2020届浙江省杭州市高一下期末数学试卷(有答案)

2023年12月2日发(作者：六年级下册数学试卷月考卷)

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浙江省杭州市高一第二学期期末考试

数

学

试

卷

一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）

1．函数f（x）=A．[1，+∞）

的定义域是（ ）

B．（1，+∞） C．（0，1）

D．[0，1]

，0）

2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（ ）

A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（ ）

A． B．﹣ C．2 D．﹣2

4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

），则k+α=（ ）

D．2

5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，A． B．1 C．

6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（ ）

A．y=ln（x+1）

7．若向量A．

B．y=xsinx C．y=x﹣x3 D．y=3x+sinx

=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（ ）

B． C． D．

8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（ ）

A．存在实数a，使f（x）为偶函数

B．存在实数a，使f（x）为奇函数

C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增

D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减

9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（ ）

C．1）+∞）∪（﹣7，（7，A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）

D．（﹣7，1]∪（7，+∞）

，则实数a的值为（ ）

D．

10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为A．2 B．﹣2 C．±2

11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（ ）

A．1 B．3 C．5

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D．7 _....._

12．设a=log2π，b=logA．a＞b＞c

π，c=π﹣2，则（ ）

B．b＞a＞c C．a＞c＞b

D．c＞b＞a

13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（ ）

A．向右平移

B．向右平移π C．向左平移 D．向左平移π

14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零

）

）

，则λ+μ=（ ）点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（ ）

A．（2，6﹣2） B．（2， +1） C．（4，8﹣2D．（0，4﹣216．N为AM上一点且AN=2NM，设M是△ABC边BC上任意一点，若

A．

17．计算：A． B．

B．

C．1

=（ ）

C．

D．

D．﹣

18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（ ）

A．[﹣3，3] B．[﹣1，3] C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]

19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（ ）

A．1

20．如图，己知|B．2

|=5，|C．3 D．4

=x+y，|=3，OM平分∠AOB，∠AOB为锐角，点N为线段AB的中点，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（ ）

A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．②⑤

21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

_....._ _....._

A．（﹣∞，] B．[] C．[]

=|D．[，+∞）

|2，则D．=（ ）

22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若A．1

23．设函数f（x）=B． C．2

．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）

A．（1，+∞） B．{﹣1}∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

24．函数的值域为（ ）

A．[1，] B．[1，] C．[1，] D．[1，2]

25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= ．

27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx= ．

28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25= ．

29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是 ．

30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题（共3小题，满分30分）

31．已知向量，如图所示．

（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；

（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．

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） _....._

32．设α是三角形的一个内角，且sin（（Ⅰ）求tan2α的值；

）=cos（）．

（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．

33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．

（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．

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浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）

1．函数f（x）=A．[1，+∞）

的定义域是（ ）

B．（1，+∞） C．（0，1）

D．[0，1]

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．

【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，

即x≥1，

故函数的定义域为[1，+∞），

故选：A

【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．

，0）

2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（ ）

A．（，0） B．（，0） C．（

，0） D．（

【考点】正弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．

【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，

求得x=故选：D．

，故函数的对称中心为（

，0），k∈z，

【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．

3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（ ）

A． B．﹣ C．2 D．﹣2

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【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．

【专题】计算题；平面向量及应用．

【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．

【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），

且∥， _....._

∴﹣1m﹣2n=0

∴=﹣．

故选：B．

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．

4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3）

D．（3，4）

【考点】函数零点的判定定理．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．

【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，

∵x＞0，∴f′（x）＞0，

∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增

∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0

∴函数在（1，2）上有唯一的零点

故选：B．

【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．

），则k+α=（ ）

D．2

5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，A． B．1 C．

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．

【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，∴k=1， =

，∴α=﹣；

），

∴k+α=1﹣=．

故选：A．

【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．

6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（ ）

A．y=ln（x+1） B．y=xsinx C．y=x﹣x3

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D．y=3x+sinx _....._

【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论

【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；

对于B，函数是偶函数，故不正确；

对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；

对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确

故选：D．

【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键

7．若向量A．

=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（ ）

B． C．

D．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】平面向量及应用．

【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．

【解答】解：由已知向量

，=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：

由向量的夹角范围是[0，π]，

所以向量，的夹角为故选：A．

；

【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．

8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（ ）

A．存在实数a，使f（x）为偶函数

B．存在实数a，使f（x）为奇函数

C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增

D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减

【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．

【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；

B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；

∴x2=0，x≠0时显然不成立；

_....._

_....._

∴该选项错误；

；

C．f（x）的对称轴为x=当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；

D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．

故选A．

【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．

9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（ ）

C．1）+∞）∪（﹣7，（7，A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）

D．（﹣7，1]∪（7，+∞）

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．

【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，

∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，

即f（x）对应的图象如图：

则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：

或，

即或，

即x＞7或﹣7＜x＜1，

故选：C

【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．

，则实数a的值为（ ）

D．

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10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为A．2 B．﹣2

C．±2

【考点】两角和与差的正弦函数． _....._

【专题】计算题；三角函数的图像与性质．

【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．

sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）

，

【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为∴=，解得a=±2．

故选：C．

…（4分）

【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．

11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（ ）

A．1 B．3 C．5

D．7

【考点】正弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．

【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，

如图所示，

结合图象可得它们的图象的交点个数为 1，

故选：A．

【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．

12．设a=log2π，b=logA．a＞b＞c

π，c=π﹣2，则（ ）

B．b＞a＞c C．a＞c＞b

D．c＞b＞a

【考点】对数值大小的比较．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．

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【解答】解：log2π＞1，log即a＞1，b＜0，0＜c＜1，

∴a＞c＞b，

故选：C

π＜0，0＜π﹣2＜1，

【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．

13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（ ）

A．向右平移

B．向右平移π C．向左平移 D．向左平移π

y=cos2x﹣sin2x=），

sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=）=﹣sin（π+

sin（

sin（﹣2x）=），

sin（

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=的图象变化规律，可得结论．

【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=又∵y=

sin[2（x﹣

）+]=sin（2x+

），利用y=Asin（ωx+φ）

sin（2x﹣），

∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移故选：A．

可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．

【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．

14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，

在令x取特殊值，选出答案．

【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，

∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，

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综上只有A符合．

故选：A

【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．

，|x﹣2|}，其中min|a，b|=

15．设函数f（x）=min{2．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零

）

）

点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（ ）

A．（2，6﹣2） B．（2， +1） C．（4，8﹣2

D．（0，4﹣2

【考点】函数零点的判定定理．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的

，

，

范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．

【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，

由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2时，2≤x≤4+2当4﹣2当x＞4+2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|

时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2

或0≤x＜4﹣3

其图象如图所示，

，

∵f（4﹣2）=2﹣2，

﹣2，

由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，

则由2=m得x1=，

由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，

由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，

_....._ _....._

∴x1+x2+x3=当m=0时，+2﹣m+m+2= +4=4，m=2．

+4，

﹣2时，

+4=8﹣2

，

∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2故选：C．

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．

，则λ+μ=（ ）16．N为AM上一点且AN=2NM，设M是△ABC边BC上任意一点，若

A．

B．

C．1

、表示出

=λ+μ，

、

D．

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【专题】平面向量及应用．

【分析】利用平面向量基本定理，用【解答】解：如图所示，

∵M是△ABC边BC上任意一点，

设=m+n，∴则m+n=1，

+n，从而得出结论．

又∴AN=2NM，

∴∴==，

=m∴λ+μ=（m+n）=．

故选：B．

【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用

17．计算：

=（ ）

、表示出向量，属于基础题．

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A． B． C．

D．﹣

【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【专题】计算题；三角函数的求值．

【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．

【解答】解：

故选：A．

=

==．

【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．

18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（ ）

A．[﹣3，3] B．[﹣1，3] C．{﹣3，3}

D．[﹣1，﹣3，3]

【考点】二次函数在闭区间上的最值．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值

【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，

∵区间[a，a+2]上的最小值为4，

∴当1≤a时，ymin=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，

当a+2≤1时，即a≤﹣1，ymin=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，

当a＜a＜a+2时，ymin=f（1）=0≠4，

故a的取值集合为{﹣3，3}．

故选：C．

【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论

19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（ ）

A．1 B．2 C．3

D．4

【考点】绝对值不等式的解法．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．

【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，

∴a=2，

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_....._

故选：B．

=x+y，

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．

20．如图，己知|

|=5，|

|=3，OM平分∠AOB，∠AOB为锐角，点N为线段AB的中点，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（ ）

A．①②④ B．①③④ C．①③⑤

D．②⑤

的系数对应等于x，【考点】向量的线性运算性质及几何意义．

【专题】平面向量及应用．

【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量y．由此即可解题

表示出来，

【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，

则由向量共线定理知：存在实数λ，∴==∵，

共线，

，

|=3，OM平分∠AOB，

，其中λ＞0，

_....._

∴存在实数μ，使得∵N为AB的中点，

∴μ又∵|\'

|=5，|∴由正弦定理知，AM=BM

∴AC≤AM=AB，

故∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，

∴x≥0，y≥0；

，

_....._

∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；

∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．

故选：B．

【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．

21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，]

B．[] C．[

] D．[，+∞）

的范围得答【考点】指数函数综合题．

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得案．

【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，

即m≤=，

∵x∈[0，1]，∴则∈[，1]，

∈[

]，

∴∈[]，

则m．

故选：A．

【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．

=|

|2，则D．

=（ ）

22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若A．1 B． C．2

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】平面向量及应用．

_....._ _....._

【分析】利用三角形的外心，得到得到2，又=|，|2，得到AB，AC的关系

，

，

，即2

两式平方相减化简，【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，

又=|

|2，所以2

，所以

，两式平方相减得2

；

，

故选：B．

【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．

23．设函数f（x）=是（ ）

A．（1，+∞）

．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围

D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

B．{﹣1}∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．

【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．

【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；

∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，

∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；

显然可知a=0时方程无解；

故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；

作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，

结合图象可得，

_....._

_....._

0＜＜1或﹣1＜＜0；

解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；

故选D．

【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．

24．函数A．[1，] B．[1，]

的值域为（ ）

C．[1，]

D．[1，2]

则

【考点】函数的值域．

【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．

【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解

【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，

令则

∵∴函数故选D

的值域为[1，2]

，

，

=

．

【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．

=6，则△ABC的形状是（ ）

25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且

A．锐角三角形

C．直角三角形

B．钝角三角形

D．上述三种情况都有可能

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】平面向量及应用．

_....._ _....._

【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．

=6，

，

2

【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，

取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：

则OD⊥BC，GD=AD，

∵由则（即﹣（又BC=6，

则有||=||2+|=6，

）=）（

|2，

，

=﹣（）=6，则），

即有C为直角．

则三角形ABC为直角三角形．

故选：C．

【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为【考点】三角函数的周期性及其求法．

【专题】计算题；三角函数的图像与性质．

=，则ω=

4 ．

【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T=，即可解得ω的值．

=，

_....._

【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T=解得：ω=4．

_....._

故答案为：4．

【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．

27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx= ﹣ ．

【考点】同角三角函数基本关系的运用．

【专题】三角函数的求值．

【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．

=

=

=﹣，

【解答】解：∵tanx=2，

∴原式=故答案为：﹣

【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

．

28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=

【考点】对数的运算性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据对数的运算性质计算即可．

【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，

故答案为：

|=||，则【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若|

的最小值是 ．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】平面向量及应用．

【分析】如图所示，取

，可

=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．

【解答】解：如图所示，取∵∴=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．

_....._

，∴C（cosθ，﹣sinθ）．

=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）

=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ _....._

=当且仅当即，即，

时，上式取得最小值

．

的最小值是﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

30．若函数f（x）=

﹣

﹣a存在零点，则实数a的取值范围是 （﹣1，1） ．【考点】函数零点的判定定理．

【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．

【分析】化简a=的思想求解．

﹣

﹣表示了点A（﹣，表示了点B（，如下图，

；

，从而利用其几何意义及数形结合

【解答】解：由题意得，

a==﹣）与点C（3x，0）的距离，

）与点C（3x，0）的距离，

_....._ _....._

结合图象可得，

﹣|AB|＜即﹣1＜

﹣﹣

＜|AB|，

＜1，

故实数a的取值范围是（﹣1，1）．

故答案为：（﹣1，1）．

【点评】本题考查了数形结合的思想应用．

与三、解答题（共3小题，满分30分）

31．已知向量，如图所示．

（Ⅰ）作出向量2﹣

（请保留作图痕迹）；

（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求的夹角的余弦值．

【考点】向量的线性运算性质及几何意义．

【专题】平面向量及应用．

，

=【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，

（II）根据向量的运算得出

利用夹角得出cosθ=【解答】解：（I）先做出2，再作出

=

，求解即可．

=

，如图表示红色的向量，

，最后运用向量的减法得出2

_....._ _....._

（II）设，

的夹角θ，

）=

=

=

．

∵||=1，||=2，且与的夹角为45°

∴∴=1×2×cos45°===cosθ=

=，

=，

，（

=1﹣4=﹣3，

【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．

）=cos（

）．

32．设α是三角形的一个内角，且sin（（Ⅰ）求tan2α的值；

（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．

【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．

【专题】三角函数的求值．

【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣

，求得α的值，可得tan2α

的值．

，（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）∵sin（

化简可得sinα+

cosα=0，即tanα=﹣．

）=cos（

=tan=），∴2sinαcos

﹣1

+2cosαsin=cosαcos+sinαsin又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan．

（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos=﹣sin2x﹣

cos2x﹣1=﹣

+cos2xsinsin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为

﹣1．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．

_....._

_....._

33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．

（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．

【考点】分段函数的应用．

【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；

（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．

【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，

当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；

当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；

当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；

当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．

综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．

（Ⅱ）f（x）=，

（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，

当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，

即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；

（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣ }，

当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），

即f（x）min=，

（3）若﹣a≤﹣3＜（4）若，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣

，

≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．

_....._ _....._

综上可得，f（x）min=．

【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．

_....._