韦达定理常见公式

2024年1月23日发(作者：江苏各地数学试卷)

韦达定理常见公式

韦达定理，也称作费马点定理，是数学中一个重要的定理。它的原理是：如果一个平面上的三角形，三边为AB、AC、BC，点D在BC上，则当且仅当AD经过BC中点时，BD²+CD²=2AD²+2BD·CD。这个定理常常被用于解决各种三角形问题。

应用一：海伦公式

海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它利用了韦达定理的原理。设三角形三边分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))。其中，s=(a+b+c)/2。

应用二：余弦定理

余弦定理是用于计算三角形边长或角度的公式。它同样利用了韦达定理的原理。设三角形三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有下列公式：

a²=b²+c²-2bc*cosA

b²=a²+c²-2ac*cosB

c²=a²+b²-2ab*cosC

应用三：正弦定理

正弦定理是用于计算三角形边长或角度的公式。它同样利用了韦达定理的原理。设三角形三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有下列公式：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆半径）

应用四：角平分线定理

角平分线定理是用于计算三角形内角平分线长度的公式。它同样利用了韦达定理的原理。设三角形三边分别为a、b、c，内角A的平分线交BC于点D，则有下列公式：

BD/DC=AB/AC=a/b

应用五：垂心定理

垂心定理是用于计算三角形垂心位置的公式。它同样利用了韦达定理的原理。设三角形三边分别为a、b、c，三条高分别为AD、BE、CF，则有下列公式：

AD·HD=BD·CD

BE·HE=AE·CE

CF·HF=AF·BF

结语

韦达定理是数学中一个非常重要的定理，它的应用广泛，涉及到海伦公式、余弦定理、正弦定理、角平分线定理、垂心定理等多个领域。通过掌握韦达定理的原理和常见公式，我们可以更好地解决各种三角形问题。