2024年3月8日发(作者：特别难的高考数学试卷有哪些)

【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】

专题四 立体几何的第一问

【背一背基础知识】

1. 公理4：若a∥b，b∥c，则a∥c.

2. 线面平行判定定理：若a∥b，a⊄α，b⊂α，则a∥α.

3. 线面平行的性质定理：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b.

4. 面面平行的判定定理：若a，b⊂α，a，b相交，且a∥β，b∥β，则α∥β.

5. 面面平行的性质定理：

①若α∥β，a⊂α，则a∥β.

②若α∥β，r∩α＝a，r∩β＝b，则a∥b.

③线面垂直的性质定理：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

④面面平行的性质定理：

(2)线面平行的判定，可供选用的定理有：

【讲一讲基本技能】

1.必备技能：

(1)证明线面平行的常用方法：

①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．

②利用面面平行的性质，即两平面平行，则其中一平面内的直线平行于另一平面．

(2)已知线面平行时可利用线面平行的性质定理证明线线平行．

(3)判定面面平行的方法：

①定义法：即证两个平面没有公共点．

②面面平行的判定定理．

③垂直于同一条直线的两平面平行．

④平行平面的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．

(4)面面平行的性质：

①若两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面．②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．

（5）平行间的转化关系

空间点、线、面的位置关系:平行

2.典型例题

例1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N分别是B1C1，A1D1，A1B1，BD，B1C的中点．

求证：（1）MN∥平面CDD1C1；

（2）平面EBD∥平面FGA．

【分析】（1）连接BC1，DC1，由已知推导出MN∥11DC1且MNDC1，由此能证明MN∥平面22CDD1C1．（2）连接EF，B1D1，推导出四边形ABEF为平行四边形，从而AF∥BE，由题意FG∥BD，由此能证明平面EBD∥平面FGA．

【解析】

例2 如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点．

PAEBDC

（Ⅰ）求证：ACPB；

（Ⅱ）求证：PB//平面AEC；

【分析】（Ⅰ）证明线线垂直，可用线线垂直的定义，可用线面垂直的性质；（Ⅱ）利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等；要证线线垂直，可通过征到线面垂直得到．（Ⅲ）因PA平面ABCD，故过E作PA的平行线即可找到E到平面ABCD的距离

【解析】

【练一练趁热打铁】

1. 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC4，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点．

（1）证明：直线MN//平面OCD；

【解析】

2. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M,N分别是PA,BC的中点，PD平面ABCD，且PDADP

2，CD1.

M

D

N

A

B

C

证明：MN//平面PCD；

【解析】取AD中点E，连结ME,NE，

由已知M,N分别是PA,BC的中点，

所以ME//PD，NE//CD，

MENEE,PDCDD

所以，平面MNE//平面PCD，

所以，MN//平面PCD.

空间点、线、面的位置关系:垂直

【背一背基础知识】

1.判定两直线垂直，可供选用的定理有：

①若a∥b，b⊥c，则a⊥c.

②若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.

2.线面垂直的定义：一直线与一平面垂直这条直线与平面内任意直线都垂直；

3.线面垂直的判定定理，可选用的定理有：

①若a⊥b，a⊥c，b，c⊂α，且b与c相交，则a⊥α.

②若a∥b，b⊥α，则a⊥α.

③若α⊥β，α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，则a⊥β.

4.判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a⊥α，a⊂β，则α⊥β.

【讲一讲基本技能】

1.必备技能：

(1)解答空间垂直问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．

(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．

2.典型例题

例1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AAC平面ABC⊥平面AAC11C是边长为4的正方形，11C，AB3,BC5．

A1C1B1ADCB

求证：AA1⊥平面ABC；

【分析】证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论．(3)利用面面平行的性质．(4)利用面面垂直的性质．

【解析】

例2在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1的交点，已知AA1AB1,BAD60.

（1）求证：平面A1BC1平面B1BDD1；

（2）求点O到平面BC1D的距离.

D1 C1

O

A1 B1

D C

A B

【分析】（1）要证平面A1BC1平面B1BDD1，即证A1C1平面B1BDD1，而A1C1B1D1可由菱形的性质得到，又由AA1底面ABCD，得到BB1底面A1B1C1D1，进而得到AC11BB1，从而使问题得证；（2）取BD的中点E，连接OE，C1E，过O作C1E的垂线OM，可知OM为点O到平面BC1D的距离，从而通过解直角三角形求得OM的长．

【解析】

【练一练趁热打铁】

1. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD,G为AD的中点.

求证：BG平面PAD.

【解析】连接BD，

因为底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，

所以ABD是等边三角形，

又因为G为AD的中点，所以GBAD，

而平面PAG平面ABCD

且平面PAD平面ABCDAD

∴GB平面PAD.

2. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB90，点E、F、G分别是AA1、AC、BB1的中点，且CG⊥C1G．

（1）求证：CG//面BEF；

（2）求证：面BEF⊥面A1C1G．

【解析】

3. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PBPD．

P

A

D

B

求证：BDPC；

【解析】

C

P

A

O

B

C

D

解答题（10*10=100分）

1. 如图，在三棱锥PABC中，PACBAC90，PAPB，点D，F分别为BC，AB 的中点．

PAFBDC

（1）求证：直线DF//平面PAC；

（2）求证：PFAD．

【解析】

PAFBDC

2. 如图，在直三棱柱

ABC且ADA1B1C1中，AB=AC，D、E分别是棱BC、

CC1上的点（点D不在BC的端点处），DE，F为

B1C1的中点．

求证：平面ADE【解析】

平面B1BCC1；

3. 如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA平面PDC,点E为棱PD的中点，求证：

P

E

D

A

C

O

B

（1）PB//平面EAC；

（2）平面PAD平面ABCD．

【解析】（1）连接BD与AC相交于点O，连结OE．

因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点．

因为E为棱PD中点，所以PB∥OE．

因为PB平面EAC，OE平面EAC，

所以直线PB∥平面EAC．

（2）因为PA⊥平面PDC，CD平面PDC，所以 PA⊥CD．

因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD．

因为 PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以 CD⊥平面PAD．

因为CD平面ABCD，所以 平面PAD⊥平面ABCD．

P

E

D

A

C

O

B

4. 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,ADC900,平面PAD⊥底面

ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PAPD2，BCP

1AD1,CD3，

2M

D

Q

A

B

C

若M是棱PC的中点,求证:PA//平面MQB；

【解析】

5. 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，D为AB的中点，且AB1AC1

AB1A1D；

【解析】

6.

如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E,F分别为BB1,AC中点．

（1）求证：BF//平面A1EC；

（2）求证：平面A1EC平面ACC1A1．

【解析】

7. 如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF＝BE＝2，EF＝4其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．

，AB＝2，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，

（1）求证：PQ∥平面BCE；

（2）求证：AM⊥平面BCM；

【解析】（1）因为AB∥EM，且AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形．

连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，

所以PQ是△ACE的中位线，于是PQ∥CE．

∵CE⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，

∴PQ∥平面BCE．

（2）AD⊥平面ABEF⇒BC⊥平面ABEF⇒BC⊥AM．

在等腰梯形ABEF中，由AF＝BE＝2，EF＝42，AB＝22，

可得∠BEF＝45°，BM＝AM＝2，

∴AB2＝AM2＋BM2，∴AM⊥BM．

又BC∩BM＝B，∴AM⊥平面BCM．学科网

8. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC．

求证：平面MOE∥平面PAC；

【解析】

9. 如图，在矩形ABCD中，AB2BC,P,Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.

EBCPQAD

（Ⅰ）求证：AQ∥平面CEP；

（Ⅱ）求证：平面AEQ⊥平面DEP；

【解析】

10. 在正三棱锥PABC中，E、F分别为棱PA、AB的中点，且EFCE。

（1）求证：直线PB//平面EFC；

（2）求证：平面PAC平面PAB。

【解析】证明：（1）E,F分别为棱PA、AB的中点，EF//PB

EF平面EFC，PB平面EFC

直线PB//平面EFC。


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