高数上册知识点复习资料重点

2023年12月24日发(作者：今年山东中考数学试卷及答案详解)

高等数学上册知 识 点

一、 函数与极限

（一） 函数

1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶 性、周期 性）；

2、 反函数、复合函数、函数的运算；

3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；

4、 函数的连续性与间断点；

函数f(x)在x0连续

limf(x)f(x0)xx0

间断点 第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点)

第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点)

5、 闭 区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.

（二） 极限

1、 定义

1） 数列 极限 :

limxna0, N, nN, xna

n2） 函数极限 :limf(x)A0, 0, x, 当 0xx0 时， f(x)A

xx0左极限：f(x0)limf(x) 右极限：f(x0)limf(x)

xx0xx0xx0limf(x)A 存在 f(x0)f(x0)

2、 极限存在准则

1） 夹逼准则： 1）ynxnzn(nn0)

2）limynlimzna

limxna

nnn2） 单调有界准则：单调有界数列 必有极限.

3、 无穷小（大）量

1） 定义：若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.

2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小

Th1

~o();

Th2

~,~,lim存在，则 limlim（无穷小代换）

4、 求极限的方法

1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性；

14) 两个重要极限： a)

limsinx1 b)

lim(1x)xlim(1)xe

x0xx0xx5）无穷小代换：（x0） a)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx b)

1cosx~c)

ex112x

21~x,（ax1~xlna） d)ln(1x)~x （loga(1x)~x） e)

(1x)1~x

lna

二、 导数与微分

（一） 导数

1、 定义：f(x0)limf(x)f(x0)

xx0xx0f(x)f(x0)左导数：f(x0)limf(x)f(x0) , 右导数：f(x0)lim

xx0xx0xx0xx0函数f(x)在x0点可导f(x0)f(x0)

2、

3、

4、

几何 意义：f(x0)为曲线yf(x)在点x0,f(x0)处的切线的斜率.

可导与连续的关系 ：

求导的方法

1） 导数定义； 2)基本公式； 3)四则运算； 4)复合函数求导（链式法则）；

5) 隐函数求导数； 6)参数方程求导； 7)对数求导法.

5、 高阶导数

1）

2dy 2)Leibniz公式：定义：dyddx2dxdxuv(n)k(k)(nk)

Cnuvk0n（二） 微分

1） 定义：yf(x0x)f(x0)Axo(x)， 其中A与x无关.

2） 可微与可导的关系 ：可微可导， 且dyf(x0)xf(x0)dx

三、 微分中值定理与导数的应用

（一） 中值定理

1、 Rolle定理：若函数f(x)满足：

1）f(x)C[a,b]； 2）f(x)D(a,b)； 3）f(a)f(b)；则(a,b),使f()0.

2、 Lagrange中值定理：若函数f(x)满足：

1）f(x)C[a,b]；2）f(x)D(a,b)；则(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).

3、 Cauchy中值定理：若函数f(x),F(x)满足：

1）f(x),F(x)C[a,b]； 2）f(x),F(x)D(a,b)；3）F(x)0,x(a,b)

f(b)f(a)f()

F(b)F(a)F()则(a,b),使

（二） 洛必达法则

（三） Taylor公式

（四） 单调性及极值

1、 单调性判别法：f(x)C[a,b]，

f(x)D(a,b)， 则若f(x)0， 则f(x)单调增加；则若f(x)0，

则f(x)单调减少.

2、 极值及其判定定理：

a) 必要条件：f(x)在x0可导， 若x0为f(x)的极值点， 则f(x0)0.

b) 第一充分条件：f(x)在x0的邻域内 可导， 且f(x0)0， 则①若当xx0时，

f(x)0， 当xx0时，

f(x)0， 则x0为极大值点；②若当xx0时，

f(x)0， 当xx0时，

f(x)0，

则x0为极小值点；③若在x0的两侧f(x)不变号， 则x0不是极值点.

c) 第二充分条件：f(x)在x0处二阶可导， 且f(x0)0，

f(x0)0， 则

①若f(x0)0， 则

3、

1）x0为极大值点；②若f(x0)0， 则x0为极小值点.

凹凸 性及其判断， 拐点

2xx2f(x1)f(x2)凹的；若x1,x2I, f(1， 则称f(x)在区间I 上的图形是凸 的.

)22f(x)在区间I上连续， 若x1,x2I, f(x1x2)f(x1)f(x2)， 则称f(x)在区间I 上的图形是22）判定定理：f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)上有一阶、二阶导数， 则

a) 若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

b) 若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸 的.

3）拐点：设yf(x)在区间I上连续，

x0是f(x)的内 点， 如果曲线yf(x)经过点(x0,f(x0))时，

曲线的凹凸 性改变了， 则称点(x0,f(x0))为曲线的拐点.

（五） 不等式证明

1、 利用微分中值定理； 2、利用函数单调性； 3、利用极值（最值）.

（六） 方程根的讨论

1、连续函数的介值定理； 2、Rolle定理； 3、函数的单调性； 4、极值、最值； 5、凹凸 性.

（七） 渐近线

1、 铅直渐近线：limf(x)， 则xa为一条铅直渐近线；

xa2、 水平渐近线：limf(x)b， 则yb为一条水平渐近线；

x3、 斜渐近线：lim（八） 图形描绘

四、 不定积分

（一） 概念和性质

1、

2、

xf(x)k,lim[f(x)kx]b存在， 则ykxb为一条斜渐近线.

xx原函数：在区间I上， 若函数F(x)可导， 且F(x)f(x)， 则F(x)称为f(x)的一个原函数.

不定积分：在区间I上， 函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.

3、

4、

（二） 换元积分法

基本积分表（P188， 13个公式）；

性质（线性性）.

1、 第一类换元法（凑微分）：f[(x)](x)dxf(u)duu(x)

2、 第二类换元法（变量代换）：f(x)dx（三） 分部积分法：udvuvvdu

f[(t)](t)dtt1(x)

（四） 有理函数积分 ： 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.

五、 定积分

（一） 概念与性质：

1、

2、

定义：f(x)dxlimf(i)xi

abn0i1性质：（7条）

性质7 （积分中值定理） 函数f(x)在区间[a,b]上连续， 则[a,b]， 使

baf(x)dxf()(ba)

（平均值：f()baf(x)dxba）

（二） 微积分基本公式（N—L公式）

1、 变上限积分：设(x)xaf(t)dt， 则(x)f(x)

推广：d(x)f(t)dtf[(x)](x)f[(x)](x)

(x)dx2、 N—L公式：若F(x)为f(x)的一个原函数， 则baf(x)dxF(b)F(a)

bb（三） 换元法和分部积分

1、 换元法：baf(x)dxf[(t)](t)dt 2、分部积分法：udvuvavdu

baa（四） 反常积分

1、 无穷积分：

af(x)dxlim瑕积分：

tatf(x)dx,

bbf(x)dxlimttabf(x)dx,

f(x)dxt0f(x)dx0f(x)dx

2、

baf(x)dxlimf(x)dx（a为瑕点）,

f(x)dxlimtatbtbaf(x)dx（b为瑕点）

两个重要的反常积分：

, p1dx1) 2)

axpa1p, p1p1(ba)1q, q1bbdxdx

a(xa)qa(bx)q1q, q1

六、 定积分的应用

（一） 平面图形的面积

1、 直角坐标：A[f2(x)f1(x)]dx

ab

2、

2极坐标：A1[2()12()]d

2

（二） 体积

1、 旋转体体积：

a)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴， 绕x轴旋转而成的旋转体的体积：Vxfabab2(x)dx

b)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴， 绕y轴旋转而成的旋转体的体积：Vy2xf(x)dx（柱壳法）

2、 平行截面面积已知 的立体：V（三） 弧长

1、 直角坐标：s3、极坐标：s

七、 微分方程

（一） 概念

1、 微分方程：表示未知 函数、未知 函数的导数及自变量之间关系 的方程.

阶：微分方程中所出现的未知 函数的最高阶导数的阶数.

2、 解：使 微分方程成为恒等式的函数.

通解：方程的解中含有任意的常数， 且常数的个数与微分方程的阶数相同.

特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.

（二） 变量可分离的方程

baA(x)dx

ba1f(x)dx 2、参数方程：s2(t)2(t)2dt

()2()2d

g(y)dyf(x)dx， 两边积分g(y)dyf(x)dx

（三） 齐次型方程

xdydudxxdxdvdyyy； 或()， 设v， 则uxvy

()， 设u， 则ydyydydydxdxdxxx（四） 一阶线性微分方程

P(x)dxdyP(x)dxdxC

Q(x)eP(x)yQ(x) ， 用常数变易法或用公式：yedx（五） 可降阶的高阶微分方程

1、y(n)f(x)， 两边积分n次；

2、yf(x,y)（不显含有y）， 令yp， 则yp；

3、yf(y,y)（不显含有x）， 令yp， 则ypdp

dy

（六） 线性微分方程解的结构

1、y1,y2是齐次线性方程的解， 则C1y1C2y2也是；

2、y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解， 则C1y1C2y2是方程的通解；

3、yC1y1C2y2y*为非齐次方程的通解， 其中y1,y2为对应齐次方程的线性无关的解，

y*非齐次方程的特解.

（七） 常系 数齐次线性微分方程

二阶常系 数齐次线性方程：ypyqy0

特征方程：r2prq0， 特征根：

r1,r2

特征根

1r2 实根

rrx通 解

yC1e1C2e

r2x

r1r2p2y(C1C2x)e1

yex(C1cosxC2sinx)

rxr1,2i

（八） 常系 数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)

0, λ不是特征根1、f(x)ePm(x)， 设特解y*xkexQm(x)， 其中

k1, λ是一个单根2, λ是重根x2、f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinx

(1)(2)(x)cosxRm(x)sinx， 设特解y*xkexRm0,

i不是特征根其中

mmax{l, n}，

k

1,

i是特征根