2023年11月14日发(作者：大学数学试卷评价意见建议)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数 学
（理工农医类）
第Ⅰ卷
（共110分）
一、填空题（本大题满分48分）
1．函数的最小正周期T= .
ysinxcos(x)cosxsin(x)
2．若 .
x是方程2cos(x)1的解,其中(0,2),则
44
3
3．在等差数列中，a=3, a=－2,则a+a+…+a=
{a}
n
564510
4．在极坐标系中，定点A点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标
(1,),
2
cossin0
是
5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成
于 .（结果用反三角函数值表示）
6．设集合 则集合 .
A={x||x|<4},B={x|x－4x+3>0},{x|x∈A且=
2
xAB}
7．在△ABC中，,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示）
sinA;sinB:sinC=2:3:4
8．若首项为a，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a，公比q的一组取值
11
{a}
n
可以是（a，q）= .
1
9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，
则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）
10．方程的根 .（结果精确到0.1）
x+lgx=18
3
x
11．已知点其中n的为正整数.设S表示△ABC外接圆的面积，则
A(0,),B(0,),C(4,0),
222
nnn
n
limS
n
= .
n
xy
22
12．给出问题：F、F是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F的距离等于9，求点P到
121
1620
焦点F的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF|－|PF||=8，即|9－|PF||=8，得|PF|=1或17.
21222
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空
格内 .
二、选择题（本大题满分16分）
13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ）
A．y=tg|x|. B．y=cos(－x). C． D．.
ysin(x).y|ctg|
22
x
14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）
A．α、β都垂直于平面r； B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β； D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.
1
15．a、b、c、a、b、c均为非零实数，不等式ax+bx+c>0和ax+bx+c>0的解集分别为集合M和N，
111222111222
22
那么“”是“M=N”的 （ ）
B．必要非充分条件. C．充要条件 D．既非充分又非必要条件. A．充分非必要条件.
abc
111
abc
222
16．f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下列关于函数g（）
xxxx
的叙述正确的是 （ ）
A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.
B．若a=－1，－2 C．若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根. D．若a≥1,b<2,则方程g（）=0有三个实根. x x x x 三、解答题（本大题满分86分） 17．（本题满分12分）已知复数z=cosθi，z=sinθ+i，求| z·z|的最大值和最小值. 1212 － 18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—ABCD中，AA⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若BD⊥BC， 111111 直线BD与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—ABCD的体积. 11111 D 1 C 1 AB 1 1 D C A B 2 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分. 已知数列（n为正整数）是首项是a，公比为q的等比数列. {a} n 1 0120123 （1）求和： aCaCaC,aCaCaCaC; 12223213233343 （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱 线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设 计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小？ （半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米） Slh 4 3 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分. 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大 于零. （1）求向量的坐标； AB （2）求圆关于直线OB对称的圆的方程； x6xy2y0 （3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存 yax1 在，求a的取值范围. 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立. （1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由； （2）设函数f(x)=a（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： x f(x)=a∈M； x （3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围. 2 22 4 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理工农医类）答案 一、（第1题至第12题） 1．π. 2．. 3．－49 . 4．. 5．arctg2. 6．[1,3]. (,) 7． 8．的一组数）. 9． arccos.(1,)(a0,0q1 4 3 23 24 111119 1 62190 10．2.6 . 11．4π 12．|PF|=17. 2 二、（第13题至第16题） 题 号 13 14 15 16 代 号 C D D B 三、（第17题至第22题） 17．[解] |zz||1sincos(cossin)i| 12 (1sincos)(cossin) 22 1 2sincos2sin2. 222 4 3 故的最大值为最小值为. |zz| 12 , 2 2 18．[解]连结BD，因为BB⊥平面ABCD，BD⊥BC，所以BC⊥BD. 11 D 1 AB 1 1 D C B A 在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=. C 1 23 又因为直线BD与平面ABCD所成的角等于30°，所以 1 ∠BDB=30°，于是BB=BD=2. 11 1 3 故平行六面体ABCD—ABCD的体积为S·BB=. 1111ABCD1 83 19．[解]（1） 01222 aCaCaCa2aqaqa(1q), 1222321111 aCaCaCaCa3aq3aqaqa(1q). 1234111113333 （2）归纳概括的结论为： 若数列是首项为a，公比为q的等比数列，则 {a} n 1 0123233 5 0123nnn aCaCaCaC(1)aCa(1q),n为正整数. 1n2n3n4nn1n1 0123nn 证明:aCaCaCaC(1)aC 1n2n3n4nn1n aCaqCaqCaqC(1)aqC 11111nnnnn 012233nnn 0123n23nnn a[CqCqCqC(1)qC]a(1q) 1nnnnn1 xy 22 20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为. 22 1 ab 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3 a,此时l2a33.3 米. （2）[解一] 447887 77 114.5 2222 xy 由椭圆方程，得 22 1 22 1. ab ab 因为即ab99,且l2a,hb, 114.52114.5 ab ab 22 ab99 所以Slh. 422 114.5192 22 当S取最小值时,有,得a112,b 22 22 ab 此时l2a22231.1,hb6.4 22 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小. 114.5 22222 xy81a 2 ,1b 222 [解二]由椭圆方程，得 于是 22 1. 4 a121ab ab 8112181 2222 2 ab(a121242)(2121242)81121, 2 44 a121 2 121 即ab99,当S取最小值时,有a121, 2 2 a121 得以下同解一. a112,b. 92 2 uv100 22 |AB|2|OA| ,即AB{u,v},则由 21．[解]（1）设得 4u3v0, |AB||OA|0 6 u6u6 ,或.因为OBOAAB{u4,v3}, v8v8 所以v－3>0,得v=8,故={6，8}. AB （2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程： OB yx. 1 2 由条件可知圆的标准方程为：(x－3)+y(y+1)=10, 得圆心（3，－1），半径为. 22 10 设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则 y1x3 20 x1 22 ,得, 故所求圆的方程为(x－1)+(y－3)=10. 22 y3 y1 2 x3 （3）设P (x,y), Q (x,y) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则 1122 yyxx 1212 2 20 xx 21 22 a ,得, yy 52a 21 xx 2 12 2a 2 xx 12 252a x0的两个相异实根,即x,x为方程x a 2a 2 452a3 于是由40,得a. 22 2 a2a 3 故当时，抛物线y=ax－1上总有关于直线OB对称的两点. a 2 2 12 2 22．[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)= xM. （2）因为函数f(x)=a（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点， x ya x 所以方程组：有解，消去y得a=x, x yx 显然x=0不是方程a=x的解，所以存在非零常数T，使a=T. x T 于是对于f(x)=a有 故f(x)=a∈M. xx f(xT)aaaTaTf(x) xTTxx （3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M. 当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有 f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx . 因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R， 于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立， 7 只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2m, m∈Z . 1 π 当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立， 即sin(kx－k+)= sinkx 成立， π 则－k+=2m, m∈Z ，即k=－2(m－1) , m∈Z . πππ 综合得，实数k的取值范围是{k|k= m, m∈Z} π 8
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