2024年3月17日发(作者：2017数学试卷湖南省)
2019—2020(1)高数A1(B卷)(正考)
参考答案与评分细则
2019.12.28 出题组
考试时间：2020年01月07日上午9:00~11:00
一、填空题（每题3分，共15分）：
1
2x
(x
2
1、
3
． 2、
)
(x
2
)
dx
． 3、
12
．
4、
1
3
F(3x−2)+C
． 5、
2
．
二、单项选择题（每题3分，共15分）：
1、
(D)
2、
(D)
3、
(C)
4、
(A)
5、
(B)
三、计算题（每小题6分，共12分）：
解1：原式
=lim
x−sinxx
x→0
xx
2
2
=2lim
−sinx
x→0
x
3
…2′
=2lim
1−cosx
x→0
3x
2
…4′
=2lim
x
2
2
x→0
3x
2
…5′
=13
…6′
1−x3
解2：原式
=lim
1
3x
3x1−x
x→0
+
1−x
…3′
1−x
3x
x
lim
3
→0
1−x
=
lim
→0
1+
3x
x
…5′
1−x
=e
3
…6′
四、计算题（每小题6分，共18分）：
解1：
y
=(1+x
2
+
x
2
2
0
1+tdt)
…1′
=
(x
2
)
21+x
2
+1+(x
2
)
2
(x
2
)
…3′
=
x
1+x
2
+2x1+x
4
…4′
dy=y
dx
…5′
=
x
+2x1+x
4
dx
…6′
1+x
2
解2：
4x+e
x−y
(1−y
)=2yy
…3′
y
=
4x+e
x−y
2y+e
x−y
，
2y+e
x−y
0
…4′
k
切
=y
(1)=53
…5′
切线：
y−1=
5
3
(x−1)
…6′
解3：
dy(te
2t
)
dx
=
(e
2t
+1)
…1′
=
e
2t
+2te
2t
2e
2t
…3′
=t+12
…4′
d
2
y(t+12)
dx
2
=
(e
2t
+1)
…5′
=12e
2t
…6′
五、计算题（每小题6分，共18分）：
解1：
x
3
lnxdx=
lnxd
(
x
4
4
)
…2′
=
x
4
lnx
4
−
x
4
4
d(lnx)
…4′
=
x
4
lnx
4
−
1
4
x
3
dx
…5′
=
x
4
lnx
4
−
x
4
16
+C
…6′
解2：原积分
=
2
−
4
2|sinx|dx
…2′
=−
0
2
−
4
2sinxdx+
0
2sinxdx
…3′
0
=
2cosx
−
4
−
2cosx
0
2
…5′
=22−1
…6′
体积
解3：令
t=2x+1
，则
x=(t
2
−1)2
…1′
且
x:0→4
时，有
t:1→3
…2′
3
1
t
2
故原积分
=
1
1+t
d
−1
…3′
2
=
3
t
3
1
1+t
dt=
1
1−
1
1+t
dt
…4′
=[t−ln(t+1)]
3
1
…5′
=2−ln2
…6′
六、（本题8分）：
解：函数
y
的定义域为
xR
…1′
令
f
(x)=(x
2
−3x+2)e
x
=0
…2′
解得驻点
x
1
=1
，
x
2
=2
…4′
列表讨论如下：
x
(−，1)
1
(1，2)
2
(2，+)
f
(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
f(1)
↘
f(2)
↗
综述：函数
f(x)
在区间
(−，1]
，
[2，+)
上单调
增加，在区间
[1，2]
上单调减少，极大值为
f(1)=3e
，极小值为
f(3)=e
2
…8′
七、（本题8分）：
解：面积:
A=
4
0
(x−
1
2
x)dx
…2′
4
=
2
3
1
2
3
x
2
−x
…3′
4
0
=
4
3
. …4′
V=
4
0
(x)
2
−(
1
2
2
x)
dx
…6′
4
=
1
2
x
2
−
1
12
x
3
…7′
0
=
8
3
…8′
八、（本题6分）：
证：设
f(x)=1+
x
3
−
3
1+x
，
x0
…1′
当
x0
时，
f
(x)=
1
1
3
1−0
…3′
3
(1+x)
2
说明当
x0
时，
f(x)
单调递增 …4′
即当
x0
时，
f(x)f(0)=0
…5′
也就是
f(x)=1+
x
3
−
3
1+x0
故当
x0
时，
1+
x
3
3
1+x
…6′
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