

存在性证明中成功构造辅助函数是解题的关键。辅助函数大多来源于结论，从对结论的分析中得出辅助函数。

例1、设f(x)在[0，2a]上连续，f(0)f(2a)，证明在[0,a]上存在使得

f(a)f().

【分析】f(a)f()f(a)f()0f(ax)f(x)0

【证明】令G(x)f(ax)f(x)，x[0,a]．G(x)在[0,a]上连续，且

G(a)f(2a)f(a)f(0)f(a)

G(0)f(a)f(0)

当f(a)f(0)时，取0，即有f(a)f()；

当f(a)f(0)时，G(0)G(a)0，由根的存在性定理知存在(0,a)使得，G()0，即f(a)f()．

例2设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在(0,3)，使f()0.

【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c[0,3)，使得f(c)1f(3)，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于之间，最终用介值定理可以达到目的.

【证明】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是

mf(0)M，

mf(1)M，mf(2)M.

故mf(0)f(1)f(2)1，问题转化为1介于f(x)的最值3f(0)f(1)f(2)M.

3由介值定理知，至少存在一点c[0,2]，使

f(c)f(0)f(1)f(2)1.

3 因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在

22

(c,3)(0,3)，使f()0.

例3、设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，f(1)0，证明：在(0,1)内存在，使得f()f()．【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：

f()f()f()f()0f(x)xf(x)0xf(x)0

【证明】令G(x)xf(x)，则G(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且

G(0)0f(0)0,G(1)1f(1)0,G(x)f(x)xf(x)

由罗尔中值定理知，存在(0,1)，使得G()f()f()．即f()f()

例4设函数f(x)在［0，1］上连续，（0，1）内可导，且f(1)k证明：(0,1)，使f()(1【分析】本题的难点是构造辅助函数，

1

f()(1)f()11k0xe1xf(x)dx

)f()（k1）．

f()(1)f()[xf(x)]xf(x)f()f()f()xexf(x)1

xf(x)f(x)xf(x)x令g(x)xef(x)xf(x)exf(1)e1f()

g(1)g()

【证明】略

例5设函数f(x)在［0，1］上连续，（0，1）内可导，且f(0)f(1)0,f(12)1

,1)，使f()证明：(1)(12

(2)对于任意实数，(0,)，使f()(f())1【分析】本题的难点是构造辅助函数，

f()(f())1

f(x)f(x)1x

f(x)edxf()f()1f(x)f(x)x10

C(1x)edxdxCexx



23

[f(x)x]exC 令g(x)ex[f(x)x]

例6、设函数f(x)在［0，1］上连续，（0，1）内可导，且f(0)0,x(0,1),f(x)0

nf()f(1) 证明：(0,1)，使f()f(1)（n为自然数）．

【分析】本题构造辅助函数的难度大于上一题，需要积分（即解微分方程）方可得到：

nf()f(1)nf()f(1x)nf(x)f(1x)dxdxf()f(1)f(x)f(1x)f(x)f(1x)n11df(x)df(1x)lnfn(x)lnf(1x)

f(x)f(1x)

fn(x)f(1x)1n【证明】令G(x)f(x)f(1x)，则G(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且G(0)G(1)0，(0,1)，使G()0，即

nfn1()f(x)f(1)fn()f(1)0又f(x)0，约去fn1，

(x)，整理得证．

例7、设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，f(0)0，f(1)1.证明：

(1)在(0,1)内存在，使得f()1．

(2) 在(0,1)内存在两个不同的点，使得f()f()1

【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.

【证明】 （I） 令F(x)f(x)1x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在(0,1), 使得F()0，即f()1.

（II） 在[0,]和[,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点//(0,),(,1)，使得f()f()f(0)f(1)f()，f()

01

24

于是

f()f()类似地还有

f()1f()11.

11例8、设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明：在(a,b)内存在,使得f/()ab/f()．

2例9：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，f(a)f(b)1证明：在(a,b)内存在,使得

e[f/()f()]1．

例10：设函数f(x), g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),

f(b)=g(b), 证明：存在(a,b)，使得f()g().

【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令则问题转化为证明F()0, 只需对F(x)用罗尔定理，关键是找到F(x)的F(x)f(x)g(x)，端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点c(a,b)，使得F(c)0，则在区间[a,c],[c,b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F(x)用罗尔定理即可。

【证明】构造辅助函数F(x)f(x)g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在x1x2,

x1,x2(a,b)使得

f(x1)Mmaxf(x),g(x2)Mmaxg(x)，

[a,b][a,b]若x1x2，令cx1, 则F(c)0.

若x1x2，因F(x1)f(x1)g(x1)0,F(x2)f(x2)g(x2)0，从而存在

c[x1,x2](a,b)，使F(c)0.

在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知，存在1(a,c),2(c,b)，使得F(1)F(2)0. 再对F(x)在区间[1,2]上应用罗尔定理，知存在(1,2)(a,b)，有

F()0， 即

f()g().

25

第五讲 微积分中不等式的证明方法讨论

教学

目的

通过教学使学生掌握利用函数的单调性证明不等式；利用拉格朗日中值定理证明不等式；利用函数的最值证明不等式；利用泰勒公式证明不等式；积分表示的不等式的证明

1．利用函数的单调性证明不等式

2．利用泰勒公式证明不等式

3．积分表示的不等式的证明

1.利用函数的单调性证明不等式

若在(a,b)上总有f(x)0，则f(x)在(a,b)单调增加；若在(a,b)上总有f(x)0，则f(x)在(a,b)单调减少。

重

点

难

点

教

学

提

纲

2.利用拉格朗日中值定理证明不等式

对于不等式中含有f(b)f(a)的因子,可考虑用拉格朗日中值定理先处理以下。

3.利用函数的最值证明不等式

令f(x)在区间[b,a]上连续，则f(x)在区间[b,a]存在最大值M和最小值m，那么：mf(x)M

4.利用泰勒公式证明不等式

如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。

5.积分表示的不等式的证明

26

第五讲 微积分中不等式的证明方法讨论

不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法，有时需要两次甚至三次连续使用该方法。其他方法可作为该方法的补充，辅助函数的构造仍是解决问题的关键。

1.利用函数的单调性证明不等式

若在(a,b)上总有f(x)0，则f(x)在(a,b)单调增加；若在(a,b)上总有f(x)0，则f(x)在(a,b)单调减少。

【评注】构造恰当的辅助函数是解决问题的基础，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对(a,b)进行分割，分别在小区间上讨论。

例１：证明：当0ab时，

bsinb2cosbbasina2cosaa.

【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.

【解】 令

f(x)xsinx2cosxxasina2cosaa,0axb，

则

f(x)sinxxcosx2sinxxcosxsinx，且f()0.

又

f(x)cosxxsinxcosxxsinx0，（0x时,xsinx0），

故当0axb时，f(x)单调减少，即f(x)f()0，则f(x)单调增加，于是f(b)f(a)0，即

bsinb2cosbbasina2cosaa.

【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数f(x)，然后求导验证f(x)的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值）。

例2：设eabe, 证明lnblna【分析】即证lnb22224(ba).

e2442blnaa

e2e24lnx422， 【证明】设(x)lnx2x， 则

(x)2xee1lnx

(x)2,

2x所以当x>e时，(x)0, 故(x)单调减少，从而当exe时，

(x)(e)22440，

22ee27

即当exe时，(x)单调增加.

因此当eabe时，(b)(a)，

22442blnaa，

22ee422故

lnblna2(ba).

e即

lnb2【评注】 本题也可设辅助函数为(x)lnxlna例3：证明不等式：(x1)lnx(x1) (x0)

22224(xa),eaxe2，请自己证明。

2e【分析】当x1时，两端都等于0，等号成立；应分0x1及1x两种情况讨论。

即证：（1）x1,(x1)lnxx1

（2）

x1,(x1)lnx(x1)

（3）x1,(x1)lnxx1

下面的证明就简单了。

例4：设bae，证明：ln22b2(ba)

aab【分析】该题的关键是设辅助函数，由多种设法

（1）f(x)lnx2(xa),bae

aax （2）

f(x)(ab)(lnxlna)2(xa)，bae

当然，第二种设法更简单

例5：设x0,ae ，证明aax(ax)a

【分析】辅助函数也有多种设法

（1）f(x)aax(ax)a，x0,ae

（2）

f(x)(ax)lnaaln(ax)，x0,ae

（3）

f(y)ylnaalny，

yae

当然，第三种设法更简单。

【练习】设ba0，证明不等式2alnblna1

baa2b2ab2.利用拉格朗日中值定理证明不等式

28

对于不等式中含有f(b)f(a)的因子,可考虑用拉格朗日中值定理先处理以下。

abaab

lnabb1lnalnb1【分析】即证：

aabb例6：证明：当0

(b,a)，使lnalnb1f()

ab1111lnalnb1，即 ，变形得证。

abaabb2ba,所以例7：设eabe, 证明lnblna2224(ba)

e2【证明】 对函数f(x)lnx在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得

lnblna222ln(ba),ab.

下面证明2ln4,ab.

2e设(t)lnt1lnt，则(t)，

2tt2当t>e时，

(t)0, 所以(t)单调减少，从而()(e)，即

lne2222，

eeln故

lnblna例8：设0ab，则224(ba).

2e2alnblna1

22baabab【提示】证明lnblna1aa(lnxlna)

，可构造f(x)xbaabx3.利用函数的最值证明不等式

令f(x)在区间[b,a]上连续，则f(x)在区间[b,a]存在最大值M和最小值m，那么：

mf(x)M

29

例9：设1x1, 证明p12p1xp(1x)p1,p(p1)

证明：令f(x)x(1p), 由f(x)px 得xp1p1x[0,1]，

p(1x)p10

(1x)p1，球的惟一的驻点x1，

2f(0)f(1)1,f(12) 所以：12p1，12p1和1是f(x)在[0，1]上的最小值和最大值。

12p1xp(1x)p1,４..利用函数的凹凸性证明不等式

（1）在上，若f(x)0，则yf(x)的图像是凹的，弦在图像的上方；

（a,b）（２）在上，若f(x)＜0，则yf(x)的图像是凸的，弦在图像的下方；

（a,b）例10: 设0xy2, 证明tanxtany2tanxy

2解：f(x)tanx,0x2

f(x)sec2xtanx0,0x122

所以yf(x)的图像是凹的，[f(x)f(y)]f(５.利用泰勒公式证明不等式（见第七讲）

xy)得证

2

30

第六讲 中值定理的其它应用

（1） 正确理解函数在指定区间上单调性的判定法。

教学

（2） 会球函数的极值与最值。

目的

（3） 掌握用定义及二阶导数判定函数图形的凹凸性并求出拐点。

会求曲线的水平与垂直渐进线

重

点

难

点

教

学

提

纲

重点：函数单调性的判定，曲线凹凸的判定及拐点的求法与判定

难点：函数单调性的判定，曲线凹凸的判定及拐点的求法与判定

1.函数单调性的判定

2.一元函数的极值

（１）极值是函数的局部概念

（２）极值点在驻点及不可导点取得

（３）极值点的判别法

3..曲线的凹凸性与拐点

曲线的凹凸性与其二阶导数的符号之间的关系。

设f(x)在a,b上连续，在a,b内具有一阶和二阶导数，那么

(1) 若在a,b内f(x)0，则f(x)在a,b上的图形是凹的；

(2) 若在a,b内f(x)0，则f(x)在a,b上的图形是凸的;

(3) （拐点）曲线的凹，凸的分界点称为拐点。

４.函数的最值

假定f(x)在a,b上连续，在开区间a,b内可导，且至多存在有限个点处的导数为零或不存在的情况下讨论函数f(x)在a,b上最大值和最小值的求法

５.函数的渐近线

31

第六讲 中值定理的其它应用

中值定理用于求函数的增减区间、判定函数的增减性、求函数的凹凸区间，求函数的拐点、求函数的极值与最值、求函数的渐近线等。

1.函数单调性的判定

函数yfx在a,b上连续，在a,b内可导。

(1)如果a,b内f(x)＞0，那么函数yfx在a,b上单调增加；

(2)如果a,b内f(x)＜0，那么函数yfx在a,b上单调减少。

2.一元函数的极值

（１）极值是函数的局部概念

（２）极值点在驻点及不可导点取得

（３）极值点的判别法

第一充分条件：设函数f(x)在x0处连续，

若xx0,x0时，f(x)0，而xx0,x0时，f(x)0，则f(x)在x0处取得极大值；

若xx0,x0时，f(x)0，而xx0,x0时，f(x)0，则f(x)

x0处取得极小值；

第二充分条件：设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f(x0)0,f(x0)0

当f(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极大值；当f(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值。

求函数f(x)的极值的步骤

（1）求出导数f(x)；（2）求出f(x)的全部驻点以及使得导数不存在的点

（3）用第一充分判别法考察这些点是否为极值点，如果是，再判断类型。

例1：.求函数f(x)x211的极值

【解】f(x)6x(x1)

由f(x)0得f(x)的驻点为x1,x0,x1

223f(x)6(x21)(5x21)

f(0)60,f(1)f(1)0

32

∴f(x)在x0处取得极小值f(0)0

在x1,x1由第二充分判别法无法判定

(,1)

(1,0)

(0,1)

(1,)

f(x)的符号

f(x)的单调性

由第一充分判别法f(x)在x1,x1处都没有极值。

例２：求函数f(x)x2x212(x2t)etdt的单调区间与极值。

2【解】f(x)2xetdt=0

1驻点为x0,x1,x1

f(x)2etdt4x2ex

1x222f(0)0，f(1)0

x0是极大值点，x1,x1是极小值点，

极大值为1(1e1) ，是极小值为０

2单增区间(,1),(0,1)；单减区间(1,0),(1,)

例３：设函数f(x)在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，判断f(x)有的极值。

y

O x

【解】略

3..曲线的凹凸性与拐点

曲线的凹凸性与其二阶导数的符号之间的关系。

设f(x)在a,b上连续，在a,b内具有一阶和二阶导数，那么

（１）若在a,b内f(x)0，则f(x)在a,b上的图形是凹的；

33

（２）若在a,b内f(x)0，则f(x)在a,b上的图形是凸的;

（３）（拐点）曲线的凹，凸的分界点称为拐点。拐点必定在二阶导数等于及不可导点取．．．．．．．．．．．0．．．．．．．得。

．．例3：求曲线y3x4x1的拐点及凹、凸的区间

【解】函数的定义域为(,)

43y12x312x2

2y36x224x36x(x)0

32解这个方程的x10x2

3

,0

+

凹

20,

3-

凸

2,

3+

凹

y的符号

y的凹凸性

所以点0,1４.函数的最值

211,是曲线的拐点。

327(1)最值必在驻点、不可导点和端点取得；

(2)最值反映了函数的整体性质；

(3)最值的求法：设f(x)在a,b内的驻点及不可导点为x1,x2,xn，比较f(a),f(b),f(x1),f(x2),上的最大值。

,f(xn)的大小，其中最小的是a,b上的最小值，最大的是a,b例４.求函数f(x)x1x （5≤x≤1）的最值。

【解】f(x)123，由f(x)0解得x，比较421x35f(5)65,f(),f(1)1，得到在5,1上，f(x)的最小值为4435f(5)65， 最大值为f()。

44５.函数的渐近线

xx0limf(x),xx0铅直；limf(x)K,yKx水平；

f(x)limk,limf(x)kxb,ykxbxxx34

斜。

1例５：求曲线yxex的渐近线.

【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点.

【解】 当x时，极限limy均不存在，故不存在水平渐近线； 又因为

x2y222limlimex1，lim(xexx)0，所以有斜渐近线y=x.另外，在 x=0 处yxex无xxxx1111定义，且limxex，可见 x=0为铅直渐近线.

x02例６：曲线y1ln(1ex)，渐近线的条数为 ３

x1xx【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。

【解】 因为lim[ln(1e)]，所以x0为垂直渐近线；

x0又

lim[ln(1e)]0，所以y=0为水平渐近线；

x1xxy1ln(1ex)ln(1ex)ex]lim1， 进一步，limlim[2=limxxxxxxxxx1e

lim[y1x]lim[ln(1e)x]=lim[ln(1e)x]

xx1xxxx =lim[lne(1e)x]limln(1e)0，

xxxxx于是有斜渐近线：y = x.

x3例７ 求曲线fx2的渐近线.

x2x3fxx331 【解】

2xx2x3x

(x)得k1.再由（3）式

x3fxkx2x2x2x3

(x)得b2.从而求得此曲线的斜渐近线方程为yx2.

x3又由fx易见limfx，limfx垂直渐近线方程为：x3x1x3x1x＝3,x1

35

第七讲 泰勒公式及其应用

教学

目的

通过教学使学生掌握带有皮亚诺余项的泰勒公式,带有Lagrange型余项的Taylor公式,函数的Maclaurin公式, 会用一阶泰勒公式解决问题。

重

点

难

点

教

学

提

纲

1．泰勒公式的内容

2.利用Taylor公式求极限

3．利用Taylor公式求证明题

一、一阶泰勒公式

1.带有皮亚诺余项的泰勒公式

2.带有Lagrange型余项的Taylor公式

3．函数的Maclaurin公式

二、应用

(1) 把函数f(x)展开成n阶Maclaurin公式

(2)求f(x)的n阶导数

(3)利用Taylor公式求极限

(4)利用Taylor公式求证明题

36

第七讲 泰勒公式其应用

一、一阶泰勒公式

１.带有Lagrange型余项的Taylor公式

定理1（泰勒） 若函数f在(a,b)上存在直到n阶的连续导函数,在(a,b)内存在n＋1阶导函数,则对任意给定的x,x0(a,b),至少存在一点使得：

f(x0)(xx0)

f(x)f(x0)1!

在x,x0之间。

2.带有皮亚诺余项的泰勒公式

f(n)(x0)f(n1)()n(xx0)(xx0)n1

n!(n1)!定理2若函数f在(a,b)上存在直到n阶的连续导函数,则对任意给定的x,x0(a,b)

f(x0)f(x)f(x0)(xx0)1!称为泰勒公式的余项.

f(n)(x0)(xx0)n0((xx0)n) （1）

n!3、 函数的Maclaurin公式

x2xne1x0(xn)

2!n!x3x5x2m1m1sinxx(1)0(x2m)

3!5!(2m1)!xx2x4cosx12!4!x2m(1)0(x2m1)

(2m)!mnx2x3n1xln(1x)x(1)0(xn)

23n(1)2(1)(n1)(1x)1xx0(xn)

2!n!11xx2xn0(xn)

1x二、应用

1.把函数f(x)展开成n阶Maclaurin公式

16例１： 把函数f(x)xsinx展开成含x项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .

22x3x5x7( x7), 【解】

sinxx3!5!7!

37

x6x10x14( x14).

sinxx3!5!7!x8x12x16224xsinxx( x16)

3!5!7!26例２： 把函数f(x)cosx展开成含x项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .

22x2x4x6( x6), 【解】

cosx12!4!6!4x426x62( x6),

cos2x12x3!6!12x425x622( x6).

cosx(1cos2x)1x23!6!2.求f(x)的n阶导数

例３：

f(x)xln(1x)，求f222(n)(0)(n3).

x2xn20(xn2)) 【解】f(x)xln(1x)x(x2n2f(0)f(n)(0)nxx0(xn) 又f(x)f(0)1!n!x4xn3x0(xn)

2n2f(n)(0)1n!(n)所以，，f(0)

n!n2n23.利用Taylor公式求极限

例4 求极限

11cosxelim(cotx). (2)x0xxx0x2[xln(1x)]【分析】用泰勒公式求极限把函数展开到x多少次方呢？对于分子和分母有一个能确定次数的，把另(1)

lim一个展开到相同次数即可，例如：

x22131xx(xx3o(x3))1xsinx66

limlimlim6x0x0x3x0x3x3但是对于分子和分母都不能确定次数的，要以具体情况而定。

x2x4x2x41[1]o(x4)cosxe22424＝lim【解】(1)

lim2

2x0x[xln(1x)]x0xx2[xxo(x3))]2x22

38

5x4o(x4)5

lim24x012x4o(x5)2【点评】本题先确定分母展开的次数，ln(1x)至少展开到二阶，确定了分母的次数后，以次确定分子展开的次数。

111sinxxcosxlim(cotx)lim(2)

x0

x0xxxxsinxx3x23x(x)x[1(x2)]3!2!lim

x0x3113)x(x3)1lim2!3!3x0x3.

(例５：试确定A,B,C的值，使得

ex(1BxCx2)1Axo(x3)，

3其中o(x)是当x0时比x高阶的无穷小.

3【分析】题设方程右边为关于x的多项式，要联想到e的泰勒级数展开式，比较x的同次项系数，可得A,B,C的值.

xx2x3o(x3)代入题设等式得 【解】将e的泰勒级数展开式e1x26x2x3

1xo(x3)[1BxCx2]1Axo(x3)

26xx

整理得

1(B1)xBC比较两边同次幂系数得

12B133xCo(x)1Axo(x)

262B1A1

BC0，解得

21BC0624.利用Taylor公式求证明题

例6 设f(x0)存在，证明

1A32.

B31C6f(x0h)f(x0h)2f(x0)f(x0)．

2h0hf(x0)2ho(h2), 【证明】

f(x0h)f(x0)f(x0)h2!f(x0)2f(x0h)f(x0)f(x0)hho(h2)2!．

lim

39

f(x0h)f(x0h)2f(x0)

2h0hf(x0h)h2o(h2)limf(x0)2h0h

所以：lim例7 设函数f(x)在［0，1］上有三阶连续的导数，且f(0)1,f(1)2,f()0

证明：(0,1)使f()24。

11【证明】

f(x)f(12)f(2)(x2)1212113f(12)(x2)6f()(x2)

12f(12)12121131f(12)(x2)6f()(x2) ，在2与x之间

f(0)f(12)1212f(12)(2)1631f(1)(12)

1(0,2)

11121131f(1)f(1)f()()f()(22)

2(2,1)

222261f(1)f(0)148[f(1)f(2)]

f(x)在[1,2]上连续，设f(x)在[1,2]上的最大值和最小值分别为m,M

则m[f(1)f(2)]/2M．所以[1,2]使

f()[f(1)f(2)]/224

【评论】(1)本题把泰勒公式与介值定理结合使用，有一定难度。

(2) 泰勒公式的展开点一般选在特别的中间点或端点。

例8：f(x)在［０，１］上具有二阶导数，且满足f(x)a,f(x)b，c是

（０,１）内的任意一点．证明：f(c)2a【证】f(x)f(c)f(c)(xc)

f(0)f(c)f(c)(c)b

21

f()(xc)2,在c，x之间。21f(1)c2,1(0,c)………………………(1)

212

f(1)f(c)f(c)(1c)f(2)(1c),2(0,c)………………(2)

2122(2)-(1)得：f(1)f(0)f(c)[f(2)(1c)f(1)c]

2f(c)f(1)f(0)11[f(2)(1c)2f(1)c2]

22bbb2a[(1c)2c2]2a[12c2c2]2a，因为

c2c

222例9 设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f(a)f(b)0,则存在(a,b),使得

40

f()4f(b)f(a)(ba)2.

将函数f(x)在点a与点b处Taylor展开

x(a,b) ,【证明】

f(1)(xa)2ax12!,,

f(2)f(x)f(b)f(b)(xb)(xb)2xb22!,.

f(x)f(a)f(a)(xa)令xab代入得：

2f(1)(ba)2f(2)(ba)2ababf()f(a)f()f(b)22!422!4, ,上述二项相减,移项并取绝对值得

(ba)2f(2)f(1)f(b)f(a)42

2(ba)f(2)f(1)(ba)2f()424,

4f()f(b)f(a)其中,f()max{f(1),f(2)},取(ba)2

ab【分析】本题在点展开，则f(a)f(b)0这一条件难以应用。

2

41

第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

教学

目的

通过教学使学生掌握不定积分与定积分的各种计算方法。

重

点

难

点

教

学

提

纲

1不定积分的概念

2不定积分的计算

3定积分的计算

1.不定积分

1.1不定积分的概念

原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。

1.2不定积分的计算

(1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二换元积分法

(4)分部积分法

2.定积分

(1)基本积分法；

(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数

(3)利用函数的奇偶性化简定积分

(4)一类定积分问题

第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

一、不定积分

1不定积分的概念

原函数：若在区间 上F(x)f(x)，则称F(x)是的一个原函数.

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原函数的个数: 若

在区间

上的原函数；若

可见，若，则是

也是在区间

上的一个原函数, 则对

在区间

上的原函数，则必有

│，

都是.

的全体原函数所成集合为{Ｒ}.

原函数的存在性: 连续函数必有原函数.

不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作f(x)dx

原函数。 一个重要的原函数：若f(x)在区间上连续，aI，则xaf(t)dt是的一个2不定积分的计算

(1)裂项积分法

x41x41222dxdx(x1)dx 例1：222x1x1x1x3x2arctanxC。

3dxcos2xsin2x22dx(cscxsecx)dx 例2：2222cosxsinxcosxsinxdx(x21)x222dxdxdx1arctanxC例3：22x21x2xx(x1)x(x1)

(2)第一换元积分法

有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos2xdx，如果凑上一个常数因子2，使成为

cos2xdx3例4：111cosx2xdxcos2xd2xsin2xC

222dxdxdx221xx1x1xdx222arctanxC

例5：x1x211dx1x2x11112x43

d1x

11222d21111x1112221d1xxx

12212211xC112xC

例6：

arctanxx(1x)dx2arctanxtxarctant1xdx21t2dt

2arctantd(arctant)(arctgt)2c(arctgx)2c.

(3)第二换元积分法

第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下：

被积函数包含naxb,处理方法是令naxbt,x1a(tnb);

被积函数包含a2x2(a0),处理方法是令xsint或xcost;

被积函数包含a2x2(a0),处理方法是令xtant;

被积函数包含x2a2(a0),处理方法是令xsect;

例7：计算a2x2dxa0

【解】令xasint,t22,则tarcsinxa,axa，且

a2x2acostacost,dxacostdt,从而

x2dxta2cos2tdta2a221cos2t

dt=

a21a2a2 =2t2sin2tC2t2sintcostC

由图2.1知

sintxcosta2x2

aa

2所以a2x2dxa2xa2xax2=2arcsina2aaC=

44

a2xx2arcsinax2C2a2

62txdxtdtdt例8:66(1t)dt6

231t1txx1

66x3xln16xc.

2(4)分部积分法

f(x)dg(x)不好计算,但g(x)df(x)容易计算时,使用分部积分公式:

f(x)dg(x)f(x)g(x)g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型:

当积分(1)xnexdx,xnsinxdx,xncosxdx等,方法是把e,sinx,cosx移到d后面,分部积分的目的x是降低x的次数

(2)xnlnmxdx,xnarcsinmxdx,xnarctanmxdx等,方法是把x移到d后面,分部几分的目的n是化去lnx,arcsinx,arctanx.

例9:x2exdxx2dexx2exex2xdx

xe2x2xdxxe

2x2(xeedx)ex(x22x2)Cxxlnx111dxlnxdlnxdlnx例10:x2xxx

1dx1lnx2(lnx1)Cxxx

例11:

(16x2)arctanxdxarctanxd(x2x3)

3x2x3x2xarctanx1x2dx

x2xdxx2x3arctanx21x

132x2xarctanxxln1x2C2

22例12:

cosxdxcosxdsinxcosxsinxsinxdx=

cosxsinxxcosxdx，

2x1sin2xc.

2432 例13:

secxdxsecxsecxdx

解得

cosxdx2

secxdtgxsecxtgxtgxsecxtgxdx

45



=secxtgx(sec2x1)secxdxsecxtgxsec3xdxsecxdx

 =secxtgxln|secxtgx|sec3xdx,

解得

sec3xdx11secxtgxln|secxtgx|c.

22【点评】以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧

例14 设函数f(x)的一个原函数是sinx,求xf(x)dx。

xxcosxsinxsinx【解】

f(x)

2xxxf(x)dxxd(f(x))xf(x)f(x)dxxcosx2sinxc

xxcosxsinxsinxc

2xx【点评】本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法.

例15 计算(1xxearctanx2)32dx

【说明】涉及到arcsinx,arctanx的积分一般有两种处理方法.

(1)用分部积分法; (2)作变量替换令arcsinxt或arctanxt

11earctanx12arctanxdxd(1x)2ed【解法一】

3322(1x2)22(1x2)21xxearctanx11x2earctanx11x2earctanx1dx

21x

11x2earctanxearctanx(1x)232dx……

【点评】:分部积分后,后面的积分计算更加困难.为此我们考虑变量替换法.

【解法二】令arctanxy,xtany

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tanyeysec2y1yydxdysinyedye(sinycosy)C

(1x2)32sec3y21arctanxx1e221x21xC

xearctanx【点评】变量替换后几分的难度大大降低,sinyeydy是每种教材上都有的积分.

2.定积分

定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算.

(1)基本积分法

330例16： 计算dx(15x)1x22

【解】 令xtant，则

330dx(15x2)1x260sec2tdtcostdt6

2220(15tant)sectcost5sint601d(2sint)16arctan(2sint)2021(2sint)28

(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数

例17： 计算30xx2dx

23【解】30xx2dxx(2x)dxx(x2)dx028

3例18 计算30max{x,1x}dx

1201【解】10max{x,1x}dx=(1x)dx1xdx2(3)利用函数的奇偶性化简定积分

aa0af(x)dxf(x)dx0

4

5当f(x)是奇函数当f(x)是偶函数

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11例19 计算11(x1x2)2dx

22111【解】(x1x)dx=1dx21x1x2dx=2+0=2

例20 计算1111(xx)exxdx

1x【解】(xx)e1dx=xe1dxxe11xdx

02xexdx24e1

0exsin2x例21 计算dx

x1e44【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。

x2x2x20esinxesinxesinx【解】4dx4dxdx

xxx01e1e41e4令xy，

y22y20esinysinxexsin2xsin2(y)esiny444dy

dxd(y)dy01ey01exdx

41ex41ey01ey0所以

x20esinxexsin2xexsin2x444sin2xdxdxdxdx1

41ex01ex41ex08(4)一类定积分问题

例22： 已知f(x)是连续函数，f(x)3x2210f(x)dx，求f(x)

【分析】本题的解题关键是理解定积分是一个固定的常数。

【解】令110f(x)dxA,则f(x)3x22A，112Af(x)dx(3x22A)dx12A所以A

f(x)3x2

0033

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第九讲 定积分的证明题与应用

教学

目的

通过教学使学生掌握有关定积分的存在性问题与不等式的证明方法，掌握微元法、面积、体积及弧长的计算。

1不定积分有关的的存在性问题的证明；

2不定积分有关的的不等式的证明；

3．面积、体积、弧长的计算。

一、定积分的性质

二、定积分证明题

（１）存在性证明

（２）积分表示的不等式的证明

三、定积分应用

1．微元法

2．面积

（1）直角坐标情形

（2）极坐标情形

3．体积

4．弧长

1）y=f(x)在区间[a,b]上可导，且f(x)连续，则在[a,b]上的曲线可求长，且弧长b重

点

难

点

教

学

提

纲

L1f2(x)dx，是弧长公式。

a 2）参数方程x(t)

y(t) （x）

与在，上连续，则L2t2tdt

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