2021年山东高考数学试卷-(及答案)

2024年1月24日发(作者：肇庆高二数学试卷分析)

2021年山东高考数学试卷-(及答案)

2021年山东高考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2

A．{x|2

C．{x|1≤x<4}

2．2i

12iB．{x|2≤x≤3}

D．{x|1

A．1

C．i

B．−1

D．−i

3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

A．120种

C．60种

B．90种

D．30种

4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为

A．20°

C．50°

B．40°

D．90°

5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

1

2021年山东高考数学试卷-(及答案)

A．62%

C．46%

B．56%

D．42%

6．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)

A．1.2天

C．2.5天

B．1.8天

D．3.5天

7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是

A．(2,6)

C．(2,4)

B．(6,2)

D．(4,6)

8．若定义在R的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是

A．[1,1][3,) B．[3,1][0,1]

C．[1,0][1,) D．[1,0][1,3]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．已知曲线C:mx2ny21.

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为n

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为yx

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

10．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=

mn2

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A．sin(x）

π3B．sin(2x) C．cos(2x） D．cos(π3π65π2x)

611．已知a>0，b>0，且a+b=1，则

A．a2b2

12 B．2ab

D．ab2

12C．log2alog2b2

12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且P(Xi)pi0(i1,2,,n),pi1，定义X的信息熵H(X)pilog2pi.

i1i1nnA．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大

C．若pi(i1,2,,n)，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,m，且P(Yj)pjp2m1j(j1,2,,m)，则H(X)≤H(Y)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．

14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四3BH∥DG，边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，51nA到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．

3

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16．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

在①ac3，②csinA3，③c3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA3sinB，C，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（12分）

已知公比大于1的等比数列{an}满足a2a420,a38．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记bm为{an}在区间(0,m](mN*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．

19．（12分）

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：

SO2

PM2.5

6[0,50]

(50,150]

(150,475]

[0,35]

32

6

18

8

4

12

4

(35,75]

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(75,115]

3 7 10

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：

SO2

PM2.5

[0,150]

(150,475]

[0,75]

(75,115]

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？

n(adbc)2附：K，

(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2k)

0.050

0.001

0.010

k

3.841

10.828

6.635

20．（12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

21．（12分）

已知函数f(x)aex1lnxlna．

（1）当ae时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

5

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（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

22．（12分）

x2y22已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，且过点A（2，1）．

ab2（1）求C的方程：

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

6

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2020年山东高考数学试卷答案

1．C 2．D 3．C 4．B

5．C 6．B 7．A 8．D

9．ACD 10．BC 11．ABD 12．AC

13．163 14．3n22n 15．524 16．22

17．解：方案一：选条件①．

a2b2c2由C6和余弦定理得2ab32．

由sinA3sinB及正弦定理得a3b．

于是3b2b2c223b232，由此可得bc．

由①ac3，解得a3,bc1．

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c1．

方案二：选条件②．

a2b2c2由C6和余弦定理得2ab32．

由sinA3sinB及正弦定理得a3b．

22于是3bbc223b232，由此可得bc，BC26，A3．

由②csinA3，所以cb23,a6．

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c23．

方案三：选条件③．

由Ca2b26和余弦定理得c22ab32．

由sinA3sinB及正弦定理得a3b．

于是3b2b2c2323b22，由此可得bc．

由③c3b，与bc矛盾．

因此，选条件③时问题中的三角形不存在．

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18．解：（1）设{an}的公比为q．由题设得a1qa1q320，a1q28．

解得q（舍去），q2．由题设得a12．

所以{an}的通项公式为an2n．

（2）由题设及（1）知b10，且当2nm2n1时，bmn．

所以S100b1(b2b3)(b4b5b6b7)(b32b33b63)(b64b65b100)

120122223234245256(10063)

480．

19．解：（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32186864,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为640.64．

100（2）根据抽查数据，可得22列联表：

SO2

PM2.5

[0,150]

(150,475]

[0,75]

64

10

216

10

(75,115]

100(64101610)27.484．

（3）根据（2）的列联表得K80207426由于7.4846.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．

20．解：（1）因为PD底面ABCD，所以PDAD．

又底面ABCD为正方形，所以ADDC，因此AD底面PDC．

因为AD∥BC，AD平面PBC，所以AD∥平面PBC．

由已知得l∥AD．因此l平面PDC．

（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．

8

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则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)，DC(0,1,0)，PB(1,1,1)．

由（1）可设Q(a,0,1)，则DQ(a,0,1)．

nDQ0,axz0,n(x,y,z)QCD

设是平面的法向量，则即y0.nDC0,可取n(1,0,a)．

所以cosn,PBnPB1a．

|n||PB|31a23|a1|32a12．

33a11a2设PB与平面QCD所成角为，则sin因为32a612，当且仅当a1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的3a13最大值为6．

3121．解：f(x)的定义域为(0,)，f(x)aex1．

x（1）当ae时，f(x)exlnx1，f(1)e1，

曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x2．

直线y(e1)x2在x轴，y轴上的截距分别为因此所求三角形的面积为2．

e12，2．

e1（2）当0a1时，f(1)alna1．

当a1时，f(x)ex1lnx，f(x)ex1．

当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,)时，f(x)0．

所以当x1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)1，从而f(x)1．

当a1时，f(x)aex1lnxlnaex1lnx1．

综上，a的取值范围是[1,)．

9

1x

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．解：（1）由题设得41a2b2ba12，解得a26，b2a221，23．

C的方程为x2y2所以631．

（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)．

若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为ykxm，

x2y2代入631得(12k2)x24kmx2m260．

于是x4km1x212k2,x2m261x212k2．①

由AMAN知AMAN0，故(x12)(x22)(y11)(y21)0，

可得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240．

将①代入上式可得(k21)2m26412k2(kmk2)km12k2(m1)240．

整理得(2k3m1)(2km1)0．

因为A(2,1)不在直线MN上，所以2km10，故2k3m10，k1．

于是MN的方程为yk(x2)133(k1).

所以直线MN过点P(2,133).

若直线MN与x轴垂直，可得N(x1,y1).

由AMAN0得(x12)(x12)(y11)(y11)0.

x22又1y1631，可得3x240.解得x218x112（舍去），x13.

此时直线MN过点P(2,133).

令Q为AP的中点，即Q(4,133).

若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|1|AP|2223.若D与P重合，则|DQ|12|AP|.

综上，存在点Q(4,133)，使得|DQ|为定值.

22

10