数学知识笔记

2023年12月9日发(作者：山东省数学试卷下册)

函数 第一部分集合1、元素与集合的概念一般地，把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.元素： 集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).用大写拉丁字母A、B、C…表示.2、元素与集合的关系关系属于不属于小课堂 集合与逻辑用语集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性概 念记法读法a是集合A的元素，就说a属于集合Aa不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∈Aa∉Aa属于集合Aa不属于集合A3、集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“”括起来表示集合的方法.(2)描述法： 设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征p(x)的元素x所组成这种表示集合的方法称为描述法.的集合表示为x∈A|p(x)，★4、常用数集常用数集记 法★5、集合间的关系空 集:把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集是任何集合的子集.子 集：A中的任一元素都属于B,记做：A⊆B真子集：如果A⊆B，且B中至少有一元素不属于A.记作：A⊊B自然数集正整数集整数集有理数集实数集NN∗或N+ZQR※6、含n个元素的集合集合子集个数真子集个数2n−1非空子集个数2n−1非空真子集个数2n−2{a1,a2,⋯,an}2n·1·小课堂★7、集合的运算运算语言描述表示veen交集并集补集属于集合A且属于集合B的元素组成的集合A∩B={xx∈A且x∈B}所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合A∪B={xx∈A或x∈B}全集中集合A以外的部分称为A的补集.CUA={xx∈U且x∉A}A图A∩BBAA⋃BBAUC⋃A逻辑用语四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系1、命题：可以判断真假的陈述语句称为命题.2、真值表p真真假充要条件应用说明：①唯一性：给定条件p,由p推出q成立时，q推出的结果不是唯一的p，则必要性不成立。eg:x=1⇒x=1，x=1⇒x=±1，则x=1是x=1的充分不必要条件。②不等式推论：小范围不等式成立⇒大范围不等式成立，反之不成立。小推大，大不可推小★4、 充要条件充分条件：若p⇒q，则p是q充分条件.必要条件：若q⇒p，则p是q必要条件.充要条件：若p⇒q，且q⇒p，则p是q充要条件.命题的否定与否命题：(1)命题“∀x∈R，3x-2x2q真假真假非p假假真真p或q真真真假p且q真假假假假★3、四种命题原命题：若p则q 逆命题：若q则p原命题真真假假逆命题真假真假 否命题：若¬p则¬q否命题真假真假 逆否命题：若¬q则¬逆否命题真真假假★5、全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.(2)存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.(3)全称命题与特称命题的符号表示及否定①全称命题p：∀x∈Μ,p(x)，它的否定¬p：∃x0∈Μ,¬p(x0).其否定是特称命题．②特称命题p：∃x0∈Μ,p(x0),它的否定¬p：∀x∈Μ,¬p(x).其否定是全称命题.+1>0”的否定是∃x0∈R，23x0-2x0+1≤0。(2)命题“若a、b都是正数，的否命题则a+b≥2ab”是若a、b不都是正数，则a+b<2ab。·2· 第二部分 函数概念与性质函数三要素1、 函数的概念设A，B是两个非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的小课堂函数概念通俗易懂的理解为：唯一的自变量x有唯一的因任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素f(x)和它对应，那么称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x)，x∈A.其中所有输入值x组成的集合A叫作函数y=f(x)的定义域；所有输出值y组成的集合叫作函数y=f(x)的值域.★2、函数的定义域（自变量的取值范围）定义域的约束：

1分式的分母不能为零；

2对数的真数大于零；

3根号下被开方数大于等于零．

4零指数幂底数不为零3、函数的值域（因变量的取值范围） 函数值域要综合函数定义域和函数单调性.yf(x)如图，函数f(x)是定义在[a,b]上的函数由图可知：f(x)的值域是[f(m),f(n)].amnbx★4、求函数值域的几种方法(1)函数定义域直接制约着函数的值.对于比较简单的单调函数可通过定义域求得值域．(2)换元法求解函数值域：（换元后自变量取值范围改变，函数值域不会变化）二次函数型可通过换元法转化为二次函数，进而求解函数值域．分子、分母是一次函数或二次齐次式有理函数用换元法转化为常见初等函数求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数，用换元法转化为基本不等式求值域．(3)导数方法求值域：通过求解函数极值和端点值来确定函数的最值.★5、含参问题与最值1）若：λ≥f(x)恒成立，则λ≥f(x)max；λ≥f(x)成立，则λ≥f(x)min2）若：λ≤f(x)恒成立，则λ≥f(x)min；λ≤f(x)成立，则λ≥f(x)maxyy=λyf(x)y=λf(x)x0xx0x·3·变量y与之对应。函数问题，定义域优先（（小课堂函数单调性与奇偶性★1、函数单调性的定义：设任意实数x1、x2∈[a,b],且x10函数单调性的性质运算：1yf(x1)x1f(x2)yf(x1)f(x2) 增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数2 添加根号单调性不改变 变倒数、加负号单调性改变x2xx1x2x※2、斜率式判断单调性：设x1⋅x2∈a,b,x1≠x2那么f(x1)−f(x2)f(x)在a,b上是增函数；(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0>0x1−x2f(x1)−f(x2)f(x)在a,b上是减函数.(x1-x2)f(x1)-f(x2)<0<0x1−x2设y是μ的函数复合函数：y=f(μ),μ是x的函数μ=φ(x)如果φ(x)的值全部或部分在f(μ)的定义域内，则y通过μ成为x的函数，记y=f(φ(x))设函数y=f(x)在某个区间内可导.★3、导数法判断单调性：若f(x)>0，则f(x)为增函数 ；若f(x)<0，则f(x)为减函数.※4、复合函数单调性：同增异减.复合函数fgx有：当fx与gx的增减性相同时，复合函数就是增函数(同增)； 当fx与gx的增减性相反时，复合函数就是减函数(异减).★5、函数的奇偶性：eg:y=x2+2、y=sin(x-1)2y=tan(3x+1)都是复合函数而y=log(cosx-3)就不是复合函数,∵∀x都不能使y有意义图 示判断复合函数的单调性步骤：⑴求复合函数的定义域；⑵将复合函数分解为常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。计算式对称性特点前 提奇 函 数定义域关于原点对称偶 函 数yyxxf(-x)=-f(x)f(x)关于原点对称在x=0处有定义，则：f(0)=0f(-x)=f(x)f(x)关于y轴对称对任意的x，都有f(x)=f(x)6、多项式函数P(x)=anxn+an-1xn-1+⋯+a0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数⇔P(x)偶次项的系数全为零.(常数按偶次项看待) 多项式函数P(x)是偶函数⇔P(x)奇次项的系数全为零.·4·函数周期性与对称性小课堂★1、周期性定义：函数fx定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得fx+T=fx恒成立，则称fx是周期函数，T是它的一个周期.一般T是fx的周期，则kTk∈Z也是fx的周期.※2、函数周期推导(1)f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a；

1(f(x)≠0)，(2)f(x−a)=f(x+a)，或f(x+a)=±则f(x)的周期T=2a；f(x)1(3)f(x)=1−(f(x)≠0)，则f(x)的周期T=3a；f(x+a)(4)f(x+a)=f(x)−f(x+a)，则f(x)的周期T=6a.(5) 若f(x+a)=f(x+b)或f(x-a)=f(x-b) ，则T=b-a※3、 函数y=f(x)的图象的对称性A\'(a+x，fa+x).（1）轴对称(自对称)：A(a-x，fa-x)，①fa+x=fa-x⇔y=f(x)图象关于直线x=a对称；a+b对称．②fa+x=fb-x⇔y=fx图象关于直线x=2恒等式特征：函数值相等，左右两边的x的系数相反，可联想偶函数f-x=fx．A\'(a+x，fa+x).（2）中心对称(自对称)：A(a-x，fa-x)，①fa+x+fa-x=0⇔函数y=f(x)图象关于点(a，0)成中心对称；②fa+x+fa-x=2b⇔函数y=f(x)图象关于点(a，b)成中心对称；a+b，c)成中心对称．③fa+x+fb-x=c⇔函数y=f(x)图象关于点(22恒等式特征：函数值的和为常数，所含x的两个系数相反，可联想奇函数f-x+fx=0．a+b对称⇔f(a+mx)=f(b-mx)更一般的：y=f(x)图象关于x=24、两个函数图象的对称性(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.(2)函数y=f(x)和y=f−1(x)的图象关于直线y=x对称.周期性是对称性的一种体现※5、周期性与对称性的关系若函数y=f(x)的图像关于直线x=a，x=b都对称，则f(x)为周期函数且2b-a是它的一个周期．推论：偶函数y=f(x)图像关于x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期．·5·小课堂 第三部分函数图像与变换1、五点法画图：

初等函数、方程与不等式函数化简→定义域→讨论性质(奇偶性、单调性)→算零点、最值点→光滑曲线作图.★2、图象变换（1）平移变换：自变量“左加右减”：y=f(x)y=f(x±a)左（右）平移a个单位yy=f(x)左右平移yy=f(x-a)x1x2xx1+ax2+ax上（下）平移b个单位y=f(x)±b因变量“上加下减”：y=f(x)yy2y=f(x)上下平移yy2+by=f(x)+bxy11x)（2）伸缩变换：y=f(x)y=f(ω横坐标变为原来的ω倍y1+bx（3）对称变换：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”y=f(x)y=−f(x)y=f(x)y=−f(−x)（4）翻折变换：y=f(x)→y=|f(x)|保留x轴上方部分，并将下方部分沿x轴对称翻折到上方y关于原点对称关于x轴对称y=f(x)y=f(−x)y=f(x)y=f(2a−x)关于x=a对称关于y轴对称y=f(x)xy对称翻折y=f(x)x对称翻折y=f(x)→y=f(|x|)保留y轴右边部分，并将右边部分沿y轴对称翻折到左边yy=f(x)xyy=f(x)对称翻折x．·6·几种常用初等函数图像 附：1反比例型函数：kax+baby，其对称中心为点y=(c≠0≠)y=分子常数化x-x0+0的图像是双曲线，ccx+ddy0)，(x0，k变换得到．【可根据对称中心(x0，其图象可由y=y0)，先画出两条渐近线，再根据k的x符号画出双曲线！】d，a；d}，a}．y0=该函数定义域为{x|x≠-值域为{y|y≠事实上，x0=-ccccyy小课堂OxOxk+yk<0y=0x-x0yk+yk>0y=0x-x0yOxOxkk>0y=x-xkk>0y=x+xk(k>0)，b(a>2．双勾函数：见上第四图；y=x+【更一般形式的双勾函数：y=ax+xx0，b>0)】可根据奇偶性和基本不等式a+b≥2ab(a，b>0)，或导数法确定极值点x=±k．k(k>0)的图象，【注意区别于y=x-见上第三图．】x3．含绝对值的函数：fx=a1x-x1+a2x-x2+⋯+anx-xn+b．(会用零根分段去绝对值法变分段函数，显然每段均为一次函数或常数．也要会直接快速作出函数图象．)⑴f(x)=kx-a+b的图象：顶点坐标为(a，b)，当k>0时，正∨字形；当k<0时，倒∨(即∧)字形；yya,bxyyya,b1xx11x2x1xx2x22xx12x1⑵①fx=x-x1+x-x2+b；②fx=x-x1-x-x2+b；⑶fx=a1x-x1+a2x-x2+⋯+anx-xn+b的图象．用零根分段去绝对值法变分段函数，显然每段均为一次函数或常数．·7·小课堂4．如何作出fx=max{f1x，f2x，⋯，fnx}或fx=min{f1x，f2x，⋯，fnx}的图象？(n≥2)在同一坐标系中先分别作出函数f1x，f2x，⋯，fnx图象，再利用它们的交点分段确定f(x)的图象．函数零点与基本不等式1、方程与函数关系：函数y=fx图象与x轴有交点函数y=fx有零点方程fx=0有实根零点存在性定理不可逆★2、零点存在性定理：如果函数y=fx在区间不断的一条曲线，并且有fa⋅y=fx在区间a,b内有零使得fc=0，这个c也就是方3、不等式的性质：性质1：(对称性)如果a>b，那么bb．性质2：(传递性)如果a>b，且b>c，则a>c．性质3：如果a>b，则a+c>b+c．推论：(同向可加性)如果a>b，c>d，则a+c>b+d．性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果a>b，c<0，则ac0,n>0)，n时等号成立.模型一：mx+当且仅当x=xmnn=m(x−a)++ma≥2mn+ma(m>0,n>0)，模型二：mx+x−ax−an时等号成立.当且仅当x−a=m1≤1x(a>0,c>0)，=模型三：c22ac+bax+bx+cax+b+xc时等号成立.a2mx(n−mx)1⋅nmx+n−mx)2=模型四：x(n−mx)=≤（mm24mnn)，当且仅当x=时等号成立.(m>0,n>0,00时，yx222(a+b)bb时，aa=+≥就有了当等号成立．yx+yyxx222(a+b+c)2bcb=c时，aa=++≥同理,当等号成立．yzx+y+zyzxx权方和不等式运用权方和不等式：若ai>0,bi>0,m>0.m+1+1(a1)m+1(a2)m+1(a)ma1+a2+⋯+ann则++⋯+≥m(b1)m(b2)m(bn)mb1+b2+⋯+bnaa1an=2=⋯=时，当仅当等号成立.m为该不等式的和，b2bnb1它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.假分数越加越小糖水不等式：真分数越加越大，a+m<b+m>b，a定理：或者若a>b>0，m>0，则一定有a+mab+mb·9·小课堂一次函数及其变换★1、一次函数的图像性质解析式f(x)=kx+by1−yok代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程度.k=tanα=x1−xob代表直线的纵截距，含义是直线与y轴相交的点的纵坐标.k>0,b>0图像k>0,b<0k<0,b>0k<0,b<0参数yxyxyxyx单调递减增减性单调递增2、一次函数的平移变换：左加右减，上加下减（1）f(x)=kx+b图象向左(右)平移m个单位得到：f(x)=k(x±m)+b；（2）f(x)=kx+b图象向上(下)平移h个单位得到：f(x)=kx+b±h；★3、一次函数的翻折变换f(x)=2x+1为例：以f(x)=2x+1与f(x)=2x+1、(1)f(x)图象是将f(x)在x轴上方图象保留，将x轴下方的图象作x轴翻折后得到.(2)函数f(x)图象是将函数f(x)在y轴右侧的图象不变，把y轴左侧的图象去掉，再将y轴右侧图象作y轴翻折到左侧得到.y翻折变换y=f(x)对称翻折yy对称翻折xxy=f(x)y=f(x)x★4、一次绝对值不等式(还可以转化为一元二次不等式求解)(1)对于f(x)≤a型不等式的解法：(以2x+1≤5为例)1.① 解出y=f(x)的零点：令y=2x+1中y=0⇒x=−2② 在同一坐标系中画出y=f(x)与y=a的图像：③ 解出翻折前f(x)=a实根，再根据对称得出翻折后的实根：

-3根据图像，得出f(x)≤a的解集：1-2y=5yy=2x+12x·10·反比例函数及其变换★1、反比例函数图像性质解析式k>0图像kf(x)=xk<0小课堂yykf(x)=xkf(x)=xxx增减性当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而增大；★2、反比例函数的平移变换kk>0图像向右平移a个单位，k+bk>0y=向上平移b个单位可以转化为y=xx-ak反比例函数y=x具有两yyy=bk+bf(x)=x-a条渐近线：x=0，y=0，所以在研究反比例函数的平移变换时，要考虑到渐近kf(x)=xx平移变换xx=a线位置的改变。※3、一次分式函数cx+d这样的函数称为形如f(x)=“一次分式函数”.ax+b ① 在函数的分子上配出分母的形式：f(x)=cbc-ca ② 列项：f(x)=+.aax+bcbcax+b+c-aaax+bc，cb，k,其图像如下：t=则函数f(x)=t+ ③ 令k=c-aaax+bcx+d的性质： ④由图可得f(x)=yax+bcx+df(x)=ax+bb,+∞b、-f(x)定义域-∞,-aacy=ac、c,+∞f(x)值域-∞,aab,+∞上单调递减.b、-f(x)在-∞,-xaabx=-a·11·小课堂二次函数及其变换★1、函数图像与性质一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y=a(x−h)2+k解析式交点式：y=a(x−x1)(x−x2)b)2+4ac−b2一般式与顶点式互化：y=a(x+2a4aa>0y图象a<0ybx0=-2a对称轴顶点xb直线x=-2a2b4ac-b-2a,4abx0=-2ax增减性b时，x<-y随x增大而减小2ab时，x>-y随x增大而增大2ay有最小值，当x=-时，b时，x<-y随x增大而增大2ab时，x>-y随x增大而减小．2ay有最大值，当x=-时，最值b2ab2a※2、二次函数闭区间值域二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，1(p+q).b,区间[p,q]上的中点t=其中对称轴x0=-22ax0pqxpx0tqx(2)ptx0q(3)xpqx0(4)x(1)(1)若x00时，一元二次方程有2个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根.★2、公式法求解一元二次方程的根：−b±b2−4ac.一元二次方程ax2+bx+c=0，当Δ≥0时，x=2a★3、韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根是x1,x2，b，那么x1+x2=-ac.x1x2=a★4、因式分解(十字相乘法)：mnx2+(mp+nq)x+pq=(nx+p)(mx+q)举例： 3x2+11x+10=0x3x25∵5x+6x=11x⇒3x2+11x+10=0(x+2)(3x+5)=0判断方法：拆二次项与常数项，交叉相乘和刚好为一次项即可用该方法，横向书写结果.★5、二次不等式的解集(a>0)Δ=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c的图象x1x2Δ>0Δ=0Δ<0xx0xx无实根R∅ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0的解集ax2+bx+c<0的解集-b±b2-4acx1,2=2a{x|xx2}{x|x1

（2）单调性：如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,+∞)上为增函数． 如果α<0，则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数，在第一象限内 图象无限接近x轴与y轴．（3）奇偶性：当α是整数时，α为奇数，幂函数为奇函数，α为偶数，幂函数为偶函数． 当α=qp(其中p,q互质，p和q∈Z)时 若p为奇数q为奇数时，则y=xpq是奇函数(奇母奇子奇函数)， 若p为奇数q为偶数时，则y=xpq是偶函数(奇母偶子偶函数)， 若p为偶数q为奇数时，则y=xqp是非奇非偶函数．(偶母奇子非奇偶)·15·小课堂小课堂幂函数的衍生函数★（一）对勾函数(双勾函数、耐克函数)的图像与性质解析式a>0,b>0bf(x)=ax+xa<0,b<0a>0,b<0a<0,b>0y图 像2aby=xbay2abyyxb-axy=-xy=xxy=-xx渐近线定义域值 域单调增区 间y=x或y=-xx/x≠0yϵ-∞,-2ab∪2ab,+∞-∞,-yϵ-∞,+∞-∞,0)(0,+∞b,a-(0,b,0)ababa无b,+∞ab,0),aba单调减区 间-(0,-∞,-无-∞,0)(0,+∞b,+∞ab≥2ab；b≤-2ab.x>0时，x<0时，f(x)=ax+f(x)=ax+xx不等式均值不等式可以应用在对勾函数中，用来求解最值，但是在使用时要注意到均值不性 质等式的应用条件：“一正、二定、三相等”※（二）三次函数的图像与性质定义形如y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数，称为“三次函数”.Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac)a>0Δ>0Δ≤0Δ>0a<0Δ≤0图像x0xx1x2xx0xx1x2x两个极值x1、x2=极值点1两个极值x1、x2=无极值-b±b2-3ac3a-b±b2-3ac3a无极值f(x)不可能为偶函数；当且仅当b=d=0时是奇函数b))b,f(-三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(-3a3a性质2·16·指数与指数函数★1、分数、指数、有理数幂amn=nam(a>0,m,n∈N∗，且n>1)； a-n=a1n；

(na)n=a当n为奇数时，nan=a； 当n为偶数时，nan=|a|=a,a≥0-a,a<0.2、指数幂的运算性质ar⋅as=ar+s(a>0,r,s∈Q).aras=ar−s(a>0,r,s∈Q)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).★3、指数函数函数名称指数函数定 义形如y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数a>100,a≠1,N>0).※2、对数换底公式

logloglogmNaN=ma(a>0,且a≠1,m>0,且m≠1,N>0).推论 logambn=mnlogab(a>0,且a>1,m,n>0,且m≠1,n≠1,N>0).★3、对数四则运算法则(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)logaMN=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(n∈R). (4)lognabM=nblogaM(b≠0,n∈R)注：性质运算公式:loga1=0logaa=1alogaN=N★4、对数函数函数名称对数函数定 义形如y=logax(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数图 象a>10

(1)当a>1时,af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x);(2)当0ag(x)⇔f(x)0logaf(x)>logag(x)⇔g(x)>0f(x)0logaf(x)>logag(x)⇔g(x)>0.f(x)>g(x)8、对数换底不等式及其推广1,则函数y=log(bx)若a>0,b>0,x>0,x≠axa1,+∞)上y=log(bx)为增函数.1)和((1)当a>b时,在(0,axaa1,+∞)上y=log(bx)为减函数.1)和((2)当am>1，p>0，a>0，且a≠1，则(1)logm+p(n+p)0,使不等式f(x)-A<ε在x-x0ϵ0,δ时恒成立，那么常数A叫做函数f(x)在点x0处的极限，记作：limf(x)=Ax→x0小课堂2、几个常用极限1=0limn→∞n1=1limx→x0xx0n→+∞liman=0（1>a>0）sinx=1limxx→0 limx=x0x→x01x=elim1+x→∞xfx0+Δx-fx0Δy3、导函数的定义：fx0=lim=limΔxΔx→0ΔxΔx→0求导数值的一般步骤：①求函数的增量：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；Δyf(x0+Δx)-f(x0)=②求平均变化率：；ΔxΔxΔyf(x0+Δx)-f(x0)③求极限，得导数：f\'(x0)=lim=lim.ΔxΔx→0Δx→0Δx★4、导函数的几何意义f(x)在点x0处导数f\'(x0)表示：f(x)在点x0处切线的斜率.如图，当Δx→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率.Δyf(x0+Δx)-f(x)即：k=lim=lim=f(x0).ΔxΔx→0Δx→0Δx★5、函数求导公式(C)=0(C为常数)1(lnx)=x(sinx)=cosx★6、函数求导法则(1)线性法则：(mf(x)±ng(x))=mf(x)±ng(x)(2)链式法则：fμ(x)=fμ(x)∙μ(x)yPQ△x△yx(xn)=n⋅xn−1(ax)=axlna(cosx)=−sinx(ex)=ex1(logax)=xlna2tanx=secx(3)积法则:(f(x)∙g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)-f(x)g(x)f(x)=(4)商法则:g(x)g2(x)★7、导数应用（1）研究函数单调性:若f(x)>0，则f(x)为增函数；若f(x)<0，则f(x)为减函数（2）求函数极值：极大值：在x0附近“左增右减↗↘”；极小值：在x0附近“左减右增↘↗” 步骤：f(x)定义域→求导f(x)→求f(x)零点→列表→判断增减性→得极值：f(b)比较，（3）求函数在[a,b]的值域：f(x)在a,b内极值与f(a)、最大的数为最大值，最小的数为最小值·21·小课堂※8、同构母函数图像与性质解析式f(x)=xexy图 像y1e11x-exf(x)=exxef(x)=xyex1xf(x)=xe-1xxf(x)=exxef(x)=x定义域-∞，+∞-∞，+∞-∞，0)∪(0+∞①x+1⋅ex=e−1⋅x+1⋅ex+1=e−1fx+1，即将fx向左平移1个单位，1倍，再将纵坐标缩小为原来的故可得y=x+1⋅ex在区间−∞,−2e1．↓，在区间−2,+∞↑，当x=−2时，ymin=−e2同 构1x−1⋅e−(x−1)=−1f−x−1，x−1=②y=即将fx关于原点对称xeee1倍，x−1，后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小得到y=故可得y=xeex−1在区间−∞,2↑，1．当x=2时，ymax=在区间2,+∞↓，xee2解析式yf(x)=xlnxxf(x)=lnxyex1exy1elnxf(x)=xf(x)=xlnx1e图 像1-e1exxf(x)=lnx0，+∞0，1∪1，+∞lnxf(x)=x定义域0，+∞lnx+1=elnex=−ef−lnex，①即x∈1,+∞当−lnex∈−∞,−1，xex↓，当−lnex∈−1,+∞，即x∈0,1↑，ymax=1．同 构2lnxlnx=11f−lnx2，2=−即x∈e,+∞②当−lnx∈−∞,−1，2222xx↓，1．当−lnx2∈−1,+∞，即x∈0,e↑，ymax=2e·22·极限与定积分小课堂1、定积分概念： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]等分成n个小区间，b−a)，每个小区间长度为D(D=对所有小区间作和式：nnnb−a×f(i)Sn=D×f(i)=ni=1i=1nbyy=f(x)abx当D无限接近于0时，Sn无限趋近于常数S.称S为函数f(x)在[a,b]上的定积分.b−a×f(i)，记为：S=limS=n→∞ni=1f(x)dxa2、定积分几何意义：定积分表示积分上下限与函数围成的几何图形的面积.3、积分公式∫0dx=c(c为常数)1dx=lnx+c∫x∫sinxdx=-cosx+c∫cosxdx=sinx+c4、积分运算法则(1)线性运算：kf(x)dx=kabaα+1x+c(α≠-1)∫1dx=x+c∫xdx=α+1xa+c(a>0,a≠1)∫exdx=ex+c∫axdx=lna1sinax+c(a≠0)∫cosaxdx=a1cosax+c(a≠0)∫sinaxdx=-aαbf(x)dx(k为常数)abbaabf(x)±g(x)dx=f(x)dx±g(x)dx(2)区间可加性：f(x)dx=abf(x)dx+f(x)dx(其中a

2切线方程为：y-f(x0)=f(x)(x-x0)．(2)过点(a,b)的切线方程求解步骤：13设切点x0,f(x0)；

2f(x0)-bx0切线斜率为：=f(x0)x0-a方程为：y-f(x0)=f(x)(x-x0)；(3)求y=f(x)与y=g(x)的公切线的步骤：f(x1)-g(x2)①设切点(x1,f(x1)),(x2,g(x2))；②求导列关系式k==f(x1)=g(x2)x1-x2③根据上面的关系式解出x1或x2；④回代入②中求出k，如k=f(x1)；⑤利用点斜式求出切线，如y-f(x1)=f(x1)(x-x1)．※2、参数取值范围：(1)函数定义域：解决函数问题，定义域优先.(2)分离参量：利用分离参量的思路将题目给的参数移到一边.a≤h(x)(3)恒成立和成立问题：①恒成立：f(x)a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)>a成立⇔f(x)max>a(4)导函数零点可求：导函数零点可求时，运用常规方法可求得函数最值，进而可得参数取值范围.步骤：f(x)定义域→f(x)→求f(x)零点→列表→判断增减性→得最值.※3、导函数零点不可求的处理方法：需要单独设分子为新函数，求导推出原函数单调性.（1）分类讨论法(证明不等式成立)：通过对原函数或者导函数进行因式分解，对局部函数进行研究，找出参数分界值，在分段区间上证明题意成立，从而印证该区间参数可以取到单调性讨论：分离出参量后，构造新函数，求新函数最值，若新函数的导函数零点不可求往往需要对分式分子进行求导(整式直接进行二阶求导)，若得到的式子不能比较直观的判断正负则继续求导，直到得到的式子能比较直观判断正负，进而推出前面几阶导数的增减和正负，直到可以确定原函数增减性.（2）分离参量法：(1)隐零点：通过虚设零点进行等量代换求解函数的最值.“虚设代换\"法:导函数f(x)的零点无法求出显性的表达时，可以利用设而不求的思想. ① 在证明零点存在后，假设零点为xo，则可得到一个关于xo的方程f(xo)=0 ② 根据f(x)的单调性，得出xo两侧的正负，进面得出原函数的单调性和极值f(xo); ③ 将①式中关于xo的方程整体或局部代入f(xo)，从而求得f(xo)，然后解决相关问题.注意：使用f(xo)=0进行\"指幂代换\"(或\"对幂代换\")，尽最转化为幂函数进行讨论.·24·(2)洛必达法则：在驻点不可求时，往往需要讨论函数的增减性，这时，函数的最值往往在间断点处取得，所以需要通过极限计算的方法求出函数的最值.求极限时，函数的极0、∞.则需通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值.限如果满足未定式0∞f(x)f(x)即：lim=limx→x0g(x)x→x0g(x)※4、证明单变量不等式(1)核心考点：主要思路是把问题转化为函数最值问题，譬如证明f(x)>g(x)：策略一：移项，构造函数，证明f(x)-g(x)min>0；策略二：放缩，证明f(x)≥l(x)>g(x)，一般l(x)为切线；策略三：变形，证明f(x)min>g(x)max，该法并非通法，但有时对证明有意想不到的效果.(2)函数放缩化曲为直：在处理函数不等式或者求解函数近似解中，由于原函数比较复杂，常用化曲为直的方法进行放缩，以曲线上某点处的切线进行放缩，前提条件是放缩对象具有凹凸性(二阶导恒大于或小于0).常见的化曲为直有：基础指数切线放缩：ex≥x+1①ex−1≥x、ex≥ex(切横x=1)②ex+a≥x+a+1(用x+a替换x，切点横坐标是x=−a)，引申③xex≥x+lnx+1．(用x+lnx替换x，切点横坐标满足x+lnx=0).xe2x2>x2(x>0)(用④ex≥24替换x，切点横坐标是x=2)；有xx(x>0)的构造模型．en≥e⋅n对数切线放缩：lnx≤x−1x．(用x替换x，①lnx≤切点横坐标ee是x=e)1替换x，1．(用②lnx≥1－切点横xx坐标x=1)，或者记为xlnx≥x－1．lnx≤x－1)．③lnx≤x2－x．(x④ln(x+1)≤x，由lnx≤x−1向左平移一个单位，或者将ex≥x+1两边取对数而来.小课堂x∈0,+∞x∈1,+∞x∈0,11≤lnx≤x-11-xx-1)x0称为极值点左偏．2x1x0x2xyt1②当0