2023年12月3日发(作者：山西教师招聘中学数学试卷)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

数学（理）及答案

一、选择题

1.设2(zz)3(zz)46i，则zA.12i

B.12i

C.1i

D.1i

2.已知集合S{s|s2n1,nZ}，T{t|t4n1,nZ}，则SA.

B.S

C.T

D.Z

3.已知命题p:xR﹐sinx1；命题q:xR,e（ ）

<( ）

T( )

1，则下列命题中为真命题的是pq

pq

1x，则下列函数中为奇函数的是（ ）

1xB.pq

C.D.(pq)

4.设函数f(x)A.f(x1)1

B.f(x1)1

C.f(x1)1

D.f(x1)1

5.在正方体ABCDA.A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）

2

B.C.D.3

46

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）

A.60种

B.120种

C.240种

D.480种

7.把函数yf(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的线向右平移(1倍，纵坐标不变，再把所得曲23个单位长度，得到函数ysin(x4)的图像，则f(x)（ ）

x7)

212x()

2127(2x)

(2x12)

7的概率为（ ）

48.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于7

923B.

329C.

32A. D.2

99.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB（ ）

表高表距表高 A.表目距的差B.表高表距表高

表目距的差表高表距表距 C.表目距的差表高表距表距 D.表目距的差

10.设a0，若xA.ab

B.ab

a2

a2

a为函数f(x)a(xa)2(xb)的极大值点，则

x2y211.设B是椭圆C：221(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足，abPB2b，则C的离心率的取值范围是（ ）

A.[2,1)

2 B.[,1)

12C.(0,2]

212D.(0,]

12.设a2ln1.01，bln1.02，cA.abc

B.bca

C.bac

D.cab

综上，acb.

二、填空题

1.041，则（ ）

x2y21(m0)的一条渐近线为3xmy0，则C的焦距13.已知双曲线C：m为 .

14.已知向量a(1,3)，b(3,4)，若(ab)b，则 .

15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，

B60，a2c23ac，则b .

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.

三、解答题

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用 一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和己为s1和S2.

（1）求x，2y，s12，s2：

22y， 样本方差分别

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果2s12s2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ， 否

yx210则不认为有显著提高 ) 。

18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1,M为BC的中点，且PBAM.

（1）求BC；

（2）求二面角APMB的正弦值.

19.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知（1）证明：数列{bn}是等差数列；

（2）求{an}的通项公式.

212.

Snbn

20.设函数f(x)ln(ax)，已知x0是函数yxf(x)的极值点.

（1）求a；

（2）设函数g(x)xf(x)xf(x)，证明：

g(x)1.

21.已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，且F与圆M：x2(y4)21上点的距离的最小值为4.

（1）求p；

（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值.

22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为C(2,1)，半径为1.

（1）写出C的一个参数方程;

（2）过点F(4,1)作C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

23.已知函数f(x)|xa||x3|.

（1）当a1时，求不等式f(x)6的解集；

（2）若f(x)a，求a的取值范围.

答 案

一、选择题

1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、C 7、B 8、B 9、A

10、D 11、C 12、B 13、

二、填空题

13、4 14、三、解答题

17、（1）各项所求值如下所示.

3 15、22 16、②⑤或③④

51，(9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7)10.0101，y(10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5)10.3101s12[(9.710.0)22(9.810.0)2(9.910.0)22(10.010.0)2(10.110.0)210x2(10.210.0)2(10.310.0)2]0.0362s2，1[(10.010.3)23(10.110.3)2(10.310.3)22(10.410.3)2102(10.510.3)2(10.610.3)2]0.04.

22s12s2s12s20.34.显然yx2（2）由（1）中数据得yx0.3,21010.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

18、（1）因为PD平面ABCD，且矩形ABCD中，ADDC.所以以DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.设BCt，A(t,0,0)，ttB(t,1,0)，M(,1,0)，P(0,0,1)，所以PB(t,1,1)，AM(,1,0)

22t2因为PBAM，所以PBAM10所以t2(2)设平面2，所以BC2.

APM的一个法向量为m(x,y,z)，由于AP(2,0,1)，则 mAP2xz0.令x2，的m(2,1,2).设平面PMB的一个法向量为2xy0mAM2n(x,y,z)nCB2x0，则.令y1，的n(0,1,1).所以nPB2xyz0cosm,n70mn3314，所以二面角APMNB的正弦值为.

1414|m||n|72

19、（1）由已知2S12，则bnSn(n2)，nbnbn12bn11b22b1n122bnbnbn1(n2)，b13，

nbn22故{bn}是以32为首项，12为公差的等差数列.

（2）由（1）知b31n22n2(n1)22，则S222Snn2n1，

nnn1时，a31S1n2，n2时，a2nSnSn1n1n1n1n(n1)，3,n故a21n1.

n(n1),n2

20、（1）令h(x)xf(x)xln(ax)

则h(x)ln(ax)xax.

∵x0是函数yxf(x)的极值点.

∴h(0)0.

解得：a1；

（2）由（1）可知：f(x)ln(1x)

g(x)xf(x)11，

xf(x)f(x)x1111x10（x1且x0）

f(x)xln(1x)x要证g(x)1，即证x(1x)ln(1x)0.

xln(1x)∵当x0时，xln(1x)0.

当0x1时，xln(1x)0.

∴只需证明x(1x)ln(1x)0

令H(x)x(1x)ln(1x)，且易知H(0)0.

则H(x)1ln(1x)1(1x)ln(1x)

1x（i）当x0时，易得H(x)0，则H(x)在(,0)上单调递减，

∵H(0)0，∴H(x)H(0)0，得证.

（ii）当0x1时，易得H(x)0，则H(x)在(0,1)上单调递增.

∵H(0)0，∴H(x)H(0)0，得证.

综上证得g(x)1.

21、（1）焦点F(0,（2）抛物线y22p)到x(y4)21的最短距离为p34，所以p2.

212x，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，得

4lPA：y1x1(xx1)y11x1x1x121x1xy1，

2242lPB：y1x2xy2，且x02y028y015，

21yx1x0y102lPA，lPB都过点P(x0,y0)，则，

y1xxy02022 故lAB：y011x0xy，即yx0xy0，

221yx0xy022联立，得x2x0x4y00，4x016y0，

2x24yx02所以AB14x0216y04x02x024y0，

4dPABSPABx024y0x042，所以11ABdPABx024y0x024y(x04y0)(y012y015)2.

22而y0[5,3]，故当y0

22、（1）5时，SPAB达到最大，最大值为205.

x2cos（为参数）

C的参数方程为y1sin（2）C的方程为(x2)2(y1)21

①当直线斜率不存在时，直线方程为x4，此时圆心到直线距离为2r，舍去；

②当直线斜率存在时，设直线方程为y1k(x4)，化简为kxy4k10，

此时圆心C(2,1)到直线的距离为d|2k14k1|k12r1，

化简得2|k|k21，

22两边平方有4kk1，所以k3.

3代入直线方程并化简得x3y340或x3y340化为极坐标方程为

cos3sin43sin(5)43

6或cos3sin43sin(

6)43.

23、当a1时，f(x)6|x1||x3|6，

当x3时，不等式1xx36，解得x4；

当3x1时，不等式1xx36，解得x；

当x1时，不等式x1x36，解得x2.

综上，原不等式的解集为(,4][2,).

（2）若f(x)a，即f(x)mina，

因为f(x)|xa||x3||(xa)(x3)||a3|（当且仅当(xa)(x3)0时，等号成立），所以f(x)min|a3|，所以|a3|a，即a3a或a3a，解得3a(,).

2


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