2023年12月2日发(作者：模拟数学试卷填空的目标)
选择题---为题目类型
1.当x→0时，（A）低阶无穷小
（B）等价无穷小
（C）高阶无穷小
（D）同阶但非等价无穷小
2.函数f(x)＝
（A）连续且取极大值
（B）连续且取极小值
（C）可导且导数为0
（D）可导且导数不为0
3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )
32（A）125πcm／s，40πcm／s
32（B）125πcm／s，－40πcm／s
32（C）－100πcm／s，40πcm／s
32（D）－100πcm／s，－40πcm／s
4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )
（A）(e，+∞)
（B）(0，e)
（C）(0，1/e)
（D）(1/e，+∞)
25.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx，则( )
（A）a＝1，b＝－1/2
（B）a＝1，b＝1/2
（C）a＝0，b＝－1/2
（D）a＝0，b＝1/2
x2226.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e)＝x(x+1)，f(x，x)＝2x㏑x，则df(1，1)＝( )
（A）dx+dy
（B）dx－dy
（C）dy
（D）－dy
17.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫0f(x)dx＝( )
（A）
（B）
（C）
（D）
2228.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)+(x2+x3)－(x3-x1)的正惯性指数与负惯性指数依次为( )
（A）2，0
（B）1，1
（C）2，1
（D）1，2
9.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )
（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解
TT（B）Ax＝0的解均为Bx＝0的解
（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解
TT（D）Bx＝0的解均为A＝0的解
10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )
（A）
（B）
（C）
（D）
填空题---为题目类型
11.
12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则
13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则 14.已知函数f(t)＝
15.微分方程y\"\'－y＝0的通解y＝________．
16.多项式f(x)＝
解答题---为题目类型
17.求极限
18.已知f(x)＝
19.f(x)满足
y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(
20.求y(x).
21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为IP，为使IP最小，求P的坐标．
23.曲线(x+y)＝x－y(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求22222
24.设矩阵A＝ 选择题---为题目类型
1.当x→0时，（A）低阶无穷小
（B）等价无穷小
（C）高阶无穷小
（D）同阶但非等价无穷小
【正确答案】C
【试
题解析】
2.函数f(x)＝
（A）连续且取极大值
（B）连续且取极小值
（C）可导且导数为0
（D）可导且导数不为0
【正确答案】D
【试题解析】 ＝1＝f(0)，故f(x)在x＝0处连续． 又f′(0)＝
3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )
32（A）125πcm／s，40πcm／s
32（B）125πcm／s，－40πcm／s
32（C）－100πcm／s，40πcm／s
32（D）－100πcm／s，－40πcm／s
【正确答案】C
2【试题解析】 设圆柱体底面半径是R，高为h，则R′＝2，h′＝－3． 体积V＝πRh、表面22积S＝2πRh+2πR， 故V′＝2πR·R′h+Rπh′，S′＝2πR′h+2πRh′+4πR·R′， 即V′|R＝10,h＝5＝﹣100π，S′|R＝10,h＝5＝40π．
4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )
（A）(e，+∞)
（B）(0，e)
（C）(0，1/e)
（D）(1/e，+∞) 【正确答案】A
【试题解析】 f(x)＝ax－b㏑x的定义域为x>0，则f′(x)＝a－． 令f′(x)＝0，有x＝． 欲使函数f(x)在(0，)，(，+∞)有两个零点， 必有f()<0，即b－b㏑()＜0．从而有
5.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx，则( )
（A）a＝1，b＝－1/2
（B）a＝1，b＝1/2
（C）a＝0，b＝－1/2
（D）a＝0，b＝1/2
【正确答案】D
【试题解析】 设，f(x)＝secx，则f(x)在x＝0处的二阶泰勒展式为 f(x)＝f(0)+f′(0)x+x2222
6.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e)＝x(x+1)，f(x，x)＝2x㏑x，则df(1，1)＝( )
（A）dx+dy
（B）dx－dy
（C）dy
（D）－dy
【正确答案】C
x2x2【试题解析】 函数f(x，y)可微，且f(x+1，e)＝x(x+1)，则 f′1+ef′2＝(x+1)+2x(x+1)． 令22x＝0，则有 f′1(1，1)+f′2(1，1)＝1． ① 由f(x，x)＝2x㏑x，则 f′1+f′2·2x＝4x㏑x+2x． 令x＝1，则有 f′1(1，1)+2f′2(1，1)＝2． ② 结合①式，②式可得： f′2(1，1)＝1，f′1(1，1)＝0． 故df(1，1)＝f′1(1，1)dx+f′2(1，1)dy＝dy．
17.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫0f(x)dx＝( )
（A）
（B）
（C）
（D）
【正确答案】B
1【试题解析】 f(x)在[0，1]上连续，故∫0f(x)dx存在． 将[0，1]平均n等分：[0，1]＝， 取各区间中点ξk＝k/n－1/2n. 故
8.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)+(x2+x3)－(x3-x1)的正惯性指数与负惯性指数依次为( )
（A）2，0
（B）1，1
（C）2，1
（D）1，2
【正确答案】B
222【试题解析】 作变换， 记A＝，则|A|＝0， 故变换不可逆． 二次型展开得：f(x1，x2，x3)＝x2+2x1x2+x2+2x2x3+2x1x3， 故二次型矩阵为B＝22， |λE－B|＝
9.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )
（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解
TT（B）Ax＝0的解均为Bx＝0的解
（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解
TT（D）Bx＝0的解均为A＝0的解
【正确答案】D
TTTT【试题解析】 由条件知(α1，α2，α3)＝(β1，β2，β3)P，即A＝BP．故A＝PB．从而Bx＝0T的解是Ax＝0的解． 10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )
（A）
（B）
（C）
（D）
【正确答案】C
【试题解析】 代入验证： A．PAQ＝为非对角矩阵； B．PAQ＝为非对角矩阵； C．PAQ＝为对角矩阵； D．PAQ＝
填空题---为题目类型
11.
【正确答案】【
试题解析】
12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则 【正确答案】2/3
【试题解析】 由x＝2e+t+1可知，故t＝2e+1；由y＝4(t－1)e+t可知，tt2＝4te+2t，
t. 令t＝0，则
13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则
【正确答案】1
【试题解析】 将y＝2代入，得(x+1)z+2㏑z－arctan4x＝1． 对x求导得：
z+(x+1) 将x＝0代入，得z＝1，故
14.已知函数f(t)＝
【正确答案】【试
题解析】
15.微分方程y\"\'－y＝0的通解y＝________．
【正确答案】y＝C1e+x 【试题解析】 特征方程为λ－1＝(λ－1)(λ+λ+1)＝0， 则特征根λ1＝1，λ2＝，λ332， 故方程通解为y＝C1e+x
16.多项式f(x)＝
【正确答案】-5
【试题解析】 f(x)＝
解答题---为题目类型
17.求极限
【正确答案】18.已知f(x)＝ 【正确答案】(I)f(x)＝
当x≥0时，f′(x)＝1－，f″(x)＝＞0； 当－1＜x＜0时，f′(x)＝－1，f″(x)＝＜0； 当x＜－1时，f″(x)＝－＞0． 故当x∈(0，+∞)时，曲线y＝f(x)是凹的，x∈(－1，0)时，曲线y＝f(x)是凸的；当x∈(－∞，－1)时，曲线y＝f(x)是凹的． (Ⅱ)1°当x＝－1时，无定义，且故x＝-1为垂直渐近线． 2°由由f(x)＝+∞，f(x)＝－∞，f(x)＝+∞，故f(x)无水平渐近线． 3°＝－1， 故y＝x－1为正向渐近线， 由19.f(x)满足【正
确答案】y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(【正确答案】
20.求y(x).
【正确答案】原方程整理为y′＝y－， 故通解为y＝＝Cx+1． 由y(√3)＝10，知C＝6，故特解为y＝
21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为IP，为使IP最小，求P的坐标．
【正确答案】设P点坐标为(x，1+x)， 则过P点的法线方程为：Y－(1+6x)＝－6(X－x)． 令X＝0，得Y＝Ip＝+x+1． 由Y′(x)＝6
23.曲线(x+y)＝x－y(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求22222
【正确答案】曲线(x+y)＝x－y(x≥0，y≥0)的极坐标方程为r＝r)|0≤θ≤π/4，0≤r≤22222 区域D＝{(θ，}. 引入极坐标x＝rcosθ，y＝rsinθ，
24.设矩阵A＝
【正确答案】由|λE－A|＝＝(λ－b)(λ－1)(λ－3)＝0， 得特征值λ1＝1，λ2＝3，λ3＝b． 由题设矩阵A仅有两个不同特征值，故b＝1或b＝3． 1°若b＝1．因为AT可相似对角化，所以r(A－E)＝1，故a＝1． (A－E)X＝0的基础解系为ξ1＝(1，－1，0)，ξ2＝(0，0，1)． (A－3E)X＝0的基础解系为ξ3＝(1，1，1)， 取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝TT，则PAP＝－1. 2°若b＝3，因为A可相似对角化，所以r(A－3E)＝1，故a＝－1． (A－E)X＝0的基础解系为ξ1＝(－1，1，1)， (A－3E)X＝0的基础解系为ξ2＝(0，0，1)，ξ3＝TT(1，1，0)， 取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝T，则PAP＝－1
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