研究生录取问题(数学建模)

2023年12月11日发(作者：孝感数学试卷四下)

研究生录取问题（数学建模）

研究生录取问题的数学模型

摘要

依考生在研究生入学考试中的初试和复试结果,运用教育统计中分数标准化和等级数量化的方法,就考生的初试分数标准化和复试成绩先等级数量化再标准化,然后根据初试和复试的相应权重得出其综合得分,进而定出最终排名及录取考生名单。在导师和学生之间的双向选择等有关问题上采用最优匹配给予其合理的解决,并对更优问题及其他情况提出了进一步探讨。初试与复试成绩评定中的分数标准化和等级数量化方法比常用的平均值和等级定分的方法更科学。

关键词: 标准化等级数量化双向选择最优匹配

一、问题重述

硕士研究生的录取目前普遍采用“初试+复试”的方案。一般是根据初试的成绩，在达到国家和学校分数线的学生中从高分到低分排序，按1:1.5的比例选择进入复试的名单。复试一般采用由专家组面试考核的办法，主要面试考核学生的专业知识面、思维的创造性、灵活的应变能力、文字和口头的表达能力和外语水平等综合素质。专家组一般由多名专家组成，每位专家根据自己看法和偏好对所有参加复试学生的各个方面都给出相应的评价，可以认为专家组的面试整体评价是客观的，最后由主管部门综合所有专家的意见和学生的初试成绩等因素确定录取名单。

二、问题分析

某校某学科计划招收20名研究生，达到复试线的共有31名，基本符合规定的1:1.5的比例，这样这31名研究生将参加复试，考核组由10名导师（3位教授，7位副教授）组成。在复试过程中，考核组将根据每位学生初试成绩以及复试过程中的表现在31名研究生中选取20名满意的学生作为计划内的研究生，然后再根据每个学生的意愿，对导师和学生进行分配，尽量达到每位导师和学生的要求。每位学生以及导师的基本情况都是公开的，现要解决的问题是：（1）综合考虑学生的初试成绩、复试成绩以及各方面的因素，首先从进入复试的31名研究生中确定20名录取名单。做出一种导师录取研究生的方案，使录取的学生水平尽量高，尽量达到导师的要求。

（2）根据学生意愿，被录取的这20名研究生再与十名导师之间做双向选择。做出一种最佳双向选择方案，使师生双方尽量都达到满意。

（3）考虑到由于各种原因导致最终指标浪费的问题，做出一种招生录取的改进方案，尽量使得由于指标浪费所造成的损失降到最小，并对其进行利弊评价。

三、模型假设

为了简化问题，我们还做出以下的几种合理假设：

（1）假设每位导师的给分都是公平的，能真实的反映学生的能力和水平。

（2）假设考核组对参加复试的31名学生进行录取选择时，笔试成绩和面试成绩的比重是事先给定的，初试成绩和面试成绩所占比例是0.7：0.3。

（3）假设学生和老师进行双向选择的时候，完全按照客观事实，按照表格中的各项指标和数据。

（4）假设每位学生以及每位导师之间的满意度均是相互独立的。

（5）假设在双向选择的时候，双方都不会因为不满意而弃权；

四、符号的定义及含义

d N 、s N 、 ：初始时参与的导师、学生人数。

d n 、s n ：最后参加双向选择配对的导师、学生人数。

j i 、：在本模型中表示学生、导师和涉及讨论各部分各因素的索引下标。

i E 、i E \' ：第i 个学生笔试的原始成绩和标准化的成绩。

ij M ：第j 个导师对第i 个学生的满意指数。

ij t ：表示第i 个学生和第j 个导师间的配对关系。具体如下：

=个导师之间不配对个学生和第第，个导师之间配对个学生和第第j i j i t ij 1,0

五、模型的建立和求解

1．量化数据

首先，由于所给表格中除初试成绩以外，其他大部分数据都只是半量化的量，所以首先必须按公平、合理的原则对数据进行量化。

在面试评分中给出了A 、B 、C 、D 等八种等级。基于一般学校评分的惯例，A 、B 、C 、D 等八种等级与150分制的对应关系如下：

等级

对应150分制的范围（分）

等级量化分数（分）

A 135~150 8

B 120~135 7

C 105~120 6

D 90~105 5

E 75~90 4

F 60~75 3

G 45~60 2 H

30~45

1

2．给出选取（筛选）方案

在对数据进行量化后，接着再根据题目要求给出方案先挑选学生或导师，此方案中根据不同题目要求需提供下列方案：

（1）从主管部门的角度考虑，给出综合学生的初试和复试成绩从31名候选研究生中筛选20名研究生；

（2）从导师的角度，不考虑学生的意愿，给出由导师组筛选20名研究生的新方案。

根据题目的不同要求，我们将在接下来模型的应用求解中给出不同的方案（对学生进行筛选）。

3.对学生成绩进行量化

（1）根据第1步中对学生成绩量化的标准规则，现将学生在笔试和复试中的成绩量化如下：

学生外语政治基础课专业课

笔试

总分

（A）

复试

（B）

S01 2 3 4 7 16 3 S02 2 1 6 6 15 3 S03 2 3 5 7 17 3 S04 2 3 5 5

15 2 S05 3 3 5 4 15 1 S06 2 3 4 6 15 1 S07 2 3 4 6 15 2 S08 3 3 4

6 16 3 S09 1 2 6 7 16 4 S10 2 3 8 6 19 5 S11 3 3 4 6 16 3 S12 2 4

6 5 17 3 S13 3 2 7 7 19 5 S14 1 2 7 8 18 5 S15 2 3 7 6 18 4 S16 3

3 5 5 16 3 S17 2 3 6 4 15 1 S18 1 3 5 6 15 2 S19 2 2 6 7 17 4 S20

2 3 6 6 17 4 S21 2 3 6 8 19 5 S22 2 3 6 6 17 5

S23 1 3 7 6 17 4 S24 2 2 6 5 15 2 S25 2 2 5 7 16 4 S26 2 3 6 6

17 4 S27 2 2 7 4 15 1 S28 2 3 7 6 18 5 S29 2 2 5 8 17 4 S30 2 3 5

7 17 4 S31 3 2 4 7 16 3

（2）根据国家对研究生录取的考核规定（初试成绩和面试成绩所占比例是0.7：0.3），对（1）中进行量化后的笔试成绩和面试成绩按照公式（Z = 70%×A+30%×B ）进行比例计算，得出最终的考试结果列表如下： 学生 S01 S02 S03 S04 S05 S06 S07 S08 S09 总 成绩

12.1

11.4

12.8

11.1

10.8

10.8

11.1

12.1

12.4

学生 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 总 成绩 14.8 12.1

12.8

14.8

14.1

13.8

12.1

10.8

11.1

学生 S19 S20 S21 S22 S23 S24 S25 S26 S27 总 成绩 13.1

13.1

14.8

13.4

13.1

11.1

12.4

13.1

10.8

学生 S28 S29 S30 S31

总 成绩

14.1

13.1

13.1

12.1

（3）根据比例计算后，通过成绩的高低排列，初步选定的学生名单列表如下： (当学生的最终成绩一样时，选取专业课和基础课量化成绩高的)

4.学生和导师进行双向选择

S01 S03 S08 S09 S10 S11 S12 S13 S14 S15 12.1 12.8 12.1 12.4

14.8 12.1 12.8 14.8 14.1 13.8 S19 S20 S21 S22 S23 S25 S26 S28

S30 S31 13.1 13.1

14.8

13.4

13.1

12.4

13.1

14.1

13.1

12.1

由参加复试的学生的情况表中提取出选定的20名学生的志愿情况，现列表如下：

学生志愿1志愿2志愿3

S01T9 T8 T7

S03T2 T5 T10

S08T10 T7 T8

S09T8 T10 T5

S10T3 T2 T6

S11T3 T2 T10

S12T1 T7 T4

S13T2 T1 T8

S14T1 T3 T7

S15T1 T7 T10

S19T1 T10 T5

S20T7 T8 T10

S21T1 T3 T7

S22T2 T3 T8

S23T3 T8 T7

S25T1 T6 T8

S26T2 T10 T5

S28T1 T2 T6 S30T2 T3 T10

S31T2 T9 T7

此问题要求将第3问中选取的20个学生与10个导师之间做双向选择，规定每位教授可招收3-4人，每位副教授可招收1-2人，教授T3今年只招2人，由此需给出一种最佳双向选择方案，使师生双方的满意度最大。本问题可以归结最优匹配问题。

（1）现将从31名参加复试的学生当中选出的20名研究生的成绩由高到低进行排列，见下表：

S21 S13 S10 S14 S28 S15 S22 S30 S19 S23

14.8 14.8 14.8 14.1 14.1 13.8 13.4 13.1 13.1 13.1

S26 S20 S03 S12 S09 S25 S31 S11 S01 S08

13.1 13.1 12.8 12.8 12.4 12.4 12.1 12.1 12.1 12.1 （2）同时按照（1）中的排名将被录取研究生的志愿情况表排列如下：

学生 志愿1 志愿2 志愿3 S21 T1 T3 T7 S13 T2 T1 T8 S10 T3 T2

T6 S14 T1 T3 T7 S28 T1 T2 T6 S15 T1 T7 T10 S22 T2 T3 T8 S30 T2

T3 T10 S19 T1 T10 T5 S23 T3 T8 T7 S26 T2 T10 T5 S20 T7 T8 T10

S03 T2 T5 T10 S12 T1 T7 T4 S09 T8 T10 T5 S25 T1 T6 T8 S31 T2

T9 T7 S11 T3 T2 T10 S01 T9 T8 T7 S08 T10 T7 T8

考虑10名学生已经定下来了，在这个条件下，要求学生和导师之间的满意度需要用加权的办法求最终的满意度（ij M ）：

最终学生和导师之间的满意度利用下面公式计算：

k ji j ij S D M λχ?+?=

上式中：j D 表示每位学生的成绩排列名次所对应的量化成绩； χ表示排名所对应的量化比例，均为；

ji S 表示第j 位学生对第i 位导师的志愿情况；

k λ表示不同的志愿所占的比重；

比如：对于学生S01，排名是第19名，所以对应的量化成绩是2分，对应的量化比例为40%，他的第一志愿是导师T9，第二志愿是导师T8，第三志愿是导师T7，每项志愿量化后的分数均为20分，第一志愿所占的比重是30 %，第二志愿所占比重是20%，第三志愿所占比重是10%。所以有：

8.2%1020%4028.4%2020%402D

8.6%3020%402D )01)(7()01)(8()01)(9(=?+?==?+?==?+?=D

其余的导师最终的满意度均是0.8

利用上式计算公式对每位导师和学生之间进行满意度计算，得出最终的结果，现列表如下： T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 S01 0.8

0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 2.8 4.8 6.8 0.8 S03 3.2 9.2 3.2 3.2 7.2 3.2 3.2 3.2

3.2 5.2 S08 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 4.4 2.4 0.4 6.4 S09 2.4 2.4 2.4 2.4

4.4 2.4 2.4 8.4 2.4 6.4 S10 7.2 11.2 13.2 7.2 7.2 9.2 7.2 7.2 7.2 7.2

S11 1.2 5.2 7.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 3.2 S12 2.8 2.8 2.8 2.8 4.8 2.8

2.8 8.8 2.8 6.8 S13 11.6 13.6 7.6 7.6 7.6 7.6 7.6 9.6 7.6 7.6 S14 12.8

6.8 10.8 6.8 6.8 6.8 8.8 6.8 6.8 6.8 S15 12 6 6 6 6 6 10 6 6 8 S19

10.8 4.8 4.8 4.8 6.8 4.8 4.8 4.8 4.8 8.8 S20 3.6 3.6 3.6 3.6 3.6 3.6

9.6 7.6 3.6 5.6 S21 14 8 12 8 8 8 10 8 8 8 S22 5.6 11.6 9.6 5.6 5.6

5.6 5.6 7.6 5.6 5.6 S23 4.4 4.4 10.4 4.4 4.4 4.4 6.4 8.4 4.4 4.4 S25 8

2 2 2 2 6 2 4 2 2 S26

4

10

4

4

6

4

4

4

4

8

S28 12.4 10.4 6.4 6.4 6.4 8.4 6.4 6.4 6.4 6.4 S30 5.2 11.2 9.2

5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 7.2 S31 7.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 3.6 1.6 5.6 1.6

（3）从上表中可以很直观的看出每位导师对每位学生有着不同的满意度，按照要求：先由每位教授根据学生意愿选择3人，再由每位副教授根据学生意愿选择1人；接下来根据学生意愿教授可以再选择1人，副教授再选择1-2人。根据导师对每位学生的满意度以及学生的志愿情况可最终得出每位导师招收的学生名单。见下表：

T1 S13 S19 S28

T2 S11 S13 S22 S30

T3 S10 S23

T4 S21

T5 S03

T6 S15 S25

T7 S20

T8 S09 S12

T9 S01 S31

T10 S08 S26

六、指标浪费问题的解决

统计发现，在近几年的研究生招生当中发现有以下问题：一是因面试时间短，面试效果不理想，个别不是很优秀的学生被录取；二是确定并录取名单后，有的学生拒绝录取，又到别的学校参加复试；三是有的学生9月份报到的时候，因找到工作，或对导师安排有意见或其它个人原因放弃读研机会，导致指标浪费。

解决的办法如下：

一、规定学生在参加复试之前，应先联系导师之后再面试，这样导师将会在

面试之前就对学生有了初步的认识，不会因为面试时间短，面试效果不理想而造成个别不优秀的学生被录取。

二、学校规定，学生在录取后需在两天之内进行确认，否则将取消录取的资格，这样便会解决因有的学生拒绝录取，又到别的学校参加复试而造成指标浪费的现象。

七、模型优缺点分析

按照经验，考生的成绩、和导师的期望，在某一范围内应该服从正态分布，因此也可以利用数理统计方法进行统计分析；依据经验、导师建议等加重某一方面的权值，可体现不同的要求；模型的建立也可以采用其它方法。

实际录取工作中，影响双向选择的各个因素的权重是由各院校自定的，各种不同权值的选择得到的结果会有变化，各校录取研究生时，可以根据对学生的特长要求利用这种方法来考虑，选择出不同特点层次的学生。该模型可应用于择优问题、最佳组合问题及其它相关问题。

优点：对于题目中的“体现双向选择”的要求，我们巧妙地借助层次分析法计算验证各类因素间的加权量值，得到老师学生之间双向选择的满意度M），进一步利用0-1规划模型进行配对方案的求解，使得师生双方总满意（ij

度达到最大值，符合题目的要求，而且模型简单，容易求解；

缺点:在题目求解中我们多次采取了加权平均的方法，尽管加权的权重都是参照经典的模型方法计算得到的，而且符合精度要求,但仍然有一定的主观因素，因此可能有与实际有所出入的地方。

八、模型应用要点

在实际中进行研究生招生录取工作，所考虑的因素比模型要复杂的多，增加评判的客观性，防止徇私舞弊的同时，必然会增长工作时间，提高招生成本，这就有一个在二者之间权衡的问题。

关于笔试成绩与面试成绩的比重选择有可能直接影响到最终的录取结果。在实际操作中应根据专业的性质酌情考虑，不同的专业类别对学生所注重的能力是不一样的，例如管理类的专业可能认为个人能力更重要，理工类可能认为笔试更

能反映能力。这个比例因子的选取将直接影响学生个人能力培养。因此，各个专业应该结合自己的情况确定合理的标准，而不应该全体大统一。

数学模型最优解是一个优化方案，结果是否理想，关键在于师生双方对他人要求是否准确对于双方满意度权数的确定要综合考虑这些因素，并且，在招生时最好能对大家进行培训，使自己对专业发展要求判断更准确。

上面的模型是建立在定量分析的基础上的，而值得一提的是，这必须在好的定性分析的基础之上。因此指标的选取和测量至关重要。

参考文献:

[1] 张伯生，张丽. 运筹学[M]. 北京: 科学出版社, 2012.

[2] 黄忠裕初等数学建模[M]. 北京: 清华大学出版社2004

[3] 王小玉. MATLAB计算方法[M]. 北京: 清华大学出版社, 2012.

[4] 韩中庚数学建模方法及其应用[M]. 北京: 清华大学出版社2005.