最新北师大版八年级数学上册知识点总结

2024年1月24日发(作者：新改革高考数学试卷)

最新北师大版八年级数学上册知识点总结

第一章 勾股定理

2221．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即abc。

2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。

2223．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足abc，那么这个三角形是直角222三角形。满足abc的三个正整数称为勾股数。

第二章 实数

1．平方根和算术平方根的概念及其性质：

2（1）概念：如果xa，那么x是a的平方根，记作：a；其中a叫做a的算术平方根。

（2）性质：①当a≥0时，a≥0；当a＜０时，a无意义；②2．立方根的概念及其性质：

3（1）概念：若xa，那么x是a的立方根，记作：3a；

a＝a；③a2a。

2（2）性质：①aa；②aa；③3a＝3a

3．实数的概念及其分类：

（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；

（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。

4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。

aa5．算术平方根的运算律：

a

b

 （a≥0，b≥0）；

 （a≥0，b＞0）。

a

bbb第三章 图形的平移与旋转

1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。

2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。

3．作平移图与旋转图。

第四章 四边形性质的探索

1．多边形的分类：

三角形

特殊

等腰三角形、直角三角形

菱形

特殊 特殊 特殊

平行四边形 正方形

多

四边形

边矩形

形特殊

梯形

等腰梯形

特殊

边数多于4的多边形 正多边形

2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：

（1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

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3333

（2）菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S

菱形=L1*L2/2）。

（3）矩形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对角线相等；四个角都是直角。对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形。直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；

在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。

（4）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

（5）等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形；对角互补的梯形是等腰梯形。

（6）三角形中位线：连接三角形相连两边重点的线段。性质：平行且等于第三边的一半

3．多边形的内角和公式：（n-2）*180°；多边形的外角和都等于360。

4．中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

第五章 位置的确定

1．直角坐标系及坐标的相关知识。

2．点的坐标间的关系：如果点A、B横坐标相同，则AB∥y轴；如果点A、B纵坐标相同，则AB∥x轴。

3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于y轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于x轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。

第六章 一次函数

1．一次函数定义：若两个变量x,y间的关系可以表示成ykxb（k,b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数。当b0时称y是x的正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。

2．作一次函数的图象：列表取点、描点、连线，标出对应的函数关系式。

3．正比例函数图象性质：经过0,0；k＞0时，经过一、三象限；k＜0时，经过二、四象限。

4．一次函数图象性质：

（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，图象呈上升趋势；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象呈下降趋势。

b（2）直线ykxb与轴的交点为0,b，与x轴的交点为





,0

 。

k（3）在一次函数ykxb中：k＞0，b＞0时函数图象经过一、二、三象限；k＞0，b＜0时函数图象经过一、三、四象限；k＜0，b＞0时函数图象经过一、二、四象限；k＜0，b＜0时函数图象经过二、三、四象限。

（4）在两个一次函数中，当它们的k值相等时，其图象平行；当它们的k值不等时，其图象相交；当它们的k值乘积为1时，其图象垂直。

4．已经任意两点求一次函数的表达式、根据图象求一次函数表达式。

5．运用一次函数的图象解决实际问题。

第七章 二元一次方程组

1．二元一次方程及二元一次方程组的定义。

2．解方程组的基本思路是消元，消元的基本方法是：①代入消元法；②加减消元法；③图象法。

3．方程组解应用题的关键是找等量关系。

4．解应用题时，按设、列、解、答 四步进行。

5．每个二元一次方程都可以看成一次函数，求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象的交点。

第八章 数据的代表

1．算术平均数与加权平均数的区别与联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，（它特殊在各项的权相等），当实际问题中，各项的权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项的权相等时，计算平均数就要采用算术平均数。

2．中位数和众数：中位数指的是n个数据按大小顺序（从大到小或从小到大）排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）。众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。

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应知应会的知识点

因式分解

1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.

2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.

3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.

注意公式：a+b=b+a； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3.

4．因式分解的公式：

(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b）；

(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.

5．因式分解的注意事项：

（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；

（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；

（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；

（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；

（5）因式分解的最后结果要求加以整理；

（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.

6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.

7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，

pq有“ x2+px+q是完全平方式 

2”.

2分式

A1．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为B的形式，如果BA中含有字母，式子B 叫做分式.

整式有理式分式. 2．有理式：整式与分式统称有理式；即

3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.

4．分式的基本性质与应用：

（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；

（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；

即

分子分子分子分子分母分母分母分母

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（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.

5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.

6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.

acac,7．分式的乘除法法则：bdbdnacadad

bdbcbc.

anan.（n为正整数）b8．分式的乘方：b.

9．负整指数计算法则：

1n（1）公式： a0=1(a≠0), a-n=a (a≠0)；

（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；

a（3）公式：bnnmbaba，bman；

n（4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1.

10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.

11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.

abab;ccc12．同分母与异分母的分式加减法法则：

acadbcadbcbdbdbdbd.

13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.

14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.

15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.

16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.

17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.

18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.

数的开方

1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a

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叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.

2．平方根的性质：

（1）正数的平方根是一对相反数；

（2）0的平方根还是0；

（3）负数没有平方根.

3．平方根的表示方法：a的平方根表示为a和a.注意：a可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.

4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为a.注意：0的算术平方根还是0.

5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ，a≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0.

6．两个重要公式：

（1）

a22a; (a≥0)

（2）

a(a0)aaa(a0) .

7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a3叫x的立方数；（2）a的立方根表示为a；即把a开三次方.

8．立方根的性质：

（1）正数的立方根是一个正数；

（2）0的立方根还是0；

（3）负数的立方根是一个负数.

339．立方根的特性：aa.

10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数.

11．实数：有理数和无理数统称实数.

正有理数有理数0有限小数与无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数12．实数的分类：（1）正实数实数0负实数 .

（2）13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.

14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）

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近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：21.414

52.236.

31.732

三角形

几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）

1．三角形的角平分线定义： 几何表达式举例：

A三角形的一个角的平分线与这个角(1) ∵AD平分∠BAC

的对边相交，这个角的顶点和交点之∴∠BAD=∠CAD

间的线段叫做三角形的角平分线.(2) ∵∠BAD=∠CAD

BDC

（如图） ∴AD是角平分线

2．三角形的中线定义： 几何表达式举例：

在三角形中，连结一个顶点和它的对(1) ∵AD是三角形的中线

A边的中点的线段叫做三角形的中线.∴ BD = CD

（如图） (2) ∵ BD = CD

∴AD是三角形的中线

DCB

3．三角形的高线定义： 几何表达式举例：

从三角形的一个顶点向它的对边画(1) ∵AD是ΔABC的高

A垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角∴∠ADB=90°

形的高线. (2) ∵∠ADB=90°

（如图） ∴AD是ΔABC的高

BCD

※4．三角形的三边关系定理： 几何表达式举例：

三角形的两边之和大于第三边，三角(1) ∵AB+BC＞AC

A形的两边之差小于第三边.（如图） ∴……………

(2) ∵ AB-BC＜AC

∴……………

BC

5．等腰三角形的定义： 几何表达式举例：

有两条边相等的三角形叫做等腰三(1) ∵ΔABC是等腰三角A角形. （如图） 形

∴ AB = AC

(2) ∵AB = AC

BC

∴ΔABC是等腰三角形

6．等边三角形的定义： 几何表达式举例：

A有三条边相等的三角形叫做等边三(1)∵ΔABC是等边三角形

角形. （如图） ∴AB=BC=AC

(2) ∵AB=BC=AC

CB∴ΔABC是等边三角形

7．三角形的内角和定理及推论： 几何表达式举例：

（1）三角形的内角和180°；（如图） (1) ∵∠A+∠B+∠C=180°

（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图） ∴…………………

（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角(2) ∵∠C=90°

的和；（如图） ∴∠A+∠B=90°

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※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

AAA

C（1B）

C （2）

B

B （3）（

DC4）8．直角三角形的定义：

有一个角是直角的三角形叫直角A三角形.（如图）

CB(3) ∵∠ACD=∠A+∠B

∴…………………

(4) ∵∠ACD ＞∠A

∴…………………

9．等腰直角三角形的定义：

两条直角边相等的直角三角形叫

等腰直角三角形.（如图）

ACB

10．全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等；（如图）

（2）全等三角形的对应角相等.（如图）

A

EBCFG11．全等三角形的判定：

“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. （如图）

AE

（1）（2）

CGBF

AE

（3）

CBGF12．角平分线的性质定理及逆定

理：

（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）

（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）

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几何表达式举例：

(1) ∵∠C=90°

∴ΔABC是直角三角形

(2) ∵ΔABC是直角三角形

∴∠C=90°

几何表达式举例：

(1) ∵∠C=90° CA=CB

∴ΔABC是等腰直角三角形

(2) ∵ΔABC是等腰直角三角形

∴∠C=90° CA=CB

几何表达式举例：

(1) ∵ΔABC≌ΔEFG

∴ AB = EF ………

(2) ∵ΔABC≌ΔEFG

∴∠A=∠E ………

几何表达式举例：

(1) ∵ AB = EF

∵ ∠B=∠F

又∵ BC = FG

∴ΔABC≌ΔEFG

(2) ………………

(3)在RtΔABC和RtΔEFG中

∵ AB=EF

又∵ AC = EG

∴RtΔABC≌RtΔEFG

几何表达式举例：

(1)∵OC平分∠AOB

又∵CD⊥OA CE⊥OB

∴ CD = CE

(2) ∵CD⊥OA CE⊥OB

又∵CD = CE

ADC∴OC是角平分线

OEB

13．线段垂直平分线的定义： 几何表达式举例：

垂直于一条线段且平分这条线段(1) ∵EF垂直平分AB

E的直线，叫做这条线段的垂直平分∴EF⊥AB OA=OB

线.（如图） (2) ∵EF⊥AB OA=OB

OBA ∴EF是AB的垂直平分线

F

14．线段垂直平分线的性质定理及 几何表达式举例：

逆定理： (1) ∵MN是线段AB的垂直MP（1）线段垂直平分线上的点和这平分线

条线段的两个端点的距离相等；∴ PA = PB

（如图） (2) ∵PA = PB

BAC（2）和一条线段的两个端点的距∴点P在线段AB的垂直平分N

离相等的点，在这条线段的垂直平线上

分线上.（如图）

15．等腰三角形的性质定理及推论： 几何表达式举例：

（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如(1) ∵AB = AC

图） ∴∠B=∠C

（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的(2) ∵AB = AC

高”三线合一；（如图） 又∵∠BAD=∠CAD

（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图） ∴BD = CD

AD⊥BC

………………

AAA(3) ∵ΔABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C =60°

CCBBCBD （1） （2） （3）

16．等腰三角形的判定定理及推论： 几何表达式举例：

（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所(1) ∵∠B=∠C

对边也相等；（即等角对等边）（如图） ∴ AB = AC

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图） (2) ∵∠A=∠B=∠C

（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如∴ΔABC是等边三角形

图） (3) ∵∠A=60°

（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它又∵AB = AC

所对的直角边是斜边的一半.（如图） ∴ΔABC是等边三角形

(4) ∵∠C=90°∠AAAB=30°

CBC（1）B（2）（3）CB（4）

1∴AC =2AB

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17．关于轴对称的定理

（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）

（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）

B18．勾股定理及逆定理：

（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图）

（2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）

19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：

（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）

（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）

AMAOCFGNE几何表达式举例：

(1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称

∴ΔABC≌ΔEGF

(2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称

∴OA=OE MN⊥AE

几何表达式举例：

(1) ∵ΔABC是直角三角形

∴a2+b2=c2

(2) ∵a2+b2=c2

∴ΔABC是直角三角形

几何表达式举例：

∵ΔABC是直角三角形

∵D是AB的中点

CB

AD1∴CD =

2AB

BC

(2) ∵CD=AD=BD

∴ΔABC是直角三角形

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

一 基本概念：

三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.

二 常识：

1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.

2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.

3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.

4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.

A5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.

DE6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

CBA7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：

D（1） AC·CB=CD·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .

18．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.

2BC9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.

10．等边三角形是特殊的等腰三角形.

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11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.

12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.

13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.

14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.

15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.

16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.

17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.

※18．几何重要图形和辅助线：

（1）选取和作辅助线的原则：

① 构造特殊图形，使可用的定理增加；

② 一举多得；

③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；

④ 作辅助线必须符合几何基本作图.

（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）

① 在BA上截取BE=BC构造全等， ② 过D点作DE∥BC交AB于E，构造转移线段和角； 等腰三角形 .

AA

EE

DD

CCBB

（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）

① 过D点作DE∥AC交 ② 延长AD到E，使 ③ ∵AD是中线

AB于E，构造中位线 ； DE=AD ∴SΔABD= SΔADC

连结CE构造全等，转移线（等底等高的三角形A 段和角；

A等面积）

AE

BCBCDDBCD

E

(4) 已知等腰三角形ABC中，AB=AC

① 作等腰三角形ABC底边的中线 ② 作等腰三角形ABC一边的平行线DE，AD 构造

（顶角的平分线或底边的高）构造全 新的等腰三角形.

AAA等三角形；

E

ED

CBDCBDBC

- 10 -

（5）其它

作等边三角形ABC ② 作CE∥AB，转移角； ③ 延长BD与AC交于一边 的平行线DE，构 E，不规则图形转化为规A造新的等边三角形； 则图形；

E

AA

EBDEC

D

CCBDB④ 多边形转化为三角 ⑤ 延长BC到D，使 ⑥ 若a∥b,AC,BC是角平

形； CD=BC，连结AD，直角分线,则∠C=90°.

三角形转化为等腰三角

EAaAA 形；

D

COb

BCB

DBC

勾股实数专题

2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）

A：26 B：18 C：20 D：2

4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为（ ）

A：5 B：10 C：52 D：5

5、下列定理中,没有逆定理的是（ ）

A：两直线平行，内错角相等 B：直角三角形两锐角互余

C：对顶角相等 D：同位角相等，两直线平行

6、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB＝8，BC＝15，CA＝17，则下列结论不正确的是（ ）

A：△ABC是直角三角形，且AC为斜边 B：△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°

C：△ABC的面积是60 D：△ABC是直角三角形，且∠A＝60°

7、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）

A：43 B：3 C：23 D：3

9、如图一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ）

A：36 海里 B：48 海里 C：60海里 D：84海里

10、若ABC中，AB13cm,AC15cm，高AD=12,则BC的长为（ ）

A：14 B：4 C：14或4 D：以上都不对

二、填空题（每小题4分，共40分）

12、如图所示，以RtABC的三边向 外作正方形，其面积分别

为S1,S2,S3,且S14,S28,则S3 ；

14、如图，CABD90,AC4,BC3,BD12,则AD= ；

CA

- 11 -

BD

16、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 ；

19、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地

面，此时，顶部距底部有 m；

20、一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：00，两小相距 海里。

三、解答题（每小题10分，共70分）

21、如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB凿通？

22、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积。

23、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小路的面积是多少?

FDA

D

AC

BCE

B24、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。

(1)求DC的长。

(2)求AB的长。

25、如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？

C

B 8km C

6km

A D B

A

26、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.

出发点

10

40

20

DA

40

E终止点

70

BFC

27、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？•

3例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？

- 12 -

例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。

例3 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4

例4 （1） 已知x2(y4)2xy2z0,求(xz)y的平方根。

22的整数部分为a，小数部分为b，求-16ab-8b的立方根。（2）设

x,y,m适合于关系式3x5y3m2x3ym（3）若xy20042004xy,试求m4的算术平方根。

a3（4）设a、b是两个不相等的有理数，试判断实数b3是有理数还是无理数，并说明理由。

例5 （1）已知2m-3和m-12是数p的平方根，试求p的值。

（2）已知m，n是有理数，且(52)m(325)n70，求m，n的值。

（3）△ABC的三边长为a、b、c，a和b满足a1b4b40，求c的取值范围。

22ax(4a（4）已知

a33a3a)1993，求x的个位数字。

实数训练题：

一、填空题

2(9)1、的算术平方根是 。

2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。

23a1(b1)0,则ab 。 3、已知1x2x214y,则(32)xyx14、已知= 。

5、设等式

a(xa)a(ya)xaay在实数范围内成立，其中a、x、y是两- 13 -

3x2xyy222xxyy两不相等的实数，则的值是 。

6、已知a、b为正数，则下列命题成立的：

3ab2,则ab1;若ab3,则ab；若ab6,则ab3.2若

根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9，则ab 。

7、已知实数a满足1999aa2000a,则a19992 。

a,b,c满足8、已知实数11ca-b2bcc2c0,则的算术平方根是24ab 。

22x3yy22332，则x+y= 。 9、已知x、y是有理数，且x、y满足10、由下列等式：

32223334423,3333,443,7726266363……

所揭示的规律，可得出一般的结论是 。

11、已知实数a满足12、设Aaa23a30,那么a1a1 。

62,B53,则A、B中数值较小的是 。

13、在实数范围内解方程xx12y5.28,则x= ,y= .

5x214、使式子x2有意义的x的取值范围是 。

015、若a1,且a116,则aaa的值为 。

16、一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3，则a= ,x= .

17、写出一个只含有字母的代数式，要求：（1）要使此代数式有意义，字母必须取全体实数；（2）此代数式的值恒为负数。 。

二、选择题：

3(6)1、的平方根是( )A、-6 B、6 C、±6 D、±6

22、下列命题：①（-3）的平方根是-3 ；②-8的立方根是-2；③9的算术平方根是3；④平方根与立方根相等的数只有0； 其中正确的命题的个数有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

3、若

35的小数部分是a，3-5的小数部分是b,则ab的值为（ ）

- 14 -

A、0 B、1 C、-1 D、2

ab3abab4、已知5a,14b,则0.063( ) A、10 B、10 C、100 D、3ab100

2(x)x成立的x 的值（ ） A、是正数 B、是负数 C、是0 D、5、使等式不能确定

6、如果a0,那么a3等于aa B、aa C、aa D、aa （ ） A、3.1416,17、下面5个数：2个 D、3个

,,3.14,1，其中是有理数的有（ ）A、0个 B、1个 C、x8、已知

90,y0,且x2xy15y0,求2x+xy3y的值。xxyy

知：、已x,y,z适合关系式3xyz22xyzxy20022002xy,试求x,y,z的值。

a(10、在实数范围内，设

4xx1x22x2x)2006，求a的各位数字是什么？

222(xy1)与5x3y3互为相反数，求xy的值。11、已知x、y是实数，且

图形的平移与旋转专题

一、填空题

1、在括号内填上图形从甲到乙的变换关系：

乙

乙

甲

甲

甲

乙

（ ） （ ）

（ ）

2、钟表的秒针匀速旋转一周需要60秒．20秒内，秒针旋转的角度是 ；分针经过15 分

- 15 -

后,分针转过的角度是 ；分针从数字12出发,转过1500,则它指的数字是 .

图2

图1

3、如图1，当半径为30cm的转动轮转过120角时，传送带上的物体A平移的距离为

cm。

4、图2中的图案绕中心至少旋转 度后能和原来的图案相互重合。

5、图3是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转 度角后，两张图案能够完全重合.

6、一个正三角形绕其一个顶点按同一方向连续旋转五次,每次转过的角度为600, 旋转前后所有的图形共同组成的图案是 .

7、图4中△A1B1C1是△ABC平移后得到的三角形，则△A1B1C1≌△ABC，理由是 。

8、△ABC和△DCE是等边三角形，则在图5中，△ACE绕着c点沿

方向旋转 度可得到△BCD.

A

A

A1

D

C

B1

C1

B

B C E

图5

图4

二、选择题

1、下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是（ ）.

M

A B C D

2、如图6，ΔABC和ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上，ΔABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与ΔADE重合得到左图，再将左图作为“基本图形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到右图.两次旋转的角度分别为（ ）.

45°，90° B、90°，45°

DEC、60°，30° D、30°，60°

C

AB3、图7,四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的,已图6

知AD=5,∠B=700,则（ ）.

A. FG=5, ∠G=700 B. EH=5, ∠F=700

C. EF=5, ∠F=700 D. EF=5. ∠E=700

图7

4、图8是日本“三菱”汽车的标志，它可以看作是由菱形通过旋转得到的，每次旋转了（ ）.

DECAB

- 16 -

A、60° B、90°C、120° D、150°

5、如图9,ΔABC和ΔADE均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是（ ）.

A. ΔABC和ΔADE B. ΔABC和ΔABD

A

C. ΔABD和ΔACE D. ΔACE和ΔADE

E

D

6、下列运动是属于旋转的是（ ）.

B C

A.滾动过程中的篮球的滚动 B.钟表的钟摆的摆动

图9

C.气球升空的运动 D.一个图形沿某直线对折过程

三、解答题

1、如图,将一个矩形ABCD绕BC边的中点O旋转900后得到矩形EFGH.已知AB=5cm,BC=10cm,求图中阴影部分面积.

A E H(D)

B C

O

F G

2、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△ABC的位置，若平移距离为3。

（1）求△ABC与△ABC的重叠部分的面积；

（2）若平移距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△ABC的重叠部分的面积y，则y与x有怎样关系式。

3、如图,河两边有甲、乙两条村庄,现准备建一座桥,桥必须与河岸垂直, 问桥应建在何处才能使由甲到乙的路程最短?请作出图形,并说说理由.

甲•

- 17 -

111111111

4、阅读下面材料：

乙•

如图(1)，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△DEC的位置；

如图(2)，以BC为轴，把△ABC翻折180º，可以变到△DBC的位置；

如图(3)，以点A为中心，把△ABC旋转180º，可以变到△AED的位置．

像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．

回答下列问题：

①在下图中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法怎样变化，使△ABE变到△ADF的位置；

②指出图中线段BE与DF之间的关系，为什么？

5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连结DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并说明理由.

_

C_

D

_

G_

F

_

A_

B

E_

四边形专题

一、填空题

1．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是_______正方形

- 18 -

______．

2．四边形ABCD为菱形,∠A=60°, 对角线BD长度为10cm， 则此菱形的周长 40 cm．

3．已知正方形的一条对角线长为8cm，则其面积是____32______cm2．

4．平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm ，则△AOB的周长为____13___．

5．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=____110°_____, ∠B=_____110°_____．

6．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，两底分别是15cm和49cm，则等腰梯形的腰长为___34___．

7．用一块面积为450cm2的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条 60 cm．

8．已知在平行四边形ABCE中,AB=14,BC=16,则此平行四边形的周长为 60 .

9．要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 平行四边形 ,再说明 有一组邻边相等 （只需填写一种方法）

10．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.

（1）正方形可以由两个能够完全重合的等腰直角三角形拼合而成;

（2）菱形可以由两个能够完全重合的等腰三角形拼合而成;

（3）矩形可以由两个能够完全重合的直角三角形拼合而成.

11．矩形的两条对角线的夹角为60,较短的边长为12cm,则对角线长为 24

cm.

12．已知菱形的两条对角线长为12cm和6cm,那么这个菱形的面积为36

cm.

（把你认为正确的结论的序号都填上）

二、选择题

13．给出五种图形：①矩形； ②菱形； ③等腰三角形（腰与底边不相等）； ④等边三角形；

⑤平行四边形（不含矩形、菱形）．其中，能用完全重合的含有300角的两块三角板拼成的图形是（ C ）

A．②③ B．②③④

C．①③④⑤ D．①②③④⑤

14．四边形ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D=2︰2︰1︰3，则这个四边形是（C ）

A．梯形 B．等腰梯形

C．直角梯形 D．任意四边形

15．如图19-7，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE︰EF︰FB为（ B ）

D

A．1︰2︰3 B． 2︰1︰3

C

C． 3︰2︰1 D． 3︰1︰2

16．下列说法中错误的是（ B． ）

·

A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；

A B

E

F

图19-7

B．两条对角线相等的四边形是矩形；

C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；

D．两条对角线相等的菱形是正方形．

17．已知ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（B ）

A．AB=CD B．AC=BD

C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当∠ABC=90°时，它是矩形

18．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ C ）

A．大于2， B．小于14

C．大于2且小于14 D．大于2或小于12

19．下列说法中,错误的是 （ D ）

- 19 -

2

A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形

20．一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是 （ C） A．矩形

B．菱形 C．正方形 D．菱形、矩形或正方形

三、解答题

21．如图19-12，已知四边形ABCD是等腰梯形， CD//BA,四边形AEBC是平行四边形．请说明：∠ABD＝∠ABE．

D C

B

A

E

图19-12

22．如图19-14，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F． 试确定A

AD与EF的位置关系，并说明理由．

1

2

E

F

O

B

C

D

图19-14

ABCD

23．如图19-19, 中,DB=CD,C70,AE⊥BD于E.试求DAE的度数.

ADEBC

图19-19

ABCD

24．如图 中 ,G是CD上一点,BG交AD延长线E,AF=CG,DGE

- 20 -

100.

（1）试说明DF=BG; （2）试求AFD的度数.

EDGCAFB

图19-20

25．.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:

（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图19-21①）,使AB=CD,EF=GH;

（2）摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ;

（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③）,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④）,说明窗框合格,这时窗框是 形,根据是: .

（图

①） （图②） （图③） （④）

图19-21

26．如图19-22，已知平行四边形ABCD，AE平分∠DAB交DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，DC=6cm，AD=2cm，求DE、EF、FC的长．

图19-22

27． ．如图19-11,在ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,

DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,求四边形

AFDE的周长。

- 21 -

函数专题

1、正比例函数

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

2、正比例函数图象和性质

一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.

3、正比例函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本步骤是：

（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；

（3）解方程，求出待定系数k；

（4）将求得的待定系数的值代回解析式.

4、一次函数

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

5、一次函数的图象

（1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是经过（0，b）和两点的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.

（2）一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

6、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

k>0

b>0

经过第一、二、三象限

b<0

经过第一、三、四象限

b=0

经过第一、三象限

- 22 -

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

经过第一、二、四象限

经过第二、三、四象限

经过第二、四象限

k<0

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

8、直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：

(1)当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．

(2)当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．

9、直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：

当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b)．

10、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．

(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；

(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为(，0)与 y轴交点坐标为(0，b)．

11、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

12、利用图象解题

通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题.

13、经营决策问题

函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.

二、重难点知识归纳

1、一次函数的定义、图象和性质.

2、一次函数的实际应用.

- 23 -

3、待定系数法.

三、典型例题剖析

例1、已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象过第二、四象限，则（ ）

A．y随x的增大而减小

B．y随x的增大而增大

C．当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小

D．不论x如何变化，y不变

分析：

根据正比例函数的性质可知，当k<0时，图象过第二、四象限，y随x的增大而减小，故选A．

答案：A

例2（1）若函数y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值为（ ）

A．0 B．1 C．±1 D．－1

（2）已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为_____________.

是一次函数. （3）当m=_______时，函数分析：

（1）要使函数y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，k需满足条件 （2）根据正比例函数的定义和性质，减小的条件是：

是正比例函数且y随x的增大而

（3）根据一次函数解析式的特征可知：x的次数2m－1为1时，合并同类项后，一次项系数[（m＋3）＋4]不能为0；x的次数2m－1不为1时，这项就应是0，否则不符合一次函数的条件.

解：

（1）由于y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，

∴ （2），∴k=1，∴应选B.

是正比例函数的条件是：m2－3=1且2m－1≠0，要使y随x的增大而减小还应满足条件2m－1<0，综合这两个条件得当是正比例函数且y随x的增大而减小.

（3）根据一次函数的定义可知，即m=－2时，是一次函数的条件是：

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解得m=1或－3，故填1或－3.

例3、两个一次函数y1=mx＋n，y2=nx＋m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）

分析：

若m>0，n>0，则两函数图象都应经过第一、二、三象限，故A、C错，若m<0，n>0，则y1=mx＋n的图象函数过第一、二、四象限，而函数y2=nx＋m的图象过第一、三、四象限，故D错．若m>0，n<0，y1=mx＋n的图象过第一、三、四象限，函数y2=nx＋m的图象过第一、二、四象限，故选B．

答案：B

例4、列说法是否正确，为什么？

（1）直线y=3x＋1与y=－3x＋1平行；

（2）直线重合；

（3）直线y=－x－3与y=－x平行；

（4）直线相交.

分析：

判定两条直线的位置关系，关键是判断两个函数解析式中的比例系数和常数项之间的关系.

解：

（1）该说法不正确，∵k1≠k2，∴两直线相交；

（2）该说法不正确，∵k1=k2，但b1≠b2，∴两直线平行；

（3）该说法正确，∵k1=k2，b1≠b2，∴两直线平行；

（4）该说法不正确，∵k1=k2，b1=b2，∴两直线重合.

例5、如果直线y=kx＋b经过第一、三、四象限，那么直线y=－bx＋k经过第__________象限.

分析：

因为直线y=kx＋b经过第一、三、四象限，由一次函数图象的分布情况可知k>0，b<0，由此可知直线y=－bx＋k中－b>0，k>0，故其图象经过一、二、三象限.

答案：一、二、三

例6、直线y=kx＋b过点A（－2，0），且与y轴交于点B，直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，求直线y=kx＋b的解析式．

分析：

由直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，求得点B(0，3)或(0，－3)，此题直线与y轴交于B点有两种不同情况，即B点在y轴正半轴或B点在y轴负半轴．注意分类讨论求解直线的解析式．

解：

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设点B的坐标为(0，y)，则|OA|=2，|OB|=|y|，有

S=·|OA|·|OB|=×2×|y|=3．

所以y=±3．所以点B的坐标是(0，3)或(0，－3)．

(1)当直线y=kx＋b过点A（－2，0）和点B（0，3）时，

所以y=＋3．

(2)当直线y=kx＋b过点A(－2，0)，B(0，－3)时，

所以y=－3．

因此直线解析式为y=＋3或y=－3．

例7、如图所示，阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：

(1)折线OAB表示某个实际问题的函数的图象，请你编写一道符合图象意义的应用题；

(2)根据你所给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标；

(3)求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围．

分析：

这道题的难点主要集中在第(1)小题，它要求同学们自己设计一个情境，把一个数学模型还原成一个实际问题，主要考查同学们的创造性思维能力、逆向思维能力，发散思维能力和语言表达能力，给同学们留下了很大的想象空间，是一道有创意的好题．

解：

本题为开放题，现举一例如下：小明从家骑车去离家800米的学校，用了5分钟，之后又立即用了10分钟步行回到家中，此时x轴表示时间，y轴表示离家的距离，A(5，800)，B(15，0)．图象AB的解析式为y=－80x＋1200(5≤x≤15)．

例8、某商店销售A、B两种品牌的彩色电视机，已知A、B两种彩电的进价每台分别为2000元、1600元，一月份A、B两种彩电的销售价每台为2700元、2100元，月利润为1.2万元（利润=销售价－进价）.

为了增加利润，二月份营销人员提供了两套销售策略：

策略一：A种每台降价100元，B种每台降价80元，估计销售量分别增长30%、40%.

策略二：A种每台降价150元，B种每台降价80元，估计销售量都增长50%.

请你研究以下问题：

（1）若设一月份A、B两种彩电销售量分别为x台和y台，写出y与x的关系式，并求出A种彩电销售的台数最多可能是多少？

（2）二月份这两种策略是否能增加利润？

（3）二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种，方能使商店所获得的利润较

- 26 -

多？请说明理由.

分析：

（1）中根据月利润可列出关于x、y的方程，由x、y为整数，求出A种彩电销售的台数的最大值；（2）中写出策略一、策略二的利润与x、y的关系，再和12000元比较，即可得出结论.

解：

（1）依题意，有

（2700－2000）x＋（2100－1600）y=12000，

即700x＋500y=12000.

则

因为y为整数，所以x为5的倍数，

故x的最大值为15，即A种彩电销售的台数最多可能为15台.

（2）策略一：

利润W1=（2700－100－2000）（1＋30%）x＋（2100－80－1600）（1＋40%）y

=780x＋588y；

策略二：

利润W2=（2700－150－2000）（1＋50%）x＋（2100－80－1600）（1＋50%）y

=825x＋630y.

因为700x＋500y=12000，所以780x＋588y>12000，825x＋630y>12000.

故策略一、策略二均能增加利润.

故策略二使该商店获得的利润多，应采用策略二.

二元一次方程组专题

一、填空题：

1、已知二元一次方程3x-5y=8，用会x的代数式表示y，则y= ，若y的值为2，则x的值为

2、在代数式ax+by中，若x=5，y=2时，它的值是7；当x=8，y=5时，它的值是4，则a= b=

3、若方程组xy13x2y5的解也是方程3x+ky=10的一个解，则k=

axby433x4y2ax1by52xy524、若方程组与有相同的解，则a ，b=

5、方程3x+y=8的正整数解是

6、若(5x+2y-12)2+|3x+2y-6|=0 则2x+4y=

7、已知a-b=1，c-a=2，则(a-b)3+(c-b)3+(c-a)3=

8、已知方程组3x5ym22x3ym的解适合x+y=8，则m=

2xz23x6y73y3z409知有理数x,y,z 满足条件：，则xyz 。

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二、选择题(本大题共18分,每题3分)

1、方程mx-2y=x+5是二元一次方程时，m的取值为（ ）

A、m≠0 B、m≠-1 C、m≠1 D、m≠2

2、下列不是二元一次方程组的是（ ）

2x9y0xy0A、 B、3x=4y=1

12y2x3xx1y2C、 D、

52x24yab23、已知2ay+5b3x与是同类项，则（ ）

x1y2A、

x2y1B、

x2y0C、

x1y1D、

12x5y12x5y的值（ ） 4、若4x-5y=0且y≠0，则5A、12

12B、5

1C、2 D、不能确定

x2axby7y1bxcy55、如果是方程的解，则a与c的关系是（ ）

A、4a+c=9 B、2a+c=9 C、4a-c=9 D、2a-c=9

xy132 6、已知，可以得到x表示y的式子是 （ ）

yA、① ①

ax2by2②

3ax5by9②

2xy73xy117、关于x、y的两个方程组 和 具有相同的解，则a＋b的值是（ ）

2x22x12x2xyy2y23 B、33 C、33 D、5A、12

12B、5 C、5 D、不能确定

8、有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有（ ）

A、4 个 B、5 个 C、6个 D、7个

9、如图AB⊥BC,∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x、y，那么下面可以求出这两个角的度数的方程是： （ ）

xy90xy90xy902x90xy15x2y15x152yx2y15 A、 B、 C、 D、

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三、解下列方程组

1、

xy85x2(xy)1 2、7x3y14x5y17

x1y2034x3y31312 3、4

四、解答题：

x2mxny1y1nxmy81、若是方程组的解，试求3m-5n的值

2、已知关于x、y的方程组

3xy54ax5by222x3y4axby8与方程组有相同的解，求(-a)b

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3、甲、乙两人解方程组axby2cx7y8x3y2，甲正确地解得，乙因为把C看错，误认为d，x2y2解得

求a、b、c、d

五 列方程组解应用题:

1、甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲用了2.5小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午2人继续工作4小时后，全天总计甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？

2、根据图给出的信息，求每件恤衫和每瓶矿泉水的价格。

3、某数学月刊全年共出12期，每期定价2.5元，某中学七年级组织集体订阅，有些学生订半年，而另一些订全年，共需订费1320元，若订全年的学生都改为订半年，若订半年的学生都改为订全年时，共需订费1245元，求该中学七年级订半年和订全年的人数各为多少？

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4、下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结束时的价格）：

甲

乙

周一

12元

13.5元

周二

12.5元

13.3元

周三

12.9元

13.9元

周四

12.45元

13.4元

周五

12.75元

13.75元

某人在这周内持有若干甲乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则他帐户上周二比周一增加200元，周三比周二增加1300元，这个人持有甲、乙股票各多少股

5、某市电信局现有600部已申请装机的固定电话沿待装机，此外每天还有新申请装机的电话也待装机，设每天新申请装机的固定电话部数相同，每个电话装机小组每天安装的固定电话部数也相同，若安排3个装机小组，恰好60天可将待装固定电话装机完毕；若安排5个装机小组，恰好20天可将待装固定电话装机完毕。求每天新申请装机的固定电话部数和每个电话装机小组每天安装的固定电话部数。

6、红太阳大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表（例如三人间普通间客房每人每天收费50元）。为吸引客源，在五一黄金周期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠。一个50人的旅游团在五月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，并且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1510元。则三人间、双人间普通客房各住了多少间？

普通间（元/人/豪华间（元/人/贵宾间（元/人/

天） 天） 天）

三人50 100 500

间

双人70 150 800

间

单人100 200 1500

间

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8、一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，那么两车错车需4秒，如果同向而行，两车错车需16秒钟，求两车的速度。

数据的代表专题

1、数据1，0，－3，2，3，2，－2的中位数是 ，众数是 ．

2、某电视台举办青年歌手演唱大赛，7位评委给1号选手的评分如下：

9.3 8.9 9.2 9.5 9.2 9.7 9.4

按规定，去掉一个最高分和一个25最低分后，将其余得分的平均数作24为选手的最后得分．那么，1号选20手的最后得分是 分．

153、数学老师布置了10道计算题1210作为课堂练习，小明将全班同学的6解题情况绘成了下面的条形统计56图．根据图表，求平均每个学生做0做对7题做对8题做对9题做对10题对了几道题？

4、某公司员工的月工资统计如下：

月工资/元

人数

5000 4000 2000 1000 800 500

1 2 5 12 30 6

则该公司员工月工资的平均数为 、中位数为 和众数为 ．

5、某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三项素质测试．下面是三名候选人的素质测试成绩：

素质测试

测试成绩

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小赵

计 算 机

商品知识

语 言

70

50

80

小钱

90

75

35

小孙

65

55

80

公司根据实际需要，对计算机、商品知识、语言三项测试成绩分别赋予权重4、3、2，这三人中 将被录用.

6、从全市5000份试卷中随机抽取400份试卷，其中有360份成绩合格，估计全市成绩合格的人数约为 人。

7、下表是两个商场1至6月份销售“椰树牌天然椰子汁”的情况(单位：箱)

甲商场

乙商场

1月

450

480

2月

440

440

3月

480

470

4月

420

490

5月

576

520

6月

550

516

根据以上信息可知

A．甲比乙的月平均销售量大 B．甲比乙的月平均销售量小

C．甲比乙的销售稳定 D．乙比甲的销售稳定

8、 某住宅小区6月份随机抽查了该小区6天的用水量(单位：吨)，结果分别是30、34、32、37、28、31，那么，请你估计该小区6月份(30天)的总用水量约是 吨.

9、为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调

查．那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是

A．中位数 B．平均数 C．众数 D．加权平均数

10、如果四个整数数据中的三个分别是2、4、6，且它们的中位数也是整数，那么它们的中位数是 .

11、甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）

甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15

乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15

丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16

请回答下面问题：

（1）分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数；

甲厂

乙厂

丙厂

平均数

众数

中位数

（2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？

（3）如果你是位顾客，宜选购哪家工厂的产品？为什么？

12、已知一组数据5，15，75，45，25，75，45，35，45，35，那么40是这一组数据的

A．平均数但不是中位数 B.平均数也是中位数C．众数D. 中位数但不是平均数

13、已知数据x1，x2，…，xn的平均数是x，则一组新数据x1+8,x2+8,…,xn+8的平均数是____.

14、根据某市去年7月份中某21天的各天最高气温（℃）记录，制作了如图的统计图，由图

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中信息可知，记录的这些最高气温的众数是

℃，其中最高气温达到35℃以上（包括35℃）的天数有 天.

15、下表是某报纸公布的我国“九五”期间国内生产总值（GDP）的统计表，那么这几年我国国内生产总值平均比上一年增长（ ）万亿元.

年份

国内生产总值（万亿元）

1996

6.6

1997

7.3

1998

7.9

1999

8.2

2000

8.9

(A)0.46 (B)0.575 (C)7.78 (D)9.725

16、期中考试后，学习小组长算出全组 5位同学数学成绩的平均分为M，如果把M当成另一个同学的分数，与原来的5个分数一起，算出这6个分数的平均值为N，那么M：N为（）

A 56 B 1 C 65 D 2

17、某地连续九天的最高气温统计如下表：

最高气温（℃）

天数

22

1

23

2

24

2

25

4

则这组数据的中位数与众数分别是（）

A 24、25 B 24.5、25 C 25、24 D 23.5、24

18、为发展农业经济，致富奔小康，养鸡专业户王大伯2004年养了2000只鸡，上市前，他随机抽取了10只鸡，称得重量统计如下表：

重量（单位：kg） 2 2.2

数量（单位：只） 1 2

2.5

4

2.8

2

3

1

估计这批鸡的总重量为 kg.

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