2023年12月10日发(作者：山东高三联盟数学试卷分析)

《经济数学》应用题

1．已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为

3．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)求：（1）当x

．

．

2．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) =

1000.25x26x（万元）,

10时的总成本、平均成本和边际成本；

（2）当产量x为多少时，平均成本最小？

4．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q100010p（q为需求量，p为价格）．试求：

（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？

5．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数q20004p，其中p为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润.

6．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.

7．某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C(q)0.5q236q9800（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？

q2 8．已知某厂生产q件产品的成本为C(q)25020q（万元）．问：要使平均成本最少，应10生产多少件产品？

9．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C(x)=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.

10．a已知某产品的边际成本C(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益R(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

11．b生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？

12．已知某产品的边际成本为C(x)求最低平均成本.

13．c设生产某产品的总成本函数为

时的边际收入为R(x)4x3(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，C(x)3x(万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨152x（万元/百吨），求：

(1) 利润最大时的产量；

(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

参考答案

1. 3.6

2. 45q – 0.25q

2

3．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

C(x)1000.25x26x

100C(x)0.25x6，C(x)0.5x6

x2 所以，C(10)1000.2510610185

100

C(10)0.2510618.5，

10C(10)0.510611

100 （2）令

C(x)20.250，得x20（x20舍去）

x 因为x20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x20时，平均成本最小.

4．解 （1）成本函数C(q)= 60q+2000．

1 因为

q100010p，即p100q，

1011 所以 收入函数R(q)=pq=(100q)q=100qq2．

101012 （2）因为利润函数L(q)=R(q)-C(q) =100qq-(60q+2000)

1012= 40q-q-2000

1012且

L(q)=(40q-q-2000)=40- 0.2q

10令L(q)= 0，即40- 0.2q= 0，得q= 200，它是L(q)在其定义域内的唯一驻点．

所以，q= 200是利润函数L(q)的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．

5．解 C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p)

=250000-400p

R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p

2

利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p

2 -250000，且令

L(p)=2400 – 8p = 0

得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.

最大利润

L(300)24003004300225000011000qpq(140.01q)14q0.01q2

（元）．

6．解 由已知R利润函数LRC14q0.01q2204q0.01q210q200.02q2

则L100.04q，令L100.04q0，解出唯一驻点q250.

因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，

且最大利润为

L(250)10250200.02250225002012501230C(q)9800=0.5q36 （q0）

qq98009800)=0.52

qq（元）

7. 解 因为

C(q)=

C(q)=(0.5q36 令C(q)=0，即0.59800=0，得q1=140，q2= -140（舍去）.

q2q1=140是C(q)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.

所以q1=140是平均成本函数C(q)的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为

C(140)=0.5140368．解 （1） 因为

C(q)=9800=176 （元/件）

140C(q)250q=

20qq10250q2501

20)=2q10q102501 令C(q)=0，即20，得q1=50，q2=-50（舍去），

q10

C(q)=(

q1=50是C(q)在其定义域内的唯一驻点．

所以，q1=50是C(q)的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．

9．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

662

C(2x40)dx=(x40x)= 100（万元）

44又

令

C(x)dxcC(x)0x0xx240x36=x =x4036

x36C(x)120， 解得x6.

x x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.

10．解 因为边际利润

L(x)R(x)C(x)=12-0.02x –2 = 10-0.02x

令L(x)= 0，得x = 500

x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.

当产量由500件增加至550件时，利润改变量为

L(100.02x)dx(10x0.01x2)5 =500 - 525 = - 25 （元）

即利润将减少25元.

11. 解

L(x) =R(x) -C(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x

令L(x)=0, 得 x = 10（百台）

又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.

又

L1210L(x)dx(10010x)dx(100x5x2)1020

101212

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.

12．解：因为总成本函数为

C(x)(4x3)dx=2x23xc

2当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18

即 C(x)=2x3x18

C(x)18 又平均成本函数为

A(x)2x3

xx18令

A(x)220， 解得x = 3 (百台)

x该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为

A(3)23313．解：(1) 因为边际成本为

令L(x)189 (万元/百台)

3C(x)1，边际利润L(x)R(x)C(x) = 14 – 2x

0，得x = 7

由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.

(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为

887L(142x)dx(14xx2)7 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）

即利润将减少1万元.


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