最难理解的世界数学难题——霍奇猜想,拓扑学上空的一朵乌云

最难理解的世界数学难题——霍奇猜想，拓扑学上空的一朵乌云

在世界数学难题中，最著名的当属7个千禧问题了。这是一系列的问题，解决其中任何一个都可以获得100万美元。黎曼

假设是最容易表述的，所以有很多关于它的文章。庞加莱猜想是迄今为止唯一一个被解决的，因此也有许多关于它的文

章。

这篇文章将要讨论的问题叫做霍奇猜想（Hodge Conjecture）。这是一个代数几何的问题。本文尝试为一般的数学读者

提供这个猜想的概述。

拓扑

拓扑学基本上是研究如何使物体变形的。首先，我们设一个空间X是一个球面（二维的）。

如果我们从球面上的任何一个环（比如黑色的那个）开始，我们可以将它滑动到一个点（黑点）。当我们可以这样做的

时候，我们把这个环称为“等于0”，因为这个环可以变为一个点。

对于这个球面上的任何一个环，我们都可以将它滑到一个点，所以这个变形等价的环的集合为0。我们用下式表示这种

情况

需要注意的一件重要的事情是，开始的环并不一定是一个“平滑的循环”。它可以是任意的形状，只要它是一个闭环即

可。下标1表示研究的环是一维的（在二维平面中）。

让我们增加一点难度，看看环面（也是二维的）。

上图中红色的环可以变形到环面上的一点。但是黑色的环（上图波状黑圈）则不能缩到一个点上，它最多可以变成上图

光滑的黑圈。

任何环绕中心孔的闭环都可以缩小到中间的环上（上图红色圈）。严格地证明并不容易，因为我还没有给出真正的定

义，但是如果你仔细想想，你应该能够说服自己，环面只有以上这三种情况。

所以，唯一的非零元素是由这两个环产生的。在本例中（环面），我们用下式表示：

它是第一个同调群。如果一个环是[A]，另一个环是[B]，我们可以用有理数作为系数对它们求和，如：

如果我们称这些一维的环为1环，那么我们就称k维的对应环为k-环。准确地定义它们有点奇怪，因为我们仍然希望在更

高的维度中有“成为一个环”的概念。

为了感受一下，你可以想象一个3d球体：

如果你有一些二维的小块在里面，你总是可以把它缩小到一个点。从图上很难分辨，但你应该注意到这是在三维球体的

内部。在之前的例子中，我们必须在二维球面上。

k-环的情况用下式表示：由于所有的1-环都会缩到球面上的一点，因此：

所有的2-环也会缩到一点，因此：

在某种意义上，H的维数k将告诉你在空间X中有多少个（n-k）维孔，其中n是X的维数。H_1是二维的，因为它有两

个“孔”，一个绕着环面的“管”，另一个绕着中心孔。

几何

几何可以表示很多不同的东西，但在本文中，我们用的是“代数几何”。如果你学过线性代数，你应该对这个概念很熟

悉。线性代数研究的是线性方程组的零集。你会得到非常简单的东西，比如平面和子空间。

回想一下，线性代数中的技巧包括在思考“图像”（比如零空间、值域空间、平面的交点）和实际计算的“代数”之间来回转

换。

线性代数在某种意义上是“完全解决了”，但如果你让你的方程中有不同指数，那它们就是多项式。这就是代数几何：在

多项式零集的几何和处理这些方程的代数运算之间进行转换。

在本文中，一个光滑代数簇（简化为“簇”）是一个几何空间X，由多项式的零集给出，得到的空间是\"光滑的\"，就像你们

在微积分中学到的那样。

二维球面由二次方程给出。圆环面是由三次方程给出的椭圆曲线。希望你们理解了这个奇怪的术语。椭圆曲线是一个二

维环面。

因为我们处理的是复数，所以“实”维数总是偶数。如果你考虑复平面，它看起来像：

但它只是ℂ。代数几何学家用复维来称呼事物，所以一维曲线有2个实维，而二维曲面有4个实维。

我们需要的最后一个术语是子簇。你们可以想象，X的一个子簇是由多项式方程零点集给出的一个子集，因此也是一个

簇。

这是使霍奇猜想有趣的关键思想：从拓扑学家的观点来看，实际上没有什么多样性。

作为多项式集合的零集是非常有限的。拓扑上的东西可能会很疯狂，很奇怪且很晦涩。如果你从X的一个子簇开始，然

后像我们上面做的那样对它进行任意变形，你最终得到的将不再是一个子簇。

另外，请注意，一个子簇是通过取多项式零点集并与X相交而形成的。这本质上是一个“全局”的东西。拓扑上变形的形

状在某种意义上是一个“局部”的东西。

所以如果这两个不同的数学分支之间有很好的联系，我们应该感到惊讶。

霍奇猜想

在这一点上，我们可以给出的霍奇猜想最简单的表述是：

在

中，给定某个环[A]，是否存在一个k维子簇Y来表示[A]？我们称这样的子簇为[A]的代数代表。

让我们把它解剖一下。回想一下，A可能是奇形怪状的，它是一种基本的拓扑结构，绕着x中的一个孔。

有没有办法把A“变形”成一个由多项式方程定义的“漂亮”形状？

如果你认为答案显然是肯定的，那么你可能没有领会到作为一个子簇是多么强大和受限。如果你认为答案显然是否定

的，那么你可能无法理解在不改变A的类的情况下，我们可以做多少变形。

记住，我们在复数上面，所以每个子簇都是偶维的。例如，这意味着

中没有代数代表。

但即使我们把自己限制在维度上，还有一个技术条件会带来问题。

如果你查霍奇猜想，标准的表述方式涉及上同调而不是同调，所以只有上标，没有下标。事实证明这些只是对偶概念。

如果X有（实）维度n，那么我们可以把H