2021年全国统一高考数学试卷(文科甲卷)真题

2023年12月2日发(作者：河源市开放大学数学试卷)

2021年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.设集合M={1，3，5，7，9}，N={x|2x>7}，则M∩N=A.{7，9}B.{5，7，9}C.{3，5，7，9}D.{1，3，5，7，9}()2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：频率组距0.200.140.100.040.022.53.54.55.56.57.58.59.510.511.512.513.514.5收入/万元根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知(1-i)2z=3+2i，则z=A.-1-3i2B.-1+3i2C.-3+i2D.-3-i2()()4.下列函数中是增函数的为A.f(x)=-xB.f(x)=23x(C.f(x)=x2D.f(x)=3x(D.45)2y2x=1的一条渐近线的距离为-5.点(3,0)到双曲线916)A.95B.85C.656.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6()7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()正视图·26·A.B.C.D.(D.3(D.10(D.0.8())))8.在ABC中，已知B=120°，AC=19，AB=2，则BC=A.1B.2C.59.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2=4，S4=6，则S6=A.7B.8C.910.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为A.0.3B.0.5C.0.611.若α∈0,π，tan2α=cosα，则tanα=22-sinαA.1515B.55C.53D.15312.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=f(-x)．若f-1=1，则f5=333A.-53B.-13C.13．．．D.53()二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若向量a，b满足|a|=3，|a-b|=5，a⋅b=1，则|b|=14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为15.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则fπ=2y2O2y2x16.已知F1，F2为椭圆C:+=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对164称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为．π313π12x三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品甲机床乙机床合计150120270二级品5080130合计200200400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？n(ad-bc)22P(K2≥k)0.050附：K=．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k3.8410.0106.6350.00110.828·27·18.(12分)记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2=3a1，且数列{Sn}是等差数列.证明：{an}是等差数列．19.(12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．(1)求三棱锥F-EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．A1C1DB1FAECB20.(12分)设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1，其中a>0．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．·28·21.(12分)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l:x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．(1)求C，⊙M的方程；(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=22cosθ．(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；程，并判断C与C1是否有公共点．(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足AP=2AM，写出P的轨迹C1的参数方[选修4-5：不等式选讲](10分)23.已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=|2x+3|-|2x-1|．(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像；(2)若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围．yO11x·29·2021年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.设集合M={1，3，5，7，9}，N={x|2x>7}，则M∩N=A.{7，9}B.{5，7，9}C.{3，5，7，9}D.{1，3，5，7，9}7，3，5，7，9}，【解析】：因为N={x|2x>7}=M={1，xx>2所以M∩N={5，7，9}．故选：B．()2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：频率组距0.200.140.100.040.022.53.54.55.56.57.58.59.510.511.512.513.514.5收入/万元根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间()【解析】：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)×1=0.06=6%，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02×3)×1=0.1=10%，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5万元，故选项C错误；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=0.64>0.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．故选：C．3.已知(1-i)2z=3+2i，则z=A.-1-3i2B.-1+3i2C.-3+i2D.-3-i2()(3+2i)i=-2+3i=-1+3i．【解析】：因为(1-i)2z=3+2i，所以z=3+2i2=3+2i=22-2i(-2i)⋅i(1-i)故选：B．4.下列函数中是增函数的为A.f(x)=-xB.f(x)=23x(C.f(x)=x2D.f(x)=3x)·30·【解析】：由一次函数性质可知f(x)=-x在R上是减函数，不符合题意；x由指数函数性质可知f(x)=2在R上是减函数，不符合题意；3由二次函数的性质可知f(x)=x2在R上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知f(x)=3x在R上单调递增，符合题意．故选：D．2y2x5.点(3,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为169(D.45)A.95B.85C.6522y【解析】：由题意可知，双曲线的渐近线方程为x?=0，即3x±4y=0，169结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x-4y=0的距离，则点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离d=9-0=9．故选：A．59+166.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6()【解析】：在L=5+lgV中，L=4.9，所以4.9=5+lgV，即lgV=-0.1，解得V=10-0.1=10.1=101=1≈0.8，1.2591010所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：C．7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()正视图A1B1C1A.B.D1GFAECBC.D.D【解析】：由题意，作出正方体，截去三棱锥A-EFG，根据正视图，可得A-EFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是D图形，故选：D．8.在ABC中，已知B=120°，AC=19，AB=2，则BC=A.1B.2C.5D.3()【解析】：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得19=a2+4?2×a×2×cos120°，即a2+2a?15=0，解得a=3(a=-5舍去)，所以BC=3．故选：D．9.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2=4，S4=6，则S6=A.7B.8C.9D.10【解析】：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，S2=4，S4=6，·31·()由等比数列的性质，可知S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，∴4，2，S6-6成等比数列，∴22=4(S6-6)，解得S6=7．故选：A．10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8()【解析】：将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种方法，满足题意的概率为106=0.6，故选：C．11.若α∈0,π2，tan2α=2-cossinαα，则tanα=A.1515B.55C.35D.315【解析】：由tan2α=2-cossinαα，得cos2sin2αα=2-cossinαα，即2sin1-2sinαcos2αα=2-cossinαα，∵α∈0,π2，∴cosα≠0，则2sinα(2-sinα)=1-2sin2α，解得sinα=14，则cosα=1-sin2α=415，1∴tanα=cossinαα=4=4151515．故选：A．12.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=f(-x)．若f-13=13，则f53=A.-53B.-13C.13D.53【解析】：解法一：由题意得f(-x)=-f(x)，又f(1+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(2+x)=f(x)，又f-13=13，则f53=f2-13=f-13=13．故选：C．解法二：由f(1+x)=f(−x)知函数f(x)的图象关于直线x=12对称，又f(x)为奇函数，所以f(x)是周期函数，且T=40-12=2，则f53=f53−2=f−13=13，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若向量a，b满足|a|=3，|a-b|=5，a⋅b=1，则|b|=3【解析】：由题意，可得(a?b)2=a2?2a⋅b+b2．2=25，因为|a|=3，a⋅b=1，所以9?2×1+b2=25，所以b2=18,|b|=b2=32．故答案为：32．14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为39π．【解析】：由圆锥的底面半径为6，其体积为30π，设圆锥的高为h，则13×(π×62)×h=30π，解得h=52，所以圆锥的母线长l=522+62=132，·32·()()所以圆锥的侧面积S=πrl=π×6×13=39π．故答案为：39π．215.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则fπ=-3．2【解析】：由图可知，f(x)的最小正周期T=413π-π=π，3123所以ω=2π=2，因为f13π=2cos13π+φ=2，得φ=-π+2kπ，T1266所以f(x)=2cos2x-π，则fπ=2cos2×π-π=-2cosπ=-3.62266故答案为：-3．2y2Oπ313π12x2yx16.已知F1，F2为椭圆C:+=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=164|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为8．【解析】：解法一：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得||PF1|+|PF2||=m+n=2a=8，所以m2+2mn+n2=64，因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2-b2)=48，即m2+n2=48，所以mn=8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=8．故答案为：8．解法二：因为四边形PF1QF2的对角线PQ=F1F2，所以四边形PF1QF2为矩形，则由焦点三角形面积公式得SF1QF2P=2b2tanπ=2×4×1=8.4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品甲机床乙机床合计150120270二级品5080130合计200200400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？n(ad-bc)22P(K2≥k)0.050附：K=．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k3.8410.0106.6350.00110.828【解析】：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为150=200因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为120=200n(ad-bc)22(2)根据2×2列联表，可得K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)3；43；5400(150×80-50×120)2=≈10.256>6.635．270×130×200×200所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．18.(12分)记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2=3a1，且数列{Sn}是等差数列.证明：{an}是等差数列．【解答】证明：设等差数列{Sn}的公差为d，·33·由题意得S1=a1；S2=a1+a2=4a1=2a1，则d=S2-S1=2a1-a1=a1，所以Sn=a1+(n-1)a1=na1，所以Sn=n2a1①；当n≥2时，有Sn-1=(n-1)2a1②．由①②，得an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1③，经检验，当n=1时也满足③．所以an=(2n-1)a1，n∈N+，当n≥2时，an-an-1=(2n-1)a1-(2n-3)a1=2a1，所以数列{an}是等差数列．19.(12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．(1)求三棱锥F-EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．【解析】：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥A1B1，又BF⊥A1B1，BB1∩BF=B，BB1，BF⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵AB⎳A1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AC，又AB=AC，故AC=22+22=22，∴CE=2=BE，而侧面AA1B1B为正方形，∴CF=1CC1=1AB=1，22∴V=1SEBC⋅CF=1×1×2×2×1=1，即三棱锥F-EBC的体积为1；33233(2)证明：如图，取BC中点G，连接EG，B1G，设B1G∩BF=H，∵点E是AC的中点，点G时BC的中点，∴EG⎳AB，∴EG⎳AB⎳B1D，∴E、G、B1、D四点共面，由(1)可得AB⊥平面BCC1B1，∴EG⊥平面BCC1B1，∴BF⊥EG，∵tan∠CBF=CF=1,tan∠BB1G=BG=1，且这两个角都是锐角，∴∠CBF=∠BB1G，22BB1BC∴∠BHB1=∠BGB1+∠CBF=∠BGB1+∠BB1G=90°，∴BF⊥B1G，又EG∩B1G=G，EG，B1G⊂平面EGB1D，∴BF⊥平面EGB1D，又DE⊂平面EGB1D，∴BF⊥DE．20.(12分)设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1，其中a>0．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．2232ax+ax-3=(2ax+3)(ax-1)，2【解析】：(1)f′(x)=2ax+a-=x>0，xxx因为a>0，所以-3<0<1，2aa所以在0,1上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在1，+∞上，f′(x)>0，f(x)单调递增．aa综上所述，f(x)在0,1上单调递减，在1，+∞上f(x)单调递增．aa2(2)由(1)可知，f(x)min=f1=a2×1+a×1-3ln1+1=3+3lna，aaaa因为y=f(x)的图像与x轴没有公共点，所以3+3lna>0，所以a>1，e所以a的取值范围为1，+∞．e·34·AEGCA1C1DB1FB21.(12分)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l:x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．(1)求C，⊙M的方程；(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．【解析】：(1)因为x=1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2=2px(p>0)，令x=1，则y=±2p，根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故P(1,2p),Q(1,?2p)，因为OP⊥OQ，故1+2p×(?2p)=0⇒p=1，2抛物线C的方程为：y2=x，因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M:(x-2)2+y2=1．(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时(假设A1为坐标原点时)，设直线A1A2方程为kx-y=0，根据点M(2,0)到直线距离为1可得联立直线A1A2与抛物线方程可得x=3，此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x?(y1+y2)y+y1y2=0，此时有，|2+y1y2|222=1，即(y1?1)y2+2y1y2+3?y1=0，21+(y1+y2)2k=1，解得k=±3，231+k222同理，由对称性可得，(y1?1)y3+2y1y3+3?y1=0，22所以y2，y3是方程(y1?1)t2+2y1t+3?y1=0的两根，依题意有，直线A2A3的方程为x?(y2+y3)y+y2y3=0，223-y12+y12-1(2+y2y3)22令M到直线A2A3的距离为d，则有d===1，1+(y2+y3)2-2y121+2y1-1此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切．(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=22cosθ．(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；程，并判断C与C1是否有公共点．【解析】：(1)由极坐标方程为ρ=22cosθ，得ρ2=22ρcosθ，化为直角坐标方程是x2+y2=22x，即(x-2)2+y2=2，表示圆心为C(2，0)，半径为2的圆．(2)设点P的直角坐标为(x,y)，M(x1，y1)，因为A(1,0)，所以AP=(x-1,y)，AM=(x1-1，y1)，由AP=2AM，2x1=2(x-1)+1x-1=2(x1-1)即，解得，y=2y12y1=2x222222所以M(x-1)+1，y，代入C的方程得(x-1)+1-2+y=2，2222·35·(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足AP=2AM，写出P的轨迹C1的参数方