2020考研数学一真题及解析【完整版】

2023年12月10日发(作者：小学试卷数学试卷及答案)

2020考研数学一真题及解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项.是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上1.x0时，下列无穷小阶数最高的是A.B.C.D.x0et1dt2x0ln1+t3dtsint2dtsin3tdtxx2sinx01cosx01.答案：D解析：A.0e1dt~0tdtxx325B.0ln1t3dt~0t2dtx2t2x335C.0sint2dt~0t2dtx31cosx312x20sinxx1332D.0sintdt~ttdt52512x220212552x5f(x)0,则（2.设函数f(x)在区间（-1，1）内有定义，且limx0A.当limx0）f(x)|x|f(x)0,f(x)在x0处可导.B.当limx0x20,f(x)在x0处可导.f(x)在x0处可导时,limC.当x0f(x)|x|.当f(x)在x0处可导时,2.答案：Bf(x)x2x00.解析:limx0f(x)x20limx0f(x)f(x)f(x)0lim0,limx0x00xx|x|()limfx0,limf(x)0x0x0xf(x)f(0)limf(x)0f(0)limx0x0x0xf(x)在x0处可导选Bffn垂直，则（A.(x,ylim)(0,0)）22(0,0)且非零向量d与3.设函数f(x,y)在点（0，0）处可微，f(0,0)0,nx,y,1|n(x,y,f(x,y))|xy0存在|n(x,y,f(x,y))|lim0存在22B.(x,y)(0,0)xyC.(x,ylim)(0,0)|d(x,y,f(x,y))|xy2220存在D.(x,ylim)(0,0)3.答案：A解析：|d(x,y,f(x,y))|xy20f(x,y)在(0,0)处可微.f(0,0)=0limx0y0f(x,y)f(0,0)fx(0,0)xfy(0,0)yxy220xy2x2f(0,0)y0即limx0f(x,y)f(0,0)y0xynx,y,f(x,y)fx(0,0)xfy(0,0)yf(x,y)(x,y)(0,0)lim选A.nx,y,f(x,y)xy220存在4.设R为幂级数nanr的收敛半径，r是实数，则（1n）A.nanr发散时，|r|R1ar发散时，|r|Rnn1nB.nn1nn发散C.|r|R时，D.|r|R时，4.答案：A解析：arn1ar发散nn∵R为幂级数nanx的收敛半径.1nnn∴axn1在(R,R)内必收敛.∴n1ar发散时，|r|∴选A.5.若矩阵A经初等列变换化成B，则（A.存在矩阵P，使得PA=BB.存在矩阵P，使得BP=AC.存在矩阵P，使得PB=AD.方程组Ax=0与Bx=0同解5.答案：B解析：）A经初等列变换化成B.1使得AP1B存在可逆矩阵P1111ABP令PPABP.选B.xa3yb32c3xa2yb22c226.已知直线L:相交于一点，法11与直线L:222相交于一点，法a1bcabc1ai向量ii则abici,1,2,3.A.a1可由a2,a3线性表示B.a2可由a1,a3线性表示C.a3可由a1,a2线性表示D.a1,a2,a3线性无关6.答案：C解析：令L1的方程xa2yb2zc2=1t11abcxa2a1即有yb2tb1=2t1z21ccxa3a22b3tb2=3t2由L的方程得y32zcc由直线L1与L2相交得存在t使2t13t2即3t1(1t)2，3可由1,2线性表示，故应选C.7.设A,B,C为三个随机事件，且P(A)P(B)P(C)1,P(AB)04P(AC)P(BC)A.B.1，则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为1234231C.2D.5127.答案：D解析：P(ABC)P(ABUC)P(A)P[A(BUC)]P(A)P(ABAC)P(A)P(AB)P(AC)P(ABC)111004126P(BAC)P(BAUC)P(B)P[B(AUC)]P(B)P(BA)P(BC)P(ABC)111004126P(CBA)P(CBUA)P(C)P[CU(BUA)]P(C)P(CB)P(CA)P(ABC)111104121212P(ABCABCABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)1115661212选择D8.设12n为来自总体X的简单随机样本，其中1001表P(X0)P(X1)2,(x)55的近似值为i示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得PXi1A.1(1)B.(1)C.1(2)D.X,X,…,X(2)8.答案：B解析：由题意1,EXDX241EXiX100EX50.i1100100DXi100DX25i1100由中心极限定理i1Xi~N(50,25)100100Xi555550i1i55∴PXP(1)i155故选择B二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。请将解答写在答题纸指定位置上.0x11ex1ln(1)x9.解析：11xlimx0xe1ln(1)limx0ln(1x)e1x(e1)ln(1x)xxln(1x)e12limx0xx1ex1limx02x1221xtdy10.设，则2|t12dxyln(tt1)10.解析：dy1212tdydttt1t11ttdxdx2dtt1ddydydtd2dtdydt2dxdxdx212tt2t13t2dtt1t1得dy2dx211.若函数f(x)满足f(x)af(x)f(x)0(a0),且f(0)m,f(0)n，则11.解析：特征方程为0f(x)dx2a10特征根为1,2，则12a,121，特征根10,200f(x)dx0[f(x)af(x)]dx[f(x)af(x)]|0nam12.设函数f(x,y)12.解析：x(xy)2x3y2fexxeyxy0fedt，则xyxt22(1,1)fxyfxy22fyx3=exy3xye32xy32(1,1)=e+3e4e.a0110a1113.行列式11a0110a13.解析：a0110a11111aa0110a11011a000aa21a1a111a10aa0a10a20a1a0a111002aaaa2142aaa214.a0014.设X服从区间,22上的均匀分布，YsinX，则Cov(X,Y)14.解析：1解f(x)02x其他2cov(X,Y)EXYEXEYE(XsinX)EXE(sinX)22xsinx201dx221xdx221sinxdx2120xsinxdx02(x)dcosx2022xcosx02220sinx0cosxdx三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求函数f(x,y)x8yxy的最大值15.解析：求一阶导可得33f3x2yxf24y2xyf10x6x0x令可得y0f0y112y求二阶导可得fx226xfxy221fy2248y当x0,y0时.A0.B1.C0ACB0故不是极值.当x211y时612A1.B1.C4.11ACB0.A10故,是极小值点6122111111极小值f,861221661261216.（本题满分10分）计算曲线积分I16.解析：224xydxxydy222，其中L是xy2，方向为逆时针方向4xy4xy33Lxy4xyPQ,2222设4xy4xyQP4xy8xy222则xyxy(4)取路径L:4x222y,方向为顺时针方向.22xy4xydx222dy则L24xy4xyxyxy4xy4xydxdydxLL22222222dyL4xy4xy4xy4xyQPdxdy2Lxy)dx(xy)dy(41xy211121(1)dxdy22SD22.D2D17.（本题满分10分）设数列{an}满足a11,(n1)an1n并求其和函数.n1n1an，证明：当|x|1时幂级数n1anx收敛，21n1知n017.证明：由(n1)a则an1n2a,a1aan121，即an1ann1n故{an}单调递减且0an1，故anxxnn当|x|1时，n1x绝对收敛，故nn1ax收敛.nnnn1n1nnnS(x)axnax(n1)axn1n1n0a11nnanxn12nn1nn1n1naxn1ax21n1(n1)axn1nn11n11xnanx2S(x)11xS(x)S(x)2则(1x)S(x)12S(x)1即S(x)21xc12(1x)S(x)11x解得S(x)11x21x2.又S(0)0故c2因此S(x)18.（本题满分10分）设为曲面Zxy22I[xf(xy)2xyy]dydz[yf(xy)2yx]dzdx[zf(xy)z]dxdyxy4的下侧，f(x)是连续函数，计算2218.解析：zxxy则z22xxy1222y,zyxy22方向余弦为cos于是xxy22,cos12yxy22,cos12I1[xf(xy)2xyy]x22[yf(xy)2yx]y22[zf(xy)z]dSxy2222xyxy2yxy22xydxdy22Dxyxy41xy2y222xydxdy22xy2222r2222sindrdrdrdr40101r770.424323D19.设函数f(x)在区间[0,2]上具有连续导数，证明（1）存在(0,2)，使得|f()|M（2）若对任意的x(0,2),|f(x)|M，则f(0)fMf(x)|},(2)0,max{|x(0,2).M019.证明：（1）由Mmax{|f(x)|}，x[0,2]知存在c[0,2]，使|f(c)|M，若c[0,1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一点(0,c)，使f()f(c)cf(0)|f(c)|从而|f()|c(c)fcMMc若c(1,2]，同理存在(c,2)使f()f(2)f(c)f(c)2c2c|f(c)|MMf从而|()|2c2c综上，存在(0,2)，使|f()|M.（2）若M0，则c0,2.由及罗尔定理知，存在，使f(0)f(2)0(0,2)f()0,当(0,c]时，cf(c)f(0)0f(x)dxcM|f(c)||f(c)f(0)|ffc又(2)()2M|f(c)||f(2)f(c)|cf(x)dx|f(x)|dxMc,02c|f(x)|dxM(2c)于是2MMcM(2c)2M矛盾.故M0.x1y120.设二次型f(x1,x2)x4x1x24x经正交变换Q化为二次型22xy2122g(y,y)ay4yyby，其中ab.12122122（1）求a,b的值.（2）求正交矩阵Q.20.解析：（1）设A=1-2a2,=Bb-242T1由题意可知QAQQAQB∴A合同、相似于B14ab∴ab4∴a4.abb1（2）|EA|122452∴A的特征值为0，5当0时，解(0EA)x0.得基础解为11221当5时，解(5EA)x0得基础解为2又B的特征值也为0，512当0时，解(0EB)x0得2121当5时，解(5EB)x0得12对1,2单位化11|1|令11221255,21|2|255221Q[,],Q[,]T100T则QAQ1Q2BQ205故2T11T2可令QQAQQB1T2QQQ21552155435534551525251521.设A为2阶矩阵，P(,A)，其中是非零向量且不是A的特征向量.（1）证明P为可逆矩阵（2）若AA60，求PAP，并判断A是否相似于对角矩阵.21.解析：(1)0且A.故21与A线性无关则r(,A)2则P可逆.206APA(,A)(A,Ax)(A)11106.故PAP11(2)由A22A60设(AA6E)0,(A3E)(A2E)0由0得(AA6E)x0有非零解故|(A3E)(A2E)|0得|A3E|0或|A2E|0若|(A3E)|0则有(A2E)0,故A2,与题意矛盾2故|A3E|0,同理可得|A2E|0.于是A的特征值为1322.A有2个不同特征值，故A可相似对角化22.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1与X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为133{0}{1}PXPX,YX3X1(1X3)X2.2（1）求二维随机变量（X1，Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数(x)表示.（2）证明随机变量Y服从标准正态分布.22.解析：(1)F(x,y)P{X1x,Yy}P{X1x,X3(X1X2)X2y,X30}P{X1x,X3(X1X2)X2y,X31}P{X1x,X2y,X30}P{X1x,X1y,X31}若xy,则P{X1x,X1y,X31}P{X1x}(x)22111131,{,,1}{}若xy则PXxXyXPXy(y)221(x)(y)1(x),xy22Fxy(,)故11(x)(y)(y),xy22(2)11F(y)P{Yy}P{X3(X1X2)X2y}1131223{()|0}PXXXXyXP{X3(X1X2)X2y|X31}221123P{Xy|X0}P{X1y|X31}2211(y)(y)22(y).Y23.设某种元件的使用寿命T的分布函数为1eF(t)0,tm,t0,其他.其中,m为参数且大于零.（1）求概率P{Tt}与P{Tst|Ts}，其中s0,t0.（2）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1,t2…,tn，若m已知，求的最大似然估计值ˆ23.解析：（1）P{Tt}1F(t)etm..P{Tst|Ts}P{Tt}etmtmmm1,t0(2)f(t)F(t)mt.e0其他mmtim1nmni1Lfti，mt1…tne似然函数()i10nnti0其他当t10,t20,…,tn0时nnmnm1mni1timL()mt1…tn取对数lnL()nlnmmnlne(m1)nni1lntimni1timm(m1)dln()mnimt求导数di1mdln()mii1t令d0解得1nn所以的最大似然估计值mm1iti1nn