大一下学期高等数学期中考试试卷与答案

2023年12月2日发(作者：19年小升初潮汕数学试卷)

大一第二学期高等数学期中考试试卷

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

，3，则该球面的方1、已知球面的一条直径的两个端点为2，3，5和4，1程为______________________

2、函数uln(xy2z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,2,2)方向的方向导数为

3、曲面zx2y2与平面2x4yz0平行的切平面方程为

4、(x,y)(0,0)lim(1cos(x2y2))sinxy(xy)e2222x2y2

2z_______________

5、设二元函数zxyxy，则xy3二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面x2y2z21是（ ）

（A）．xOz坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成；

（B）．xOy坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成；

（C）．xOy坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成；

（D）．xOz坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成．

2、微分方程yy2xcosx3x2的一个特解应具有形式（ ）

其中a1,b1,a2,b2,d1,d2,d3都是待定常数.

(A).x(a1xb1)cosxx(a2xb2)sinxd1x;

(B).x(a1xb1)cosxx(a2xb2)sinxd1xd2xd3;

(C).x(a1xb1)(a2cosxb2sinx)d1xd2xd3;

(D).x(a1xb1)(cosxsinx)d1xd2xd3

2222y1z与平面:x2y z4,则 （ ）

222 (A).L在; (B).L与不相交;

(C).L与正交;

(D).L与斜交.

4、下列说确的是（ ）

3、已知直线L:x2(A)两向量a与b平行的充要条件是存在唯一的实数，使得ba；

2z2z(B) 二元函数zfx,y的两个二阶偏导数2,2在区域D连续，则在该区域xy两个二阶混合偏导必相等；

1 / 7 (C) 二元函数zfx,y的两个偏导数在点x0,y0处连续是函数在该点可微的充分条件；

(D) 二元函数zfx,y的两个偏导数在点x0,y0处连续是函数在该点可微的必要条件.

2z5、设zf(2xy,x2y),且fC（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则xy2（ ）

(A)2f112f223f12; (B)2f11f223f12;

(C)2f11f225f12; (D)2f112f22f12.

三、计算题（本大题共29分）

1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

(1)（6分）y1xyxy

22

(2)（7分）y3y2yxe2x

2t2、（本题8分）设zuvtcosu，ue，vlnt，求全导数dz。

dt

2 / 7 2x23、（本题8分）求函数fx,yexy2y的极值。

四、应用题（本题8分）

1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为c(x,y)x22y2xy （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？

五、综合题（本大题共21分）

yzxz111、（本题10分）已知直线l1：bc，l2：ac，求过l1且平行于l2的x0y0平面方程．

3 / 7

2、（本题11分）设函数f(x,y,z)lnxlny3lnz在球面x2y2z25R2(x0,y0,z0)上求一点，使函数f(x,y,z)取到最大值．

六、证明题（本题共12分）

1、设函数uxFkz,xy，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数．试xy

x证明:x

uuuzyzkxkF,xyzx

4 / 7 第二学期高等数学期中考试试卷答案

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1.、

x3y1z121

2222、1．

23、2x4yz50．

4、0

5、2y3x；

2二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1（A）

2（B）

3（C）

4（C）

5（A）

三、计算题（本大题共29分）

1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：dy(1x)dx

1y2dyx2上式两端积分得arctany(1x)dxxc

21y2x2c其中c为任意常数． 即 ：

arctanyx2（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为r23r20,特征根为r11,r22,于是，该齐次方程的通解为YC1xC2e2x,因2是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：y*x(b0xb1)e2x.代入题设方程,得12b0xb12b0x,比较等式两端同次幂的系数,得b0,b11,

2于是，求得题没方程的一个特解y*x(x1)e2x.

从而，所求题设方程的通解为yC1exC2e2xx(x1)e2x.

2、解：zuv2tcosuv2tsinu，

uu12125 / 7 zzuv2tcosu2uv，cosu

vvt依复合函数求导法则，全导数为

dzzduzdvzdt

dtudtvdttdt1v2tsinuet2uvcosu1

t2ln2ttsinetetetlntcosett

2x2fxx,ye2x2y4y1013、解：解方程组，得驻点,1。由于2x2fyx,ye2y20Afxxx,y4e2xxy22y1，Bfxyxy4e2xy1，Cfyyx,y2e2x11在点,1处，所以函数在点,1ACB24e2，A2e0，B0，C2e，22e1处取得极小值，极小值为f,1。

22四、应用题（本题8分）

1、解：即求成本函数cx,y在条件xy8下的最小值

构造辅助函数

Fx,yx22y2xy(xy8)

Fx2xy0解方程组

Fyx4y0

Fxy80解得

7,x5,y3

这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：c(5,3)522325328（万）

五、综合题（本大题共21分）

1、解：直线l1与l2的方向向量分别为

1111s10，，1，0，00，，，

bccb1111s2，0，0，1，0，0，，

caac111作ns1s2，，2，

bccca6 / 7 1110，0，cPn，，取直线l1上的一点P，则过点且以为法向112cabccxyz量的平面10 ，

abc就是过l1且平行于l2的平面方程．

2、解：设球面上点为(x,y,z)．

令

L(x,y,z,)lnxlny3lnz(x2y2z25R2)，

Lx1112x0,Ly2y0,Lz2z0,Lx2y2z25R20

xy3z22z2由前三个式子得xy，代入最后式子得xyR,z3R．由题意得3f(x,y,z)在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(R,R,3R)就是最大值点，最大值为f(R,R,3R)ln(33R5)．

六、证明题（本题共12分）1、证明：

uzkxk1F,xxzkxk1F,xuzxkF2,yxuzxkF1,zxyzkxF,1xxyzzkxF,22xxxyzk2yxF2,xxy

xy

xyy2xxyzk2zxF1,xxy

xy1zk1xF2,xxxy1zk1xF1,xxx所以，xuuuyz

xyzzxkxk1F,xzyxk1F2,xzkxkF,xyzk2zxF1,xxyzk1zxF1,xxy

xyzk2yxF2,xxy

xy

x

7 / 7